几何与解析几何初步（高中）

贡献者：欄、停敘

本文处于草稿阶段。

　　本文主要介绍初中出现过，并在高中阶段有重要作用的几何知识。

1. 几何基础

　　点：线：角：直角、锐角、钝角

　　角度：角的大小

　　垂直与平行

　　几何公理： 垂直平分线（perpendicular bisector）：性质 角平分线（angle bisector）：性质

2. 三角形

　　三角形是最简单的由线段围城的平面几何形状。

　　高是从三角形的一个顶点垂直于其对边或对边延长线的线段，不一定在三角形内部。

　　三角形内角和

　　直角三角形等腰三角形等边三角形

　　三角形的 “五心” 包括：

三条中线交于一点，称作重心（centroid），重心将每条中线分为 $2:1$ 的比例（靠近顶点的一段较长）。如果将也是三角形的质心
三条高交于一点，称作垂心（orthocenter）。
三条角平分线交于一点，称作内心（incenter）。
三边垂直平分线交于一点，称作外心（circumcenter）。
*三角形的旁切圆（外接于三角形的某一边和另外两边的延长线的圆）的圆心，称作旁心（excenter）。一个三角形有三个旁心，每个旁心都对应一个旁切圆。

　　全等相似

3. 三角函数

　　正弦、余弦、正切的定义

表1：常见三角函数值

角 $\alpha$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$
$\sin\alpha$	$\displaystyle\frac{1}{2}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\alpha$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle\frac{1}{2}$
$\tan\alpha$	$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

4. 圆

　　 圆（circle）是平面内与某个定点距离等于定值的所有点组成的图形。其中，该定点称为圆心（center），通常记作 $O$，并以圆心指代圆，称为圆 $O$。定值称为半径（radius），通常记作 $r$。

　　对于圆上任意不重合的两点 $A$ 和 $B$，有以下概念：

弦（chord）是连接圆上任意两点的线段 $AB$。圆心到弦的垂线是该弦的垂直平分线。
弧（arc）是圆上两点之间的弧线。两点 $A$ 和 $B$ 将圆分成两条弧，分别称为劣弧（minor arc）和优弧（major arc），其中劣弧的长度不超过半个圆周，优弧的长度大于半个圆周。
顶点位于圆心，且两边与圆相交的角称为圆心角（central angle）。同样，一般包括一个小于 $180^\circ$ 的角和一个大于 $180^\circ$ 的角，二者分别与他们角内夹的弧对应¹。一个圆周对应的圆心角为 $360^\circ$，因此也称其为周角（perigon）。

　　在未特别说明的情况下，通常 $\overset{\frown}{AB}$ 表示两点 $A$ 和 $B$ 之间的劣弧。此时，两点 $A$ 和 $B$ 可以唯一确定一条弦 $AB$，一条 $\overset{\frown}{AB}$ 和一个圆心角 $\angle AOB$。因此可以称他们三者对应，如：$\overset{\frown}{AB}$ 称为弦 $AB$ 所对应的弧，$\angle AOB$ 是 $AB$ 所对应的圆心角等²。

　　对于圆上任意不重合的三点 $A,B,C$，有以下概念：

顶点位于圆上，两边与圆相交的角称作圆周角（inscribed angle）。设顶点为 $C$，则圆周角 $\angle ACB$ 所夹圆弧 $\overset{\frown}{AB}$ 称作其对应的弧³，同弧对应的圆心角是圆周角的两倍，即 $\angle AOB=2\angle ACB$。
若三角形以 $A$、$B$、$C$ 为顶点，则称为圆的内接三角形（inscribed triangle），圆称为三角形的外接圆（circumcircle）。三角形的三个内角就是外接圆的三个圆周角，三角形的外心（circumcenter）也就是外接圆的圆心。
若三角形的三边分别与圆相切于 $A$、$B$、$C$，则称为圆的外切三角形（circumscribed triangle），圆称为三角形的内切圆（incircle）。三角形的内心（incenter）也就是内切圆的圆心。

　　通过圆心的弦称为圆的直径（diameter），通常记作 $d$，满足：

\begin{equation} d = 2r~. \end{equation}

此时，所对弧称为半圆（semicircle），所对圆心角为平角，即 $180^\circ$，所对圆周角为直角，即 $90^\circ$。因此，由直径参与构成的圆内接三角形一定是直角三角形。

　　圆的周长与直径之比是一个定值，其值等于数学常数 $\pi$，因此也称作圆周率⁴。$\pi$ 是数学中极为重要的常数，它是一个无理数，近似值为 $\pi \approx 3.14159$。

　　对半径为 $r$ 圆有，其周长：

\begin{equation} C = \pi d=2 \pi r~. \end{equation}

　　面积：

\begin{equation} S = \pi r^2~. \end{equation}

5. 解析几何基础

坐标系

　　将所有的实数和直线上的点一一对应，就形成了数轴（number line）。。数轴的定义基于一个确定的原点、单位长度和正方向，这三个因素唯一地确定了数轴在几何中的位置和方向。法国数学家勒内·笛卡尔（René Descartes）在数学研究中，将两条数轴的原点重叠，并将其正交（即相互垂直）放置，创造了坐标系（coordinate system）。这就是初中阶段学习过的笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system），也称为直角坐标系（rectangular coordinate system）。

　　引入坐标系后，平面上的任何一点都可以通过一个有序数对 $(x, y)$ 来表示。借助这种表示法，几何形状可以通过数对来分析和研究，这一方式称为解析几何。而当数对中的值对应于函数的变量及其结果时，几何图形就成为了函数的图像。因此，坐标系不仅为函数的图像提供了清晰的视觉表达，还使得人们可以通过几何图形直观地观察函数的性质，例如其变化趋势、最大值和最小值等。

　　通常，直角坐标系中，两条数轴称为 $x$ 轴和 $y$ 轴，且向右的方向为 $x$ 轴的正方向，向上为 $y$ 轴的正方向。数轴将平面分为四个区域，称为象限（quadrant）。其中，第一象限是两个坐标都为正的区域，之后按逆时针方向依次为第二、第三和第四象限。

常见表达式

定义 1　直线的点斜式

　　经过点 $(x_0,y_0)$，且斜率为 $k$ 点直线表达式为：

\begin{equation} y-y_0=k(x-x_0)~. \end{equation}

1. ^ 有的人分别称这两种为劣角和优角，以求和弧对应，但使用不广泛。劣角在英语中无对应词，优角对应的词为 “Reflex Angle”，直译是反射角，对应平面反射的情况。
2. ^ 如果有特殊情况，则不一一对应，一条弦对应两段弧，但每个弧仍对应一个圆心角。
3. ^ “所夹圆弧” 的意思是指，由 $A,B$ 两点截得，且顶点 $C$ 不在的圆弧。
4. ^ 这里并没有采用通常教材中的 “圆周长与直径之比定义为圆周率” 的表述。现代数学为了避免循环论证，采用其他方法定义 $\pi$，之后再得到 “圆的周长与直径之比是一个定值” 的结论。

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