量子散射的延迟

             

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预备知识 一维散射(量子)

   一个一维波包用傅里叶变换表示为

\begin{equation} \psi(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(k) \exp \mathrm{i} ( kx - \omega t) \,\mathrm{d}{k} \end{equation}
其中 $A(k)$ 是一个复值函数.自由粒子情况下 $\omega = k^2/(2m)$.如果经过一个局部的势阱或势垒,不同平面波透射后发生相移 $\phi(k)$,经过后,波包为
\begin{equation} \psi'(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(k) \exp \mathrm{i} [kx - \omega t + \phi(k)] \,\mathrm{d}{k} \end{equation}
想象一个特殊情况:经过势阱后 $A(k)$ 不变,$\phi(\omega) = \Delta t \omega$,那么波函数变为
\begin{equation} \psi'(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(k) \exp \mathrm{i} [kx - \omega (t - \Delta t) ] \,\mathrm{d}{k} = \psi(x, t - \Delta t) \end{equation}
这样波包在时间轴上向右平移了 $\Delta t$,即延迟.近似来说,如果波包带宽较窄,频率中心为 $\omega_0$,那么在带宽以内可以把 $\phi$ 近似看成是 $\omega$ 的线性函数,那么延迟近似为
\begin{equation} \Delta t(\omega) = \frac{\mathrm{d}{\phi}}{\mathrm{d}{\omega}} \end{equation}
如果要取一个与波包形状无关的延迟的定义,那么这个定义是最佳选择.注意这样定义的延迟与频率有关.这个延迟被称为 Wigner 延迟或者 EWS(Eisenbud-Wigner-Smith)延迟

1. 驻相法

   使用驻相法(stationary phase method)可以分析出波包的近似位置,速度以及时间延迟.把式 2 中的 $x, t$ 固定,令相位(包括 $A(k)$ 的相位 $\varphi$)$kx - \omega t + \phi + \varphi$ 对 $\omega$ 求导为零,有

\begin{equation} x = v_g \left(t - \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{\omega}} - \frac{\mathrm{d}{\phi}}{\mathrm{d}{\omega}} \right) \end{equation}
其中 $v_g = \mathrm{d}{\omega}/\mathrm{d}{k} $ 是群速度,$v_g \left(t - \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{\omega}} \right) $ 是入射波包的轨迹.同样可以得到式 4

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