三角函数（高中）

贡献者：欄、停敘; 叶燊Leafshen; jingyuan; addis

预备知识　弧度制与任意角，几何与解析几何初步，函数

　　在初中阶段，三角函数（trigonometric functions）通常是在直角三角形的背景下引入的。在学习时，相信读者尚未学习 “函数” 这一概念，自然仅仅将其作为名称接受，并未意识到它与数学上的函数有何关联。而现在，在了解了函数表示的是输入与输出之间的确定关系的基础上，回顾初中的学习内容，可以发现：无论直角三角形的边长如何变化，只要其中一个锐角固定，三边之间的任意两者的比例始终不变。这一现象正是函数关系的体现——每个角都对应着唯一的比例，这也解释了三角函数名称的由来。

　　三角函数是一个历史悠久的数学主题，它的独特性在于，它不仅直接关联于几何图形，同时也符合函数的数学定义。这种双重属性使其从一开始就展现出复杂性。然而，复杂性往往伴随着强大的应用能力——事实上，几乎所有的周期函数都可以用三角函数表示。这一特性催生了一门重要的数学分支——傅里叶分析（Fourier analysis），它构成了现代电子信息技术、信号处理等领域的基础，建立了时间与频率之间的数学联系。

　　在高中阶段，三角函数主要考察的内容包括：

三角恒等变换，主要涉及三角函数的代数运算，如基本恒等式、倍角与半角公式等。
解三角形，基本仍是三角函数在几何中的应用，包括正弦定理和余弦定理的运用。
函数视角下的三角函数，主要考察三角函数的函数性质，如周期性、单调性、对称性、导数以及与其他函数的复合等内容。

　　这三个部分分别体现了三角函数在代数、几何和函数分析中的不同侧重点。而本文的核心目标正是将初中阶段熟悉的直角三角形中的三角函数推广至任意角，为上面提到的三个应用方向奠定基础。

1. 推广三角函数至任意角

　　最初，三角函数（如 $\sin$、$\cos$ 等）被用于衡量三角形的边长关系，但这种定义仅适用于锐角，即 $\displaystyle\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，因为直角三角形的定义要求其中一角固定为 $90^\circ$，从而限制了角的取值范围。随着角度的推广至任意角，为了突破这一限制，使三角函数适用于任意角，即 $\alpha\in\mathbb{R}$。三角函数的定义也需要从直角三角形推广到符合任意角的更一般的形式，以涵盖所有角度。

图 1：任意角示意图

　　如图 1 所示，既然任意角可以在坐标系中由角 $\alpha$ 与圆 $O$ 的交点 $P(u,v)$ 确定，自然可以想到，三角函数的定义也应与圆 $O$ 和点 $P(u,v)$ 相关。此外，由于相差 $2\pi$ 或 $360^\circ$ 的任意角具有相同的终边，显然这些角的三角函数值应该相同。换句话说，所有基本三角函数都应是周期函数，并且 $T=2\pi$ 是它们的一个周期。

　　接下来的问题是如何在单位圆中构造包含角 $\alpha$ 的直角三角形。这样做的好处在于，既能利用原本基于直角三角形的三角函数定义来推导新的定义，又能保证新定义在锐角情况下与原定义的结果一致，从而实现平滑地扩展。

　　在坐标系中，一个能把已知条件都利用上的直角三角形构造方式是过点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线。此时，斜边即圆的半径 $r$，角 $\alpha$ 的对边等于点 $P$ 的纵坐标 $v$，邻边等于其横坐标 $u$。由于这三个量对于任意角 $\alpha$ 都是确定的，因此可以自然地推广初中学过的三角函数定义：

\begin{equation} \begin{array}{c} \displaystyle\sin\alpha = \frac{v}{r}\\ \displaystyle\cos\alpha = \frac{u}{r}\\ \displaystyle\tan\alpha = \frac{v}{u} \end{array}~. \end{equation}

