贡献者： addis
广义情况下，一阶微扰得到的波包是（可能做任何运动，在任何形状的势能中），令 $ \left\lvert k \right\rangle $ 为精确散射态（无论几维波函数，无论出于什么样的势能函数中）
\begin{equation}
\left\lvert \psi(t) \right\rangle = \int C(E) \left\lvert E \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Et} \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
其中 $E = k^2/2$。那么该波包 $\Delta t$ 时间之前的样子就精确是
\begin{equation}
\left\lvert \psi(t-\Delta t) \right\rangle = \int C'(E) \left\lvert E \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Et} \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
其中 $C'(E) = C(E) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} E \Delta t}$。可见，给系数添加一个关于能量的相位 $E \Delta t$ 就会使波包精确落后 $\Delta t$，也添加相位后的波函数要再演化 $\Delta t$ 才能达到添加相位以前的状态。以上的一切都是精确的。
一维自由粒子
首先，对于 $V(x)=0$ 的自由粒子，若
\begin{equation}
\psi(x,t) = \int A(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (kx-Et)} \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
其中 $E=k^2/2$。如果 $A(k)$ 是以 $k_0$ 为中心的
偶函数且实函数，那么根据傅里叶变换的
定理 1 和平移性质（
式 15 ），$\psi(x,0)$ 就是一个
偶函数且实函数乘以 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x}$。根据 Ehrenfest 定理的
式 16 ，无论初始形状的具体形状如何 $ \left\langle x \right\rangle = k_0 t$ 都是精确成立的。但对任意单调的 $V(x)$，$ \left\langle x \right\rangle $ 的轨迹并不精确等于经典粒子，因为 $ \left\langle \psi \middle| V(x) \middle| \psi \right\rangle \approx V( \left\langle \psi \middle| x \middle| \psi \right\rangle )$ 通常只是近似成立（势能曲线改变越缓慢，越精确）。
未完成：当 $t>0$ 时是否波包的形状也像高斯波包那样关于 $x_c$ 对称的呢（虽然肯定有 chirp）？
\begin{equation}
\psi(x,t) = \int A(k)\exp \mathrm{i} \left[k(x - kt/2) \right] \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
空间频率越高越右移
根据以上结论，在此基础上若令 $C(k) = A(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} E\Delta t}$，那么此直线运动的轨迹就是 $x_c = k_0(t-\Delta t)$。而
\begin{equation}
\Delta t = \frac{\partial}{\partial{E}} \arg C(k)~.
\end{equation}
如果基底不是平面波而是一个类似库仑平面波（相位甚至随位置变化，可能导致频率随位置变化），那么只需要把基底中的额外相位都并入到 $C(k)$ 中一起做能量偏导即可。
未完成：但时间延迟是相对于哪条直线呢？尤其是在并不太远的距离处。
一维散射
一个一维自由波包用傅里叶变换表示为
\begin{equation}
\psi(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(k) \exp \mathrm{i} [kx - \omega t + \varphi(k)] \,\mathrm{d}{k} ~,
\end{equation}
其中 $A(k)$ 是一个
实值函数。自由粒子满足 $\omega = k^2/(2m)$。如果经过一个局部的势阱或势垒，不同平面波透射后发生相移 $\phi(k)$，经过后，波包为
\begin{equation}
\psi'(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A'(k) \exp \mathrm{i} [kx - \omega t + \varphi(k) + \phi(k)] \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
近似假设 $A'(k)$ 和 $A(k)$ 成正比，那么延迟就是
\begin{equation}
\Delta t = \frac{\partial \phi}{\partial E} ~.
\end{equation}
注意这样定义的延迟与频率有关。这个延迟被称为
Wigner 延迟或者
EWS（Eisenbud-Wigner-Smith）延迟。
1. 驻相法
使用驻相法（stationary phase method）可以分析出波包峰值的近似位置、速度以及时间延迟。驻相法比上面的近似要略微严谨一些，获得的信息也多一些。同样假设波包带宽较窄或者 $A(k)$ 的相位随 $\omega$ 线性变化。那么对给定的 $x, t$，当且仅当式 6 中的积分在被积函数的总相位不随 $k$ 变化时取得模长最大值。被积函数的总相位等于 $kx - \omega t + \varphi$，令其对 $k$ 求导为零，有
\begin{equation}
x = v_g \left(t - \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{\omega}} \right) ~.
\end{equation}
其中 $v_g = \mathrm{d}{\omega}/\mathrm{d}{k} = k$ 是波包的速度，即
群速度。确切来说，是
波峰移动的速度。该式反应了波峰随时间的变化轨迹。同样，如果给 $\varphi$ 加上一个相移 $\phi$，可得
式 5 。可见，驻相法不仅可以得到相对延迟，还可以得到
式 6 的波峰的绝对延迟
\begin{equation}
\Delta t(\omega) = \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{\omega}} ~.
\end{equation}
若波包是对称的，那么波峰的位置等于波包的平均位置，若不对称，则二者不相等，绝对延迟是指前者。
2. 短程中心势能散射的延迟
原理和上文也几乎一样。无论有限远处的势能是什么样，只要无限远的地方有极限相移，那么就用该相移来计算即可。
3. 库仑势能散射的延迟
库仑势能的库仑函数在无穷远处不存在相移的极限。所以这个延迟会是无穷大。
\begin{equation}
\delta_l(E) = - \frac{\pi l}{2} - \eta \ln\left(2kr\right) + \sigma_l(E)~,
\end{equation}
而且这个相移和 $l$ 有关。
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