几何与解析几何初步（高中）

贡献者：欄、停敘

预备知识　数字与函数回顾

　　本文主要介绍一些在初中阶段已经学习过，并在高中阶段仍然具有重要作用的几何知识。这些知识不仅构成了高中几何的基础，也在解析几何、三角函数、立体几何等多个数学领域中发挥关键作用。理解和掌握这些概念，有助于更高效地解决高中数学中的几何问题，并为进一步学习提供坚实的基础。

1. 几何基础

基础的几何元素

　　几何中最基本的用于表示位置的元素称为点（point）。尽管在人们的直观印象中，点似乎是一个小的黑色实心圆，但在数学中，点是一种没有大小的抽象概念，并不对应任何具体的实体，仅用于标示位置。通常用大写字母 $A, B, C$ 等表示。

　　由无数个点按照一定顺序排列而成、没有宽度的理想化几何对象称为线（line）。若一条线上的所有点沿固定方向向两侧无限延伸，则称为直线（straight line）。在直线上引入端点截取后，可以得到以下两种特殊情况：

射线（ray）：从某个固定点出发，并沿特定方向无限延伸的部分。
线段（segment）：由两个端点截取直线中确定的有限长度的部分。

　　线段的度量（measurement）值称为长度（length），它是欧氏几何中最基本的几何量之一，无法通过更基本的概念加以定义。长度可用于计算两个点之间的距离（distance）¹，并在比例关系等计算中发挥作用。将线段平分为两段等长部分的点称为其中点（midpoint）。

　　由两条射线以同一点为起点构成的几何元素称为角（angle）。该起点称为顶点（vertex），两条射线分别称为角的边（sides）。

　　角的度量值称为角度（measure of angle）。角的大小可以用度（degree）、分（minute）、秒（second）表示，例如 $30^\circ34^{'}56^{"}$。这种表示角大小的单位制称为角度制（Degree System）²。角度制规定，周角（full angle）被均分为 $360$ 份，其中每一份称为 $1^\circ$。

　　根据角度的大小，可以将角分类如下：

锐角（acute angle）：角度小于 $90^\circ$ 的角。
直角（right angle）：角度等于 $90^\circ$ 的角。
钝角（obtuse angle）：角度大于 $90^\circ$ 但小于 $180^\circ$ 的角。
平角（straight angle）：角度等于 $180^\circ$ 的角。

　　对于大于 $180^\circ$ 的角，一般会采用其相对于周角另一侧的角度进行描述，以简化表达。

几何元素间的关系

　　在几何中，不同的元素之间存在特定的关系，这些关系决定了它们的相对位置和相互作用方式。以下是几种常见的几何关系。

　　如果两条直线相交形成 $90^\circ$ 角，则称它们垂直（perpendicular）³，记作 $AB \perp CD$，表示直线 $AB$ 与直线 $CD$ 相互垂直。如果两条直线位于同一平面内，并且无论如何延长都不会相交，则称它们平行（parallel），记作 $AB{\kern 0.56em/\kern -0.8em /\kern 0.56em}CD$ 或 $AB \parallel CD$。

　　一个点到一条直线的距离，指的是该点与直线上最近点之间的长度。具体来说，从该点作一条与该直线相交并成 $90^\circ$ 角的直线，称作垂线（perpendicular line），交点称为垂足（perpendicular foot）。点到直线的距离即为该点与垂足之间的线段长度。

　　对于一条线段，经过该线段的中点的垂线，称作该线段的垂直平分线（perpendicular bisector）。任何位于垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。反之，若某个点到线段两端点的距离相等，则该点一定在这条线段的垂直平分线上。

　　从角的顶点出发，将该角分成两个相等角的射线称作这个角的角平分线（angle bisector）。角平分线上任意一点到角的两边的距离相等，反之，若一个点到角的两边的距离相等，则它必定在该角的平分线上。

　　若两个角的和等于 $180^\circ$，则称这两个角互补（supplementary angles）；若两个角的和等于 $90^\circ$，则称它们互余（complementary angles）。

平行公设

　　 欧几里得几何（Euclidean geometry），或简称欧氏几何，有一条著名的平行公设（Parallel Postulate），原始表述是：若一条直线与两条直线相交，并使得同侧内角之和小于 $180^\circ$，则这两条直线在该侧必相交。平行公设有多个等价的表达方式，其中包括：