2. 三角函数

　　在几何问题中，三角函数通常以角度为单位表示，但从函数的角度来看，为了使三角函数更自然地融入实数函数体系，通常采用弧度制，将角的大小作为自变量。引入弧度制不仅简化了数学表达，还优化了三角函数的性质。例如，在弧度制下，$\sin x$ 在 $x=0$ 处的导数为 $1$，这一特性使得微积分中的运算更加简洁和直观。

　　此外，如前文在讨论任意角和弧度制时所述，三角函数的研究也通常放在单位圆中。这是因为单位圆的半径恒定为 $r=1$，使得三角函数的定义中不再显式地依赖 $r$（而正切 $\tan\alpha$ 的表达式本身就不涉及 $r$）。本质上，三角函数仅取决于角的大小，而与斜边长度无关，因此在单位圆中定义三角函数更加清晰，也有利于后续的函数分析和计算。

定义 1　三角函数

　　设自变量 $x$ 为 $OP$ 与 $x$ 轴的夹角，角 $x$ 与单位圆的交点为 $P(u,v)$，则有：

正弦函数（sine）
\begin{equation} \displaystyle\sin x = v~. \end{equation}
余弦函数（cosine）
\begin{equation} \displaystyle\cos x = u~. \end{equation}
正切函数（tangent）
\begin{equation} \displaystyle\tan x = \frac{v}{u}~. \end{equation}

　　这里的三角函数在定义方式上，与之前学习的幂函数、指数函数和对数函数有所不同。尽管它仍然是一个运算，但这一运算并非直接的代数运算，而是涉及几何图形、长度等概念。在高中阶段，这种区别并不会带来太大影响，但在高等数学中，这样的定义可能会引发某些循环论证的问题，因此在更深入的数学学习中，三角函数的定义会进一步调整。然而，无论如何调整，这些改进仍然是基于最初直角三角形中的三角函数概念，只是为了逻辑上的严密性进行扩展。

　　事实上，许多数学概念的发展都遵循类似的过程。最初的概念往往是直观且朴素的，但为了扩大其适用范围或增强其严谨性，数学家会对其重新定义。这时，理解概念的关键在于两点：一是掌握最初的直观概念，二是理解重新定义时所采用的思路。任何数学概念的提出都不是凭空产生的，而是基于已有的知识体系逐步演化而来的。

　　值得注意的是，由于点 $P$ 位于单位圆上，其坐标 $u$ 和 $v$ 可能为负值，因此三角函数的取值也可能为负。例如，第二象限角的余弦值为负，第三象限角的正弦值为负，这超出了原本直角三角形中三角函数仅表示边长比的概念。毕竟，在直角三角形中，边长始终是非负的。然而，这种推广方式仍然是合理的。一方面，在锐角范围内，它与初中阶段的三角函数定义完全一致；另一方面，它揭示了三角函数更本质的数学关系，即不仅仅是边长的比例，而是结合坐标方向的数值表达。实际上，原定义中没有负值的情况只是直角三角形模型下的特殊表现，而推广至任意角后，负值的引入是自然且必要的，使得三角函数的定义更加普遍和完备。

　　除上述介绍的三种基本三角函数外，还有另外三种三角函数，在高中阶段通常不涉及，包括¹：

定义 2　*三角函数

　　设自变量 $x$ 为 $OP$ 与 $x$ 轴的夹角，角 $x$ 与单位圆的交点为 $P(u,v)$，则有：

余切函数（cotangent）
\begin{equation} \displaystyle\cot x= \frac{u}{v}~. \end{equation}
正割函数（secant）
\begin{equation} \displaystyle\sec x = \frac{1}{u}~. \end{equation}
余割函数（cosecant）
\begin{equation} \displaystyle\csc x = \frac{1}{v}~. \end{equation}

　　显然，它们分别是 $\tan x, \cos x, \sin x$ 的倒数。需要注意的是，尽管余割的英文是 cosecant，但由于 $\cos$ 已经被用来表示余弦（cosine），因此采用另一种方式来表示余割：取单词 cosecant 中的第 1、3、5 个字母，形成 $\csc$ 这一记号。

