求积符号(累乘)

                     

贡献者: 欄、停敘; addis

  • 本文处于草稿阶段。

   类似求和符号,若有数列 $\{a_n\}$,即 $a_1, a_2, \dots$ 那么把它的前 $N$ 项相乘可得

\begin{equation} \prod_{n = 1}^N a_n = a_1\times a_2\times \dots a_N~. \end{equation}

1. 性质

   乘法结合律

\begin{equation} \prod_i a_i \prod_j b_j = \prod_{i,j} a_i b_j~. \end{equation}

   幂运算

\begin{equation} \left(\prod_i a_i \right) ^m = \prod_i a_i^m~. \end{equation}

   提取常数

\begin{equation} \prod_{i=1}^n (C \cdot a_i) = C^n \cdot \prod_{i=1}^n a_i.~ \end{equation}

2. 与求和符号的转化

  

未完成:对数加连接

   若 $\forall a_i > 0$,则利用对数的性质可以得到:

\begin{equation} \ln \left( \prod_i a_i \right) = \sum_i \ln\left(a_i\right) .~ \end{equation}

   两边取指数也可以得到转换的另一种形式:

\begin{equation} \prod_i a_i = e^{\displaystyle\sum_i \ln {a_i}}.~ \end{equation}


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