平行线唯一性（Uniqueness of Parallels）：在平面上，给定一条直线和直线外的一个点，至多只能作一条不与该直线相交的直线。
普罗克洛斯（Proclus）公理：若一条直线与两条平行直线之一相交，则它也必与另一条直线相交。
克莱因（Playfair）公理：在平面上，给定一条直线和直线外的一点，至多只能作一条平行于该直线的直线。
三角形内角和公理（Triangle Angle Sum Theorem）：任意三角形的内角和等于 $180^\circ$。

　　平行公设是欧几里得几何与非欧几何（non-Euclidean geometry）的核心区别。若改变平行公设，将会产生不同的几何体系，例如：

双曲几何（hyperbolic geometry）：在该几何体系中，给定一条直线和直线外的一点，可以作无数条不与已知直线相交的直线。这种几何在广义相对论和宇宙学中具有重要应用，例如描述非平坦的时空结构。
球面几何（spherical geometry）：在该几何体系中，不存在不相交的直线。例如，在球面上，所有 “直线” 都是大圆（great circles），它们总会相交。因此，在球面几何中，传统的平行概念不成立。这种几何在导航和天文学中具有重要意义，例如用于描述地球表面的测量和飞行路线的计算。

　　尽管非欧几何在现代数学和物理学中具有深远影响，但高中阶段所接触的几何仍然基于欧几里得几何，此处仅作简要介绍，以帮助理解几何体系的多样性。

2. 三角形

　　 三角形（triangle）是最简单的平面几何形状，它由三条线段首尾相接围成，其基本性质构成了欧几里得几何的重要部分。由于高中阶段研究的都是欧几里得几何，根据前面提及的平行公设的等价的表达方式，任意三角形的内角和等于 $180^\circ$。因此，三角形的内角不会大于 $180^\circ$，同时至多有一个内角大于等于 $90^\circ$。

基础概念

　　从三角形的一个顶点出发，向其对边所在直线作的垂线称为三角形的高（height）。高所对的边称作这个高所对的底（base）。由此得到的三角形的面积公式为：

\begin{equation} S_\triangle=\frac{1}{2} hb~. \end{equation}

其中 $h$ 为高，$b$ 为对应的底。三条高所在的直线交于一点，称作垂心（orthocenter）。垂足可能在边上、与顶点重合或在边的延长线上，所以高可能位于三角形内部、与边重合或在外部。对应地，垂心在锐角三角形内部，直角三角形的直角顶点处，钝角三角形外部。

　　顶点与对边中点的连线称为中线（median）。三角形的三条中线交于一点，称作重心（centroid，或质心），重心将每条中线分为 $2:1$ 的比例（靠近顶点的一段较长）。

　　若三角形至少有两条边相等，则称为等腰三角形（isosceles triangle）。相等的两边称为腰（legs），它们所夹的角称为顶角（vertex angle），其余两个角称为底角（base angles）。顶角所对的边称为底（base），底边上的高同时是顶角的平分线。在等腰三角形的基础上，若其中一个内角为 $60^\circ$，或两腰与底的长度相等，则该三角形为等边三角形（equilateral triangle），此时三角形的三条边相等，或三个角均为 $60^\circ$。

三角形的关系

　　两个三角形相似（similarity），意味着它们的对应角相等，对应边的长度成比例。这种关系可以类比于将一个三角形按某个比例放大或缩小——尽管大小发生了变化，但整体的形状保持不变。常见的相似判定方法包括：

两个对应角相等；
两边的长度成比例，且夹角相等；
三边的长度成比例。

　　三角形的全等（congruence）是相似的特殊情况，此时对应边的比例系数为 $1$。这意味着，除了位置可能不同之外，它们的形状和大小完全相同，对应角相等，对应边的长度也完全相等。可以将其理解为，一个三角形可以通过平移、旋转或翻折与另一个完全重合。

直角三角形与三角函数

　　一个包含直角的三角形称为直角三角形（right triangle）。在直角三角形中，每条边的命名与所考察的角 $\theta$ 相关：

直角所对的最长边称为斜边（hypotenuse），它在所有直角三角形中都是最长的边。
角 $\theta$ 所在的边（但不包括斜边）称作邻边（adjacent）。
角 $\theta$ 对面的边称作对边（opposite）。

