贡献者： certain_pineapple; Giacomo
在群表示一节中曾提到群元可与线性变换建立同态关系，由此可以给出群的线性表示。矩阵表示是一种特殊的有限维度表示 $(\mathbb{F}^n, \rho)$，其中 $\rho: G \to \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$1，即将群元素表示成矩阵的形式。
对于一般的群表示 $(V, \rho)$，在向量空间 $V$ 中选取合适的基后，我们有同构 $ \operatorname {GL}(V) \cong \operatorname {GL}(\mathbb{F}^n) = \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$，因此我们可以把它转化成一个矩阵表示。
例 1 循环群 $C_n$ 的一维复表示
对于群 $C_n = \{e, a, a^2, \dots, a^{n - 1}\}$ 而言，有表示 $D: C_n \to \operatorname {GL}(1; \mathbb{C}) = \mathbb{C}^*$，定义为 $D(e)=1$，$D(a^m) = \mathrm{e}^{\frac{2\pi i}{n}m}$。显然，矩阵群 $D(C_n) = \{\mathrm{e}^{\frac{2\pi i}{n}m} \in \mathbb{C}^* \mid m \in \mathbb{Z}\}$ 乘法关系与 $C_n$ 乘法关系相同。
例 2 $C_n$ 群的二维实表示
对于群 $C_n$ 而言，有表示 $D: C_n \to \operatorname {GL}(2; \mathbb{R})$，满足
$D(e)=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$，
$D(a^m)=\begin{pmatrix}
\cos{\frac{2\pi m}{n}} & -\sin{\frac{2\pi m}{n}}\\
\sin{\frac{2\pi m}{n}} &\cos{\frac{2\pi m}{n}}
\end{pmatrix}~.$
这实际上是在平面上转动 $\frac{2\pi m}{n}$ 角所对应的旋转矩阵，这与 $C_n$ 群的几何含义相符，通过几何含义给出表示矩阵也是我们常用的方法。
定义 1 平凡表示
平凡表示（trivial representation）指的是是所有群元都对应于恒等线性映射（对应矩阵表示中的 1 或单位阵）的表示。
特别的，群 $G$ 的零表示（zero representation）指的是表示 $\rho: G \to \operatorname {GL}(0; \mathbb{F}) = \{0\}, \rho(g) = \operatorname {id}$。
定义 2 忠实表示
若群元与线性变换之间的映射是单射则称该表示为忠实表示。
显然，例 1 ，例 2 为群的忠实表示，而对于非平凡群来说，平凡表示不是忠实表示。
定义 3 矩阵群
矩阵群是群元素为矩阵的群，即某个一般线性群 $ \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$ 的子群。
定义 4 矩阵群的自身表示
对于矩阵群 $G \subseteq \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$ 那么其自身的矩阵形式给出表示叫做自身表示，即包含映射 $\rho: G \hookrightarrow \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$。
例 3 $SO2$ 群的自身表示
SO2 群是平面转动群其矩阵形式为：$D(\alpha)=\begin{pmatrix}
\cos{\alpha} & -\sin{\alpha}\\
\sin{\alpha} & \cos{\alpha}
\end{pmatrix}$。
则这是其自身表示。
推论 1
一个群表示的共轭、取逆后转置、取逆后取复共轭均还是群的一个表示，称为共轭表示、逆步表示和逆步复共轭表示。
证明：
若 $D_{g_\gamma}=D_{g_\alpha}D_{g_\beta}$，那么 $D_{g_\gamma}^*=D_{g_\alpha}^*D_{g_\beta}^*~,$
若 $D_{g_\gamma}=D_{g_\alpha}D_{g_\beta}$，那么 $(D_{g_\gamma}^{-1})^\mathrm{T}=(D_{g_\beta}^{-1}D_{g_\alpha}^{-1})^\mathrm{T}=(D_{g_\alpha}^{-1})^\mathrm{T}(D_{g_\beta}^{-1})^\mathrm{T}~,$
若 $D_{g_\gamma}=D_{g_\alpha}D_{g_\beta}$，那么 $(D_{g_\gamma}^{-1})^\dagger=(D_{g_\beta}^{-1}D_{g_\alpha}^{-1})^\dagger=(D_{g_\alpha}^{-1})^\dagger(D_{g_\beta}^{-1})^\dagger~.$
注：单纯的取逆或转置或复共轭得到的不一定是群的表示，原因如上，单纯取逆或转置及复共轭无法完成如上的两次调换顺序。
1. ^ 见一般线性群
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