　　可以看到，这六个三角函数的定义都与圆密切相关，它们既可以看作是角 $x$ 的变化，也可以看作是点 $P$ 在单位圆上的运动。因此，三角函数也被称为圆函数（circular functions）。在初中和高中阶段，三角函数的背景始终限定在某个直角三角形中，而在扩展后的函数视角下中，可以这样理解：三角函数出现的场景必然可以找到某个点在圆上运动，这个观念在大学阶段会有非常重要的作用。

　　另外，在数学表达中，为了避免三角函数幂次的歧义，通常采用特定的书写习惯。例如，表达 $\sin x^2$ 可能会引起误解，不确定是 $ \sin\left(x^2\right) $ 还是 $(\sin x)^2$。因此，约定：

若表示 $(\sin x)^2$，写作 $\sin^2 x$，即幂次标在 $\sin$ 的上方。
若表示 $ \sin\left(x^2\right) $，则仍写作 $ \sin\left(x^2\right) $，并在必要时使用括号以避免混淆。

　　另外若内部仅为单项式，则可省略括号，而若内部为多项式，则需保留括号，以避免误解。具体例子而言如下：

\begin{equation} \sin\left(x^2\right) = \sin x^2,\quad (\sin x)^2 = \sin^2 x,\quad \sin2x,\quad \sin\left(3x+2\right) ~. \end{equation}

　　此外，在涉及三角函数的倒数时，通常直接使用相应的三角函数名称。例如 $\displaystyle \frac{1}{\sin x}$ 一般直接使用倒数写法或记作 $\csc x$。特别地，$\sin^{-1} x$ 等代表 $\sin x$ 或其他三角函数的反函数，称作反三角函数，通常未免歧义会记作 $\arcsin x$ 等，称作 “反正弦函数”，在计算机语言中也常用 asin(x) 表示。

3. 三角函数的几何含义

　　之前介绍的三角函数定义较为抽象，为了更清晰地理解六个三角函数的几何含义，以下内容将从几何角度分析锐角情况下任意角的三角函数定义，并探讨这些函数名称的由来。

　　一般，称呼需要研究的角 $\alpha$ 为正角。在此前的学习中，已经了解两个角互为余角的条件，即它们的角度之和为 $90^\circ$。换句话说，余角是 $90^\circ$ 减去给定正角后剩余的角。

　　在圆的背景下，弦、切、割的概念可以描述如下²：

连接圆上两点的线段称为弦³。
过圆外一点作直线，与圆交于相异的两点时，该直线称为割线。
过圆外一点作直线，与圆相交于唯一一点时，该直线称为切线。

　　这些几何元素可以在坐标系中直观地表示，如图 2 所示。

图 2：任意角的三角函数（锐角）

　　从图中可以清楚地看出：

$\sin\alpha$ 和 $\cos\alpha$ 是弦的一半，即对应于单位圆内的直角三角形中的直角边。
通过点 $X_0(1,0)$ 和 $Y_0(0,1)$ 作圆的切线，即与坐标轴垂直的直线，与角的终边所在直线相交于点 $T$ 和 $C$，得到的线段 $\overline{X_0T}$ 和 $\overline{Y_0C}$，分别对应 $\tan\alpha$ 和 $\cot\alpha$。换句话说，可以将这一过程理解为：希望从角的终边上找到一点，使其可以作圆的切线，并且为了利用直角三角形的特性，要求该切线与坐标轴（即角的始边）垂直，这样可以反推出圆外的点 $T$ 和 $C$。
$\sec\alpha$ 和 $\csc\alpha$ 分别对应于从 $T,C$ 作通过圆心的割线所得到的线段 $\overline{OT}$ 和 $\overline{OC}$，即切线、坐标轴和角的终边所在直线截取出的三角形的斜边。

