合同变换

贡献者： 叶月2_; addis

　　 给定域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$，$f$ 为对称双线性函数：$V\times V\to \mathbb{F}$，也就是二次型 $q(\mathbf{v}),\mathbf{v}\in V$。再给定 $V$ 上的一组基 $\{{\mathit{e}}_i\}$，则二次型可以表示为：

　　 研究任何变换下的不变量是很重要的。相对于相似变换，合同变换的不变量很少，只有秩与惯性指数。 由于矩阵 C 是可逆的，则左乘的逆矩阵和右乘的矩阵 C 都可以写作一系列初等矩阵的乘积，所以合同变换只是进行了若干个初等列变换与行变换，因而秩不变。惯性指数不变在惯性定理的证明中得以体现。

　　 在合同变换中，有一条很重要的定理：实对称矩阵一定能通过合同变换化为对角矩阵。也即：实数域上的二次型总有标准形。证明思路如下： 考虑矩阵 $A_j^i$，现在要消掉第一行第二列的元素 $b$。一共有三种情况：

1. $b$=0,不需要消除
2. $b$≠0，第一行第一列元素 $a$≠0，C 为执行 $ka+b=0$ 的初等列变换。合同变换中配对的行变换把其对称元素，即第二行第一列的元素也化为 0.
3. $b$≠0，$a$=0，那么第一步合同变换为把第二行的元素加到第一行，把第二列的元素加到第一列，使得 $a$≠0，再执行上一步变换。

　　 以第一个对角元为 “参考”，用该思路可以消除第一行和第一列的非对角元元素。其他非对角元素的消除同理。

　　 如果只是对角化，那么对角矩阵有很多可能。然而，有一类合同变换十分特殊，是用正交矩阵对 A 进行合同变换。因此，这也是相似对角化的过程。

　　 proof.首先，我们证明 n 阶实对称矩阵 $A$ 必有 n 个实本征值。 我们知道，求本征值的过程是在解特征多项式 $|A-\lambda E|$。根据代数学基本定理，n 次方程在复数域上必有 n 个根。因此只需要证明实对称矩阵的本征值皆为实数即可。 设 $\mathit{x}$ 为任意一个本征向量，$\lambda$ 为其对应的本征值，那么我们有

　　 然后证明，实对称矩阵 $A$ 的不同本征值对应相互正交的本征向量。为了表示方便，以下回归 $A$ 作为对称变换的意义，括号表示内积。设 ${\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2$ 为 A 的两个本征向量，那么我们有 $$(A{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{x}}_{\mathbf{2}})={\lambda }_1({\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{x}}_{\mathbf{2}})=({\mathit{x}}_1,A{\mathit{x}}_2)={\lambda }_2({\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{x}}_{\mathbf{2}})=0,$$ 利用对称性，我们还能得到对称变换的另一性质。

　　 这意味着对称变换的矩阵形式，即对称矩阵可以分解为不变子空间的直和。从前文我们已知，对称矩阵的不同本征值对应的本征向量是相互正交的。现在我们对本征值进行分类。前 i 个本征值都只有一个本征向量，由于它们是矩阵 $A$ 的不变子空间，因此直和亦是不变子空间，设为 W。拓展前 i 个正交向量为全空间的标准正交基。由于本征向量本来就相互正交，因而只作归一化即可，归一化后亦是矩阵的不变子空间。在这组基下，线性空间 $V=W\oplus W^{\perp }$，矩阵为 $\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2...{\lambda }_i,W^{\perp })$。

　　 重根 $({\lambda }_{i+1},{\lambda }_{i+2}...{\lambda }_k)$ 分别对应特征子空间 $W_{i+1},W_{i+2}...W_k$，它们依然是相互正交的。所以 $W_{i+1}\oplus W_{i+2}...\oplus W_k\subset W$ 为讨论方便，下设实对称矩阵 $A$ 只有一个重根，证明依然能被分解为(n-i)个不变子空间，即 $W_{i+1}=W^{\perp }$。 此时我们已经利用标准正交基把矩阵 $A$ 化为 $\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2...{\lambda }_i,W^{\perp })$。设 ${\lambda }_{i+1}$ 对应若干个本征向量，利用其中一个本征向量，可以进一步分解 $W^{\perp }$。由于对称矩阵在合同变换后依然是对称的，所以必能在剩余子空间中找到起码一个本征向量，再分解。重复这个步骤，把对称矩阵对角化。相当于在特征子空间上把本征向量进行施密特正交化。 这个证明也说明，实对称矩阵特征根的代数重数等于几何重数。 证毕。

　　 因此，利用施密特正交化后的本征向量组，我们可以把实对称矩阵化为对角矩阵。可以验证，对角元即对应的本征值。即：如果该标准正交基为 $\{{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathit{x}}_{\mathbf{3}}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}{\mathit{x}}_{\mathit{n}}\}$，对角化结果 $\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,...{\lambda }_n)$