量子散射的延迟

             

贡献者: addis

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预备知识 一维散射(量子),群速度

   一个一维波包用傅里叶变换表示为

\begin{equation} \psi(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(k) \exp \mathrm{i} [ kx - \omega t + \varphi(k)] \,\mathrm{d}{k} \end{equation}
其中 $A(k)$ 是一个实值函数.自由粒子情况下 $\omega = k^2/(2m)$.如果经过一个局部的势阱或势垒,不同平面波透射后发生相移 $\phi(k)$,经过后,波包为
\begin{equation} \psi'(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A'(k) \exp \mathrm{i} [kx - \omega t + \varphi(k) + \phi(k)] \,\mathrm{d}{k} \end{equation}
想象一个特殊情况:经过势阱后 $A'(k) = a A(k)$ 只相差一个常数,且相移和 $\omega$ 成正比:$\phi(\omega) = \Delta t \omega$,那么波函数变为
\begin{equation} \psi'(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(k) \exp \mathrm{i} [kx - \omega (t - \Delta t) ] \,\mathrm{d}{k} = \psi(x, t - \Delta t) \end{equation}
这样波包在时间轴上向右平移了 $\Delta t$,即延迟了 $\Delta t$.近似来说,如果波包频率带宽较窄,中心为 $\omega_0$,那么在带宽以内可以把 $\phi$ 近似看成是 $\omega$ 的线性函数,那么延迟近似为
\begin{equation} \Delta t(\omega_0) = \left. \frac{\mathrm{d}{\phi}}{\mathrm{d}{\omega}} \right\rvert _{\omega = \omega_0} \end{equation}
如果要取一个与波包形状无关的延迟的定义,那么这个定义是最佳选择.注意这样定义的延迟与频率有关.这个延迟被称为 Wigner 延迟或者 EWS(Eisenbud-Wigner-Smith)延迟

1. 驻相法

   使用驻相法(stationary phase method)可以分析出波包峰值的近似位置、速度以及时间延迟.驻相法比上面的近似要略微严谨一些,获得的信息也多一些.同样假设波包带宽较窄或者 $A(k)$ 的相位随 $\omega$ 线性变化.那么对给定的 $x, t$,当且仅当式 1 中的积分在被积函数的总相位不随 $k$ 变化时取得模长最大值.被积函数的总相位等于 $kx - \omega t + \varphi$,令其对 $k$ 求导为零,有

\begin{equation} x = v_g \left(t - \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{\omega}} \right) \end{equation}
其中 $v_g = \mathrm{d}{\omega}/\mathrm{d}{k} = k$ 是波包的速度,即群速度.确切来说,是波峰移动的速度.该式反应了波峰随时间的变化轨迹.同样,如果给 $\varphi$ 加上一个相移 $\phi$,可得式 4 .可见,驻相法不仅可以得到相对延迟,还可以得到式 1 的波峰的绝对延迟
\begin{equation} \Delta t(\omega) = \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{\omega}} \end{equation}
若波包是对称的,那么波峰的位置等于波包的平均位置,若不对称,则二者不相等,绝对延迟是指前者.

2. 短程中心势能散射的延迟

   原理和上文也几乎一样.无论有限远处的势能是什么样,只要无限远的地方有极限相移,那么就用该相移来计算即可.

3. 库仑势能散射的延迟

   库仑势能的库仑函数在无穷远处不存在相移的极限.所以这个延迟会是无穷大.

\begin{equation} \delta_l(E) = - \frac{\pi l}{2} - \eta \ln\left(2kr\right) + \sigma_l(E) \end{equation}
而且这个相移和 $l$ 有关.


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