　　可以看出三角函数中的弦、切、割分别是圆中弦、切线、割线的一部分。这样，每个正角的弦、切、割都涉及两个三角形：一个是单位圆内的三角形 $\triangle OPP_x$；另一个是包含圆外一点的三角形 $\triangle OTX_0$。对于余角，对应关系类似，只是对应的三角形是以余角展开的三角形。

　　当然根据上面的介绍，相信读者自己也可以画出其他情况下对应的几何图形，图 3 所示的是钝角情况下的图像。

图 3：任意角的三角函数（钝角）

　　将几何结果与三角函数的代数定义定义 1 和定义 2 相对照可以看到⁴：

正角弦、切的符号，由线段位于 $x$ 轴的上侧或下侧决定。
余角弦、切的符号，由线段位于 $y$ 轴的左侧或右侧决定。
割线的符号取决于它是否在角的终边上，若在终边上则为正，若在终边的反向延长线上则为负。

　　通过几何关系可以直观地看出，当角的终边落在 $y$ 轴上时，过 $X_0(1,0)$ 作的垂线将与终边平行，导致二者无交点 $T$，无法构成直角三角形，进而使得 $\tan\alpha$ 不存在。这种情况对应于 $\cos\alpha = 0$，即式 4 中分母为 $0$ 的情况。根据任意角的角度表示规则，此时的角度满足：$\displaystyle\alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi,(k\in\mathbb{Z})$ 或 $\displaystyle\alpha=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,(k\in\mathbb{Z})$，两者可以合并为：

\begin{equation} \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad(k\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

即，$\tan\alpha$ 在 $\alpha$ 取上述值时无定义，而 $\sec\alpha$ 由于 $\cos\alpha = 0$ 也同样无意义。同样地，

\begin{equation} \alpha=k\pi,\qquad(k\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

时，$\cot\alpha,\csc\alpha$ 也无意义。

**4. *同角三角函数的基本关系**

　　根据前文给出的三角函数定义，很容易得到下面三组同角三角函数的恒等关系：

倒数关系：
\begin{equation} \begin{split} \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\\ \sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1\\ \sec \alpha \cdot \cos \alpha = 1 \end{split}~. \end{equation}
乘积关系：
\begin{equation} \begin{split} \tan \alpha \cdot\cos \alpha= \sin \alpha\\ \sin \alpha \cdot\cot \alpha= \cos \alpha\\ \cos \alpha \cdot\csc \alpha= \cot \alpha\\ \cot \alpha \cdot\sec \alpha= \csc \alpha\\ \csc \alpha \cdot\tan \alpha= \sec \alpha\\ \sec \alpha \cdot\sin \alpha= \tan \alpha\\ \end{split}~. \end{equation}
平方关系：
\begin{equation} \begin{split} \sin ^{2} \alpha + \cos ^{2}\alpha =1\\ \tan ^{2} \alpha + 1 =\sec ^{2}\alpha\\ 1 + \cot ^{2}\alpha =\csc ^{2}\alpha\\ \end{split}~. \end{equation}

　　上面的公式太多了，不好记怎么办？有人总结了如图 4 所示的方法来辅助记忆：

六边形对角线上的函数互为倒数。
六边形顶点上的函数等于相邻两顶点乘积。
三个倒立的三角（黄色标记）上方两顶点的平方和等于下方顶点。

图 4：同角三角函数的基本关系

　　在上面的同角三角函数的恒等关系中，可以发现同一个数值往往有多种不同的表达方式。例如，$1$ 既可以表示为 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$，也可以表示为 $\sec^2\alpha-\tan^2\alpha$。这种性质表明，由三角函数构成的表达式与代数中熟悉的幂表达式不同，其表示形式通常并不唯一。这种灵活性是三角函数的一个重要特点，也是高中阶段经常需要处理的问题之一。

　　其实，由于高中阶段不涉及 $\cot,\sec,\csc$，因此，上面的关系中，常常使用的只有：

\begin{equation} \begin{array}{c} \sin ^{2} \alpha + \cos ^{2}\alpha=1\\ \displaystyle\tan \alpha= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \end{array}~. \end{equation}