定理 1　勾股定理

　　在直角三角形中，三条边的长度满足勾股定理（Pythagorean Theorem），即两条直角边的平方和等于斜边的平方：

\begin{equation} a^2 + b^2 = c^2~. \end{equation}

其中，$a$ 和 $b$ 是直角三角形的两条直角边，$c$ 是斜边。

　　勾股定理既是直角三角形的必要条件，也是充分条件。勾股定理不仅描述了直角三角形的性质，还提供了一种判定三角形是否为直角三角形的方法。若已知三角形的三条边长，检验它们是否满足勾股定理，若成立，则该三角形必为直角三角形；反之，则一定不是直角三角形。

　　在整数范围内，有一些满足勾股定理的边长组合，被称为勾股数（Pythagorean triple）。最常见的勾股数组合包括 $(3,4,5)$，$(5,12,13)$，$(7,24,25)$ 等。他们都满足一个一般的公式：

\begin{equation} (m^2 - n^2, 2mn, m^2 + n^2),\qquad(m>n)~. \end{equation}

它可以构造所有的原始勾股数（即最大公因数为 1 的勾股数）。之前给出的例子分分别对应 $(m=2,n=1)$、$(m=3,n=2)$ 以及 $(m=4,n=3)$ 的情况。

　　 三角函数（Trigonometric Functions）描述了直角三角形中角度与边长之间的关系，是几何和数学分析中的核心概念。常见的三角函数包括正弦（sine）、余弦（cosine）和正切（tangent），分别记作 $\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$。

　　设直角三角形 $ABC$，其中角 $C$ 为直角，设角 $A$ 对应的对边、邻边和斜边分别为 $|BC|, |AC|, |AB|$，则角 $A$ 的三角函数定义如下：

\begin{equation} \sin A = \frac{|BC|}{|AB|}, \quad \cos A = \frac{|AC|}{|AB|}, \quad \tan A = \frac{|BC|}{|AC|}~. \end{equation}

　　三角函数的定义可以形象地理解为，在一定比例缩放下，直角三角形的形状保持不变，而三角函数值反映了角度和边长比例的稳定关系。这也是三角函数在几何测量、建筑设计、物理学等领域广泛应用的原因。下面给出一些常见的三角函数值。

表1：常见三角函数值

角 $\alpha$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$
$\sin\alpha$	$\displaystyle\frac{1}{2}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\alpha$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle\frac{1}{2}$
$\tan\alpha$	$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

3. 圆

　　 圆（circle）是平面内与某个定点距离等于定值的所有点组成的图形。其中，该定点称为圆心（center），通常记作 $O$，并以圆心指代圆，称为圆 $O$。定值称为半径（radius），通常记作 $r$。

　　对于圆上任意不重合的两点 $A$ 和 $B$，有以下概念：

弦（chord）是连接圆上任意两点的线段 $AB$。圆心到弦的垂线是该弦的垂直平分线。
弧（arc）是圆上两点之间的弧线。两点 $A$ 和 $B$ 将圆分成两条弧，分别称为劣弧（minor arc）和优弧（major arc），其中劣弧的长度不超过半个圆周，优弧的长度大于半个圆周。
顶点位于圆心，且两边与圆相交的角称为圆心角（central angle）。同样，一般包括一个小于 $180^\circ$ 的角和一个大于 $180^\circ$ 的角，二者分别与他们角内夹的弧对应⁴。一个圆周对应的圆心角为 $360^\circ$，因此也称其为周角（perigon）。

　　在未特别说明的情况下，通常 $\overset{\frown}{AB}$ 表示两点 $A$ 和 $B$ 之间的劣弧。此时，两点 $A$ 和 $B$ 可以唯一确定一条弦 $AB$，一条 $\overset{\frown}{AB}$ 和一个圆心角 $\angle AOB$。因此可以称他们三者对应，如：$\overset{\frown}{AB}$ 称为弦 $AB$ 所对应的弧，$\angle AOB$ 是 $AB$ 所对应的圆心角等⁵。

