贡献者： addis
广义情况下，一阶微扰得到的波包是（可能做任何运动，在任何形状的势能中），令 $ \left\lvert k \right\rangle $ 为精确散射态（无论几维波函数，无论出于什么样的势能函数中）
\begin{equation}
\left\lvert \psi(t) \right\rangle = \int C(E) \left\lvert E \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Et} \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
其中 $E = k^2/2$。那么该波包 $\Delta t$ 时间之前的样子就精确是
\begin{equation}
\left\lvert \psi(t-\Delta t) \right\rangle = \int C'(E) \left\lvert E \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Et} \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
其中 $C'(E) = C(E) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} E \Delta t}$。可见，给系数添加一个关于能量的相位 $E \Delta t$ 就会使波包精确落后 $\Delta t$，也添加相位后的波函数要再演化 $\Delta t$ 才能达到添加相位以前的状态。以上的一切都是精确的。
一维自由粒子
首先，对于 $V(x)=0$ 的自由粒子，若
\begin{equation}
\psi(x,t) = \int A(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (kx-Et)} \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
其中 $E=k^2/2$。如果 $A(k)$ 是以 $k_0$ 为中心的
偶函数且实函数，那么根据傅里叶变换的
定理 1 和平移性质（
式 15 ），$\psi(x,0)$ 就是一个
偶函数且实函数乘以 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x}$。根据 Ehrenfest 定理的
式 16 ，无论初始形状的具体形状如何 $ \left\langle x \right\rangle = k_0 t$ 都是精确成立的。但对任意单调的 $V(x)$，$ \left\langle x \right\rangle $ 的轨迹并不精确等于经典粒子，因为 $ \left\langle \psi \middle| V(x) \middle| \psi \right\rangle \approx V( \left\langle \psi \middle| x \middle| \psi \right\rangle )$ 通常只是近似成立（势能曲线改变越缓慢，越精确）。
未完成：当 $t>0$ 时是否波包的形状也像高斯波包那样关于 $x_c$ 对称的呢（虽然肯定有 chirp）？
\begin{equation}
\psi(x,t) = \int A(k)\exp \mathrm{i} \left[k(x - kt/2) \right] \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
空间频率越高越右移
根据以上结论，在此基础上若令 $C(k) = A(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} E\Delta t}$，那么此直线运动的轨迹就是 $x_c = k_0(t-\Delta t)$。而
\begin{equation}
\Delta t = \frac{\partial}{\partial{E}} \arg C(k)~.
\end{equation}
如果基底不是平面波而是一个类似库仑平面波（相位甚至随位置变化，可能导致频率随位置变化），那么只需要把基底中的额外相位都并入到 $C(k)$ 中一起做能量偏导即可。
未完成：但时间延迟是相对于哪条直线呢？尤其是在并不太远的距离处。
一维散射
一个一维自由波包用傅里叶变换表示为
\begin{equation}
\psi(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(k) \exp \mathrm{i} [kx - \omega t + \varphi(k)] \,\mathrm{d}{k} ~,
\end{equation}
其中 $A(k)$ 是一个
实值函数。自由粒子满足 $\omega = k^2/(2m)$。如果经过一个局部的势阱或势垒，不同平面波透射后发生相移 $\phi(k)$，经过后，波包为
\begin{equation}
\psi'(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A'(k) \exp \mathrm{i} [kx - \omega t + \varphi(k) + \phi(k)] \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
近似假设 $A'(k)$ 和 $A(k)$ 成正比，那么延迟就是
\begin{equation}
\Delta t = \frac{\partial \phi}{\partial E} ~.
\end{equation}
注意这样定义的延迟与频率有关。这个延迟被称为
Wigner 延迟或者
EWS（Eisenbud-Wigner-Smith）延迟。
1. 驻相法
使用驻相法（stationary phase method）可以分析出波包峰值的近似位置、速度以及时间延迟。驻相法比上面的近似要略微严谨一些，获得的信息也多一些。同样假设波包带宽较窄或者 $A(k)$ 的相位随 $\omega$ 线性变化。那么对给定的 $x, t$，当且仅当式 6 中的积分在被积函数的总相位不随 $k$ 变化时取得模长最大值。被积函数的总相位等于 $kx - \omega t + \varphi$，令其对 $k$ 求导为零，有
\begin{equation}
x = v_g \left(t - \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{\omega}} \right) ~.
\end{equation}
其中 $v_g = \mathrm{d}{\omega}/\mathrm{d}{k} = k$ 是波包的速度，即
群速度。确切来说，是
波峰移动的速度。该式反应了波峰随时间的变化轨迹。同样，如果给 $\varphi$ 加上一个相移 $\phi$，可得
式 5 。可见，驻相法不仅可以得到相对延迟，还可以得到
式 6 的波峰的绝对延迟
\begin{equation}
\Delta t(\omega) = \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{\omega}} ~.
\end{equation}
若波包是对称的，那么波峰的位置等于波包的平均位置，若不对称，则二者不相等，绝对延迟是指前者。
2. 短程中心势能散射的延迟
原理和上文也几乎一样。无论有限远处的势能是什么样，只要无限远的地方有极限相移，那么就用该相移来计算即可。
3. 库仑势能散射的延迟
库仑势能的库仑函数在无穷远处不存在相移的极限。所以这个延迟会是无穷大。
\begin{equation}
\delta_l(E) = - \frac{\pi l}{2} - \eta \ln\left(2kr\right) + \sigma_l(E)~,
\end{equation}
而且这个相移和 $l$ 有关。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。