　　前者是大名鼎鼎的勾股定理，后者则是初中时学习的 $\tan\alpha$ 的定义。这里之所以给出这么多，一则是为了知识的完整，二则是在一些推导过程中，利用恒等关系可以化简避免错误。如果觉得记忆困难，完全可以放弃，提升熟练度一样可以。

5. 诱导公式

　　之前提到过，第一象限内的角都是锐角，它们的三角函数值直接来源于直角三角形的边长或边的比值，因此无论计算哪种三角函数，其结果均为正值。在最初编制三角函数表时，人们仅针对这一范围制作表格，并对其数值进行了深入研究。然而，随着角度范围的扩展，如果要为所有可能的角度单独编制三角函数表，是几乎不可能的。

　　此时，人们发现可以利用三角函数在单位圆上的对称性⁵，将不同象限的角与第一象限的锐角建立关系。这些关系被归纳为诱导公式（Формулы приведения）⁶。这些公式不仅揭示了三角函数的对称性，也极大地简化了计算。

　　通过诱导公式，可以将任意角的三角函数值转换为第一象限的锐角情况，从而避免为所有角度单独编制三角函数表，使原有的表格仍然适用。这种方法使得计算更加高效，也为进一步研究三角恒等变换提供了重要工具。

　　根据三角函数的定义，角 $\alpha$ 在单位圆上对应的点 $P$ 具有坐标 $(u,v)$，该点的坐标决定了角 $\alpha$ 的各个三角函数值。由于单位圆具有多种对称性，当两个角 $\alpha,\beta$ 的对应点 $P, Q$ 具有关于 $x$ 轴、$y$ 轴或原点的对称性时，其横、纵坐标的绝对值相等，而符号则可能保持不变或相反。这直接影响了三角函数值的变化规律。具体来说，若两点 $P, Q$ 具有以下对称关系，则其坐标满足：

关于 $x$ 轴对称时，$u$ 保持不变，而 $v$ 互为相反数；
关于 $y$ 轴对称时，$u$ 互为相反数，而 $v$ 保持不变；
关于原点对称时，$u$、$v$ 均互为相反数；
关于 $y = x$ 对称时，交换横坐标和纵坐标，即从 $(u,v)$ 变成 $(v,u)$；
关于 $y = -x$ 对称时，交换横坐标和纵坐标，且二者均变号，即从 $(u,v)$ 变成 $(-v,-u)$。

　　由此可见，第二、第三、第四象限的角的三角函数值与第一象限锐角的三角函数值仅相差一个符号。因此，在计算时，只需确定对应的锐角值，并依据象限确定符号，即可快速求解。

　　接下来的关键问题就是：

如何用数学表达式描述这些对称关系；
对称引起的坐标的变化将如何影响三角函数值。

用角表示对称关系

　　首先来看关于 $x$ 轴对称的情况。由于三角函数的角是以 $x$ 轴正方向为始边定义的，因此若两个角 $\alpha, \beta$ 对应的点 $P, Q$ 关于 $x$ 轴对称，则 $Q$ 的位置可以看作是 $P$ 沿 $x$ 轴翻转，即 $P$ 的终边逆时针旋转 $\beta$ 所在的角度，而 $Q$ 的终边则顺时针旋转相同的角度。这意味着，若 $P$ 对应的角为 $\beta$，则 $Q$ 对应的角为 $-\beta$。由于单位圆的周期性，所有相差 $2k\pi$ 的角终边都在同一位置，此时有：

\begin{equation} \alpha = -\beta + 2k\pi, \qquad (k\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

　　下面再来推导关于 $y$ 轴对称的角度关系，这可以分成两终边在上半平面或下半平面两种情况。若角 $\alpha, \beta$ 的终边对应的点 $P, Q$ 关于 $y$ 轴对称，且两者都位于上半平面，则此时二者是早已熟悉的 “互补” 关系，即 $\alpha+\beta=\pi+2k\pi$，从而：

\begin{equation} \alpha = \pi-\beta + 2k\pi, \qquad (k\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