　　对于圆上任意不重合的三点 $A,B,C$，有以下概念：

顶点位于圆上，两边与圆相交的角称作圆周角（inscribed angle）。设顶点为 $C$，则圆周角 $\angle ACB$ 所夹圆弧 $\overset{\frown}{AB}$ 称作其对应的弧⁶，同弧对应的圆心角是圆周角的两倍，即 $\angle AOB=2\angle ACB$。
若三角形以 $A$、$B$、$C$ 为顶点，则称为圆的内接三角形（inscribed triangle），圆称为三角形的外接圆（circumcircle）。三角形的三个内角就是外接圆的三个圆周角，三角形的外心（circumcenter）也就是外接圆的圆心。三条边的垂直平分线交于外心，它到三个顶点的距离相等。
若三角形的三边分别与圆相切于 $A$、$B$、$C$，则称为圆的外切三角形（circumscribed triangle），圆称为三角形的内切圆（incircle）。三角形的内心（incenter）也就是内切圆的圆心。三个内角的角平分线交于内心，它到三边的距离相等。
外接三角形某一边及其余两边延长线的圆，称作三角形旁切圆（excircle），旁切圆的圆心称作旁心（excenter）⁷。一个三角形有三个旁心，每个旁心对应一个旁切圆。

　　通过圆心的弦称为圆的直径（diameter），通常记作 $d$，满足：

\begin{equation} d = 2r~. \end{equation}

此时，所对弧称为半圆（semicircle），所对圆心角为平角，即 $180^\circ$，所对圆周角为直角，即 $90^\circ$。因此，由直径参与构成的圆内接三角形一定是直角三角形。

　　圆的周长与直径之比是一个定值，其值等于数学常数 $\pi$，因此也称作圆周率⁸。$\pi$ 是数学中极为重要的常数，它是一个无理数，近似值为 $\pi \approx 3.14159$。

　　对半径为 $r$ 圆有，其周长：

\begin{equation} C = \pi d=2 \pi r~. \end{equation}

　　面积：

\begin{equation} S = \pi r^2~. \end{equation}

4. 解析几何基础

　　借助平面直角坐标系，几何形状可以通过数对来分析和研究，这一方式称为解析几何。在平面直角坐标系中，对点 $A(x_1, y_1)$ 和点 $B(x_2, y_2) $ 构成的线段 $AB$ 有，$AB$ 的长度 $|AB|$（或者说 $A,B$ 之间的距离）为：

\begin{equation} d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}~. \end{equation}

线段中点 $M$ 的坐标为：

\begin{equation} M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)~. \end{equation}

　　下面给出的是常见的解析几何中使用的表达式：

定义 1　直线的斜截式

　　斜率为 $k$ 且在 $y$ 轴上的截距为 $b$ 的直线方程为：

\begin{equation} y=kx+b~. \end{equation}

定义 2　直线的点斜式

　　经过点 $(x_0,y_0)$，且斜率为 $k$ 点直线表达式为：

\begin{equation} y-y_0=k(x-x_0)~. \end{equation}

　　对于存在斜率的两条直线，设两个斜率分别为 $k_1,k_2$，则：

当且仅当 $k_1 = k_2 $ 时，两直线平行。
当且仅当 $k_1 k_2 = -1$ 时，两直线垂直。

定义 3　直线的两点式

　　已知直线上的两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ ，直线方程为：

\begin{equation} \frac{y - y_1 }{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}~. \end{equation}

定义 4　圆的方程

　　以点 $(a, b)$ 为圆心，$r$ 为半径的圆的方程为：

\begin{equation} (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2~. \end{equation}

1. ^ 注意距离和长度的区别：长度是线段的性质，而距离是两个点之间的性质。尽管在此处二者的数值相等，但并不总是如此。
2. ^ 在角度制中，“角度” 既可指角的大小，也可指表示角大小的单位，分别类似于线段中的” 长度” 和” 米”。由于语言习惯，这两者通常都称为 “角度”。
3. ^ 这个概念在向量或更高维的数学里扩展为正交（orthogonal）。
4. ^ 有的人分别称这两种为劣角和优角，以求和弧对应，但使用不广泛。劣角在英语中无对应词，优角对应的词为 “Reflex Angle”，直译是反射角，对应平面反射的情况。
5. ^ 如果有特殊情况，则不一一对应，一条弦对应两段弧，但每个弧仍对应一个圆心角。
6. ^ “所夹圆弧” 的意思是指，由 $A,B$ 两点截得，且顶点 $C$ 不在的圆弧。
7. ^ 这里介绍的外心、内心、旁心与之前提到的垂心和重心称作三角形的 “五心”。
8. ^ 这里并没有采用通常教材中的 “圆周长与直径之比定义为圆周率” 的表述。现代数学为了避免循环论证，采用其他方法定义 $\pi$，之后再得到 “圆的周长与直径之比是一个定值” 的结论。

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