三角函数(高中)

                     

贡献者: 叶燊Leafshen; jingyuan; addis

预备知识 角的概念(高中)
  • 本词条处于草稿阶段.

1. 定义

   我们取单位圆上一点 $P(u,v)$,令 $OP$ 与 $x$ 轴夹角为 $\alpha$,则

\begin{equation} \begin{aligned} \cos\alpha &= u,\\ \sin\alpha &= v,\\ \tan\alpha &= \frac{v}{u} \end{aligned} \end{equation}

图
图 1:如图所示

   易得,正弦函数和余弦函数的定义域为全体实数,正切函数的定义域为 $\begin{Bmatrix}\alpha|\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\end{Bmatrix}$

2. 性质

   我们把随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数,正周期中最小的一个称为最小正周期

   对于函数 $f(x)$ 为,如果存在非零实数 $T$,对定义域内的任意一个 $x$ 值,都有

\begin{equation} f(x+T) = f(x) \end{equation}
我们把 $f(x)$ 称为周期函数,$T$ 称为这个函数的周期.

   正弦函数、余弦函数、正切函数的都是周期函数,根据定义易得,正弦函数和余弦函数,周期为 $2k\pi(k\in Z,k\neq0)$,正切函数的周期为 $k\pi(k\in Z,k\neq0)$.

3. 图像

   我们可以通过计算机绘制出函数图像

图
图 2:正弦函数
图
图 3:余弦函数

   可以看出正弦函数和余弦函数是定义域为 $R$ 值域为 $[-1,1]$ 最小正周期 $T = 2\pi$ 的周期函数.

4. 同角三角函数的基本关系

   三角函数除以上介绍的三种,还有三种:

  1. 正割函数 sec α
    \begin{equation} \sec \alpha = \frac{r}{u} \end{equation}
    (这里的 “r” 指上文 OP 的距离)
  2. 余割函数 csc α
    \begin{equation} \csc \alpha = \frac{r}{v} \end{equation}
  3. 余切函数 cot α
    \begin{equation} \cot \alpha = \frac{u}{v} \end{equation}

   了解三种函数后,同角三角函数的基本关系符合以下图示:

图
图 4:同角三角函数的基本关系

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