当 $\alpha, \beta$ 在下半平面时，可以先使用 $x$ 轴对称的关系，将下半平面的角转换为上半平面处理。若 $\alpha, \beta$ 都位于下半平面，可以令它们的关于 $x$ 轴对称的角分别为 $\alpha', \beta'$，即：

\begin{equation} \alpha'= -\alpha + 2m\pi, \qquad \beta' = -\beta + 2n\pi, \qquad (m,n\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

此时，$\alpha', \beta'$ 在上半平面且关于 $y$ 轴对称，即 $\alpha'=\pi-\beta'+2t\pi, (t\in\mathbb{Z})$，带入式 17 并令 $k = m+n-t$，得到：

\begin{equation} \alpha = -\pi-\beta + 2k\pi, \qquad (k\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

由于 $k$ 的任意性，令式 18 与式 20 中的 $k$ 结果相差 $1$ 可以发现二者的尽管表达式不同，但实际上表达的结果相同。这说明无论 $\alpha, \beta$ 处于上半平面还是下半平面，它们关于 $y$ 轴对称的角度关系都是相同的。

　　接下来是关于原点对称的情况，若两个角 $\alpha, \beta$ 对应的点 $P, Q$ 关于原点对称，则 $Q$ 可以看作是 $P$ 先关于 $x$ 轴对称，再关于 $y$ 轴对称得到的。若 $P$ 对应的角为 $\beta$，则关于 $x$ 轴对称后，得到 $P'$，其角为：

\begin{equation} \beta'= -\beta + 2k'\pi, \quad (k'\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

再将 $P'$ 关于 $y$ 轴对称，得到最终的 $Q$，则：

\begin{equation} \alpha = \pi - \beta' + 2m\pi, \quad (m\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

合并式 21 和式 22 ，令 $k = m-k' $ 化简得：

\begin{equation} \alpha = \pi + \beta + 2k\pi, \qquad (k\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

　　然后是关于 $y=x$ 对称的情况，当 $\alpha$ 与 $\beta$ 都处于第一象限时，二者的和为 $\displaystyle\pi \over2$，这是之前学习过的 “互余”。此时满足 $\displaystyle\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, (k\in\mathbb{Z})$，即：

\begin{equation} \alpha = \frac{\pi}{2} - \beta + 2k\pi, \qquad (k\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

当 $\alpha$ 处于其他象限时，可以利用关于 $x$ 轴、$y$ 轴或原点的对称变换，先将其变换到第一象限，再使用式 24 中的关系。下面以 $\alpha$ 处于第二象限为例，此时 $\beta$ 处于第四象限。将 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别关于 $y$ 轴和 $x$ 轴进行的对称变换，将其变换到第一象限：

\begin{equation} \alpha' = \pi - \alpha+2m\pi,\beta' = - \beta+2n\pi,\qquad(m,n\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

此时，$\alpha'$ 与 $\beta'$ 均位于第一象限且仍关于 $y=x$ 对称，即 $\displaystyle\alpha'=\frac{\pi}{2} - \beta' + 2k'\pi, \qquad (k'\in\mathbb{Z})$，取 $k=n+m-k'$ 后得到的结果与式 24 相同。事实上，所有象限经过上述处理后得到的结果都相同。

　　最后是关于 $y=-x$ 对称的情况，此时只要将两个角关于 $x$ 轴或 $y$ 轴对称后，二者就会关于 $y=x$ 对称。由于 x 轴情况简单就以此为例，将 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别关于 $x$ 轴进行的对称变换，可以得到：

\begin{equation} \alpha' = \pi - \alpha+2m\pi,\beta' = \pi- \beta+2n\pi,\qquad(m,n\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

