群的矩阵表示及实例

                     

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预备知识 群表示,群乘法表及重排定理

   在群表示一节中曾提到群元可与线性变换建立同态关系,由此可以给出群的线性表示。矩阵表示是一种特殊的有限维度表示 $(\mathbb{F}^n, \rho)$,其中 $\rho: G \to \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$1,即将群元素表示成矩阵的形式。

   对于一般的群表示 $(V, \rho)$,在向量空间 $V$ 中选取合适的基后,我们有同构 $ \operatorname {GL}(V) \cong \operatorname {GL}(\mathbb{F}^n) = \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$,因此我们可以把它转化成一个矩阵表示。

例 1 循环群 $C_n$ 的一维复表示

   对于群 $C_n = \{e, a, a^2, \dots, a^{n - 1}\}$ 而言,有表示 $D: C_n \to \operatorname {GL}(1; \mathbb{C}) = \mathbb{C}^*$,定义为 $D(e)=1$,$D(a^m) = \mathrm{e}^{\frac{2\pi i}{n}m}$。显然,矩阵群 $D(C_n) = \{\mathrm{e}^{\frac{2\pi i}{n}m} \in \mathbb{C}^* \mid m \in \mathbb{Z}\}$ 乘法关系与 $C_n$ 乘法关系相同。

例 2 $C_n$ 群的二维实表示

   对于群 $C_n$ 而言,有表示 $D: C_n \to \operatorname {GL}(2; \mathbb{R})$,满足

   $D(e)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $D(a^m)=\begin{pmatrix} \cos{\frac{2\pi m}{n}} & -\sin{\frac{2\pi m}{n}}\\ \sin{\frac{2\pi m}{n}} &\cos{\frac{2\pi m}{n}} \end{pmatrix}$

   这实际上是在平面上转动 $\frac{2\pi m}{n}$ 角所对应的旋转矩阵,这与 $C_n$ 群的几何含义相符,通过几何含义给出表示矩阵也是我们常用的方法。

定义 1 平凡表示

   平凡表示(trivial representation)指的是是所有群元都对应于恒等线性映射(对应矩阵表示中的 1 或单位阵)的表示。

   特别的,群 $G$ 的零表示(zero representation)指的是表示 $\rho: G \to \operatorname {GL}(0; \mathbb{F}) = \{0\}, \rho(g) = \operatorname {id}$。

定义 2 忠实表示

   若群元与线性变换之间的映射是单射则称该表示为忠实表示

   显然,例 1 例 2 为群的忠实表示,而对于非平凡群来说,平凡表示不是忠实表示。

定义 3 矩阵群

   矩阵群是群元素为矩阵的群,即某个一般线性群 $ \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$ 的子群。

定义 4 矩阵群的自身表示

   对于矩阵群 $G \subseteq \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$ 那么其自身的矩阵形式给出表示叫做自身表示,即包含映射 $\rho: G \hookrightarrow \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$。

例 3 $SO2$ 群的自身表示

   SO2 群是平面转动群其矩阵形式为:$D(\alpha)=\begin{pmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha}\\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{pmatrix}$。 则这是其自身表示。

推论 1 

   一个群表示的共轭、取逆后转置、取逆后取复共轭均还是群的一个表示,称为共轭表示、逆步表示和逆步复共轭表示。

   证明:

   若 $D_{g_\gamma}=D_{g_\alpha}D_{g_\beta}$,那么 $D_{g_\gamma}^*=D_{g_\alpha}^*D_{g_\beta}^*$

   若 $D_{g_\gamma}=D_{g_\alpha}D_{g_\beta}$,那么 $(D_{g_\gamma}^{-1})^\mathrm{T}=(D_{g_\beta}^{-1}D_{g_\alpha}^{-1})^\mathrm{T}=(D_{g_\alpha}^{-1})^\mathrm{T}(D_{g_\beta}^{-1})^\mathrm{T}$

   若 $D_{g_\gamma}=D_{g_\alpha}D_{g_\beta}$,那么 $(D_{g_\gamma}^{-1})^\dagger=(D_{g_\beta}^{-1}D_{g_\alpha}^{-1})^\dagger=(D_{g_\alpha}^{-1})^\dagger(D_{g_\beta}^{-1})^\dagger$

   注:单纯的取逆或转置或复共轭得到的不一定是群的表示,原因如上,单纯取逆或转置及复共轭无法完成如上的两次调换顺序。


1. ^ 见一般线性群


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