幂函数(高中)

                     

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1. 有理数次幂函数

   我们先来看实参数的幂函数 $f(x) = x^a$ 在 $a\in\mathbb R$ 和 $x > 0$ 时函数曲线如图 1 所示.注意在该区间 $x^{1/a}$ 是 $x^a$ 的反函数.

图
图 1:实参数的幂函数(相同颜色的函数互为反函数)

   由图可知,对正数次幂($a > 0$),其定义域可以包含 $0$,且 $0^a = 0$.

   严格来说,$0^0$ 是无法定义的,但在有些场合我们定义 $0^0$,因为我们希望幂级数 $\sum_{n=0}^\infty c_n x^n$ 在 $x = 0$ 处的值是 $c_0$,即 $n=0$ 时的项是常数项.如果没有 $0^0 = 0$,那么该幂级数将只能更繁琐地记为 $c_0 + \sum_{n=1}^\infty c_n x^n$.

负数的幂函数

   显然,负数的整数次幂是良好定义的,因为这只涉及实数的乘法运算.当 $a$ 为偶数时,$x^a = (-x)^a$ 是偶函数,$a$ 为奇数时,$x^a = -(-x)^a$ 是奇函数.这样我们就可以把(TODO:插图)中整数次幂的曲线根据对称性延申到负半轴.

   而当我们试图将非整数次幂扩展到负实数时,便需要把函数值拓展到复数域中,并且可能有多个不同的函数值,例如 $(-1)^{1/2} = \pm \mathrm{i} $.

   有理数次幂函数 $x^{n/m}$($x\in \mathbb R$,$n$ 为整数,$m$ 为正整数)总是有 $m$ 个可能的值

\begin{equation} x^{n/m} = \left\{\begin{aligned} & \left\lvert x^n \right\rvert ^{1/m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} 2\pi k/m} & (x^n > 0)\\ & \left\lvert x^n \right\rvert ^{1/m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} 2\pi (k+1/2)/m} & (x^n < 0) \end{aligned}\right. \qquad (k = 0,1,\dots, m-1) \end{equation}

2. 无理数次幂函数


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