此时满足 $\displaystyle\alpha'=\frac{\pi}{2} - \beta' + 2k'\pi,(k'\in\mathbb{Z})$，代入 $k=m+n+1-k'$ 可得：

\begin{equation} \alpha = -\frac{\pi}{2} - \beta + 2k\pi, \qquad (k\in\mathbb{Z})~. \end{equation}

　　至此，所有需要的对称情况都得到了，分别是：

关于 $x$ 轴对称时：式 17
关于 $y$ 轴对称时：式 18
关于原点对称时：式 23
关于 $y = x$ 对称时：式 24
关于 $y = -x$ 对称时：式 27

　　需要注意的是，尽管在前面的推导过程中，一开始时都假设 $\alpha$ 是第一象限角，但推导结果表明，这些对称的角关系对任意角 $\alpha$ 都成立。这一结果使得在教学中，为了便于记忆，常见的口诀会在记忆结论时，假设任意角 $\alpha$ 是第一象限角。这本是方便记忆的口诀，然而，许多教师在讲解时可能不会详细说明这一原理，而是仅强调结论，使得部分学生对其推导逻辑缺乏理解。前述分析正是对此进行了严密的论证，揭示了这些公式背后的数学本质。

　　对称性是数学中一种极为重要的思维方式，它不仅适用于三角函数的研究，还广泛应用于其他数学领域。例如，在高等数学中，研究对称性最终发展出了群论，这门学科系统地研究了各种对称结构，并在代数、几何、物理等诸多领域具有深远影响。因此，掌握对称性的思维方式，不仅能帮助理解三角函数的性质，也能为更深入的数学学习奠定基础。

诱导公式

　　首先，根据任意角的周期性有：

\begin{equation} \sin\left(\alpha + 2k\pi\right) = \sin \alpha, \quad \cos\left(\alpha + 2k\pi\right) = \cos \alpha,\quad \tan\left(\alpha+ 2k\pi\right) =\tan\alpha~. \end{equation}

　　然后根据刚才讨论过的对称性和坐标关系，并所有的正切函数拆分为正弦和余弦分别考虑，有⁷：

关于 $x$ 轴对称时：
\begin{equation} \sin\left(-\alpha\right) =-\sin\alpha,\quad \cos\left(-\alpha\right) = \cos \alpha,\quad \tan\left(-\alpha\right) =-\tan\alpha,~. \end{equation}
关于 $y$ 轴对称时：
\begin{equation} \sin\left(\pi-\alpha\right) =\sin\alpha,\quad \cos\left(\pi-\alpha\right) = -\cos \alpha,\quad \tan\left(\pi-\alpha\right) =-\tan\alpha~. \end{equation}
关于原点对称时：
\begin{equation} \sin\left(\pi+\alpha\right) =-\sin\alpha,\quad \cos\left(\pi+\alpha\right) = -\cos \alpha,\quad \tan\left(\pi+\alpha\right) = \tan \alpha~. \end{equation}
关于 $y = x$ 对称时：
\begin{equation} \sin\left({\pi\over2}-\alpha\right) =\cos\alpha,\quad \cos\left({\pi\over2}-\alpha\right) = \sin \alpha,\quad ^* \tan\left({\pi\over2}-\alpha\right) = \cot \alpha,~. \end{equation}
关于 $y = -x$ 对称时：
\begin{equation} \sin\left(-{\pi\over2}-\alpha\right) =-\cos\alpha,\quad \cos\left(-{\pi\over2}-\alpha\right) = -\sin \alpha,\quad ^* \tan\left(-{\pi\over2}-\alpha\right) = \cot \alpha,~. \end{equation}

　　这些公式互相结合可以得到更多的关系，比如将第一条和第五条结合可以得到：

\begin{equation} \sin\left({\pi\over2}+\alpha\right) =\cos\alpha,\quad \cos\left({\pi\over2}+\alpha\right) = -\sin \alpha,\quad ^* \tan\left({\pi\over2}+\alpha\right) = -\cot \alpha,~. \end{equation}

　　这些结果看上去很杂很多，但人们将这些公式总结为一个著名的口诀，即 “奇变偶不变，符号看象限”。这句话的含义是：

当角度涉及 $\displaystyle{\pi\over2}$ 的奇数倍（如 $\displaystyle{\pi\over2}$, $\displaystyle{3\pi\over2}$, $\displaystyle-{5\pi\over2}$ 等）时，正弦和余弦函数会相互转换，即 “奇变”；
当角度涉及 $\displaystyle{\pi\over2}$ 的偶数倍（如 $0$, $\displaystyle{2\pi\over2}=\pi$ 等，即 $\pi$ 的整数倍）时，函数形式保持不变，即 “偶不变”；
符号的确定依赖于角将角 $\alpha$ 视为锐角时，表达式所在的象限，即 “符号看象限”，参见图 5 。

图 5：三角函数的符号与角所在象限的关系

例 1　化简：$ \sin\left(3\pi-\alpha\right) $ 和 $\displaystyle \cos\left({3\pi\over2}+\alpha\right) $

　　解：

　　对于 $ \sin\left(3\pi-\alpha\right) $，由于 $\displaystyle3\pi=\frac{6\pi}{2}$ 是 $\displaystyle{\pi\over2}$ 的偶数倍，结果仍是 $\sin$，由于 $3\pi$ 终边落在 $x$ 负半轴上，因此 $3\pi-\alpha$ 落在第二象限，根据图 5 ，$\sin$ 在第二象限符号为正，因此： $$ \sin\left(3\pi-\alpha\right) =\sin\alpha~. $$

　　对于 $\displaystyle \cos\left({3\pi\over2}+\alpha\right) $，由于 $\displaystyle{3\pi\over2}$ 是 $\displaystyle{\pi\over2}$ 的奇数倍，结果变名为 $\sin$，由于 $\displaystyle{3\pi\over2}$ 终边落在 $y$ 负半轴上，因此 $\displaystyle{3\pi\over2}+\alpha$ 落在第四象限，根据图 5 ，$\cos$ 在第四象限符号为正⁸，因此： $$ \cos\left({3\pi\over2}+\alpha\right) =\sin\alpha~. $$

1. ^ 实际上，历史上还存在两个已经被弃用的三角函数概念：

　　 正矢（versine）

\begin{equation} \mathrm{versin }\alpha=\displaystyle{r-y\over r}~. \end{equation}

　　 余矢（vercosine）

\begin{equation} \mathrm{covers }\alpha=\displaystyle{r-x\over r}~. \end{equation}

为方便读者理解，并没有把上面的表达式放在单位圆中。在图 2 中，锐角的正矢和余矢分别对应于点 $P$ 在 $y$ 轴的投影与 $(0,1)$ 之间的部分，以及在 $x$ 轴的投影与 $(1,0)$ 之间的部分。早期的三角函数表中曾经包含这两个函数，最初的目的在于避免因正弦或余弦值过小而引入计算误差。然而，随着计算机的发展，这两个函数由于与其他三角函数的关系较弱，逐渐被弃用。
2. ^ 关于曲线的切线和割线，可参考切线与割线。
3. ^ 如果将弦与弧的组合视作一把 “弓”，那么弦正对应于弓上的弦，而 “矢” 的位置恰好就是这把弓上的 “箭”。
4. ^ 这里抛弃了人教版教科书上 “三角函数线” 的表述，更加简洁自然。
5. ^ 高中教材通常采用三角函数线进行推导，而实际上，通过三角函数的定义结合单位圆的对称性，可以简单、快速地得出这些结论。
6. ^ “приведение” 原意为 “换算，导出，引导”，因此其实这一组公式可以理解为 “换算公式”，即将其他象限的角换算至第一象限的对应角。英语中并无固定对应术语，通常仅称作对称关系，近年来有译作 “induction formula”，但使用较少。
7. ^ 下面的关系为简便先省略 $2k\pi$。
8. ^ 注意此处是看原本的函数，而非变后的。

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