群的矩阵表示及实例

贡献者： certain_pineapple; Giacomo

预备知识　群表示，群乘法表及重排定理

　　在群表示一节中曾提到群元可与线性变换建立同态关系，由此可以给出群的线性表示。矩阵表示是一种特殊的有限维度表示 $(F^{n}, ρ)$ ，其中 $ρ : G \to GL (n; F)$ ¹，即将群元素表示成矩阵的形式。

　　对于一般的群表示 $(V, ρ)$ ，在向量空间 $V$ 中选取合适的基后，我们有同构 $GL (V) ≅ GL (F^{n}) = GL (n; F)$ ，因此我们可以把它转化成一个矩阵表示。

例 1　循环群 $C_{n}$ 的一维复表示

　　对于群 $C_{n} = {e, a, a^{2}, \dots, a^{n - 1}}$ 而言，有表示 $D : C_{n} \to GL (1; C) = C^{*}$ ，定义为 $D (e) = 1$ ， $D (a^{m}) = e^{\frac{2 π i}{n} m}$ 。显然，矩阵群 $D (C_{n}) = {e^{\frac{2 π i}{n} m} \in C^{*} ∣ m \in Z}$ 乘法关系与 $C_{n}$ 乘法关系相同。

例 2　 $C_{n}$ 群的二维实表示

　　对于群 $C_{n}$ 而言，有表示 $D : C_{n} \to GL (2; R)$ ，满足

　　 $D (e) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ， $D (a^{m}) = (\begin{matrix} \cos \frac{2 π m}{n} & - \sin \frac{2 π m}{n} \\ \sin \frac{2 π m}{n} & \cos \frac{2 π m}{n} \end{matrix}) .$

　　这实际上是在平面上转动 $\frac{2 π m}{n}$ 角所对应的旋转矩阵，这与 $C_{n}$ 群的几何含义相符，通过几何含义给出表示矩阵也是我们常用的方法。

定义 1　平凡表示

　　 平凡表示（trivial representation）指的是是所有群元都对应于恒等线性映射（对应矩阵表示中的 1 或单位阵）的表示。

　　特别的，群 $G$ 的零表示（zero representation）指的是表示 $ρ : G \to GL (0; F) = {0}, ρ (g) = id$ 。

定义 2　忠实表示

　　若群元与线性变换之间的映射是单射则称该表示为忠实表示。

　　显然，例 1 ，例 2 为群的忠实表示，而对于非平凡群来说，平凡表示不是忠实表示。

定义 3　矩阵群

　　 矩阵群是群元素为矩阵的群，即某个一般线性群 $GL (n; F)$ 的子群。

定义 4　矩阵群的自身表示

　　对于矩阵群 $G \subseteq GL (n; F)$ 那么其自身的矩阵形式给出表示叫做自身表示，即包含映射 $ρ : G ↪ GL (n; F)$ 。

例 3　 $S O 2$ 群的自身表示

　　 SO2 群是平面转动群其矩阵形式为： $D (α) = (\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix})$ 。则这是其自身表示。

推论 1　

　　一个群表示的共轭、取逆后转置、取逆后取复共轭均还是群的一个表示，称为共轭表示、逆步表示和逆步复共轭表示。

　　证明：

　　若 $D_{g_{γ}} = D_{g_{α}} D_{g_{β}}$ ，那么 $D_{g_{γ}}^{*} = D_{g_{α}}^{*} D_{g_{β}}^{*},$

　　若 $D_{g_{γ}} = D_{g_{α}} D_{g_{β}}$ ，那么 $(D_{g_{γ}}^{- 1})^{T} = (D_{g_{β}}^{- 1} D_{g_{α}}^{- 1})^{T} = (D_{g_{α}}^{- 1})^{T} (D_{g_{β}}^{- 1})^{T},$

　　若 $D_{g_{γ}} = D_{g_{α}} D_{g_{β}}$ ，那么 $(D_{g_{γ}}^{- 1})^{†} = (D_{g_{β}}^{- 1} D_{g_{α}}^{- 1})^{†} = (D_{g_{α}}^{- 1})^{†} (D_{g_{β}}^{- 1})^{†} .$

　　注：单纯的取逆或转置或复共轭得到的不一定是群的表示，原因如上，单纯取逆或转置及复共轭无法完成如上的两次调换顺序。

1. ^ 见一般线性群

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群的矩阵表示及实例

例 1 循环群 Cn 的一维复表示

例 2 Cn 群的二维实表示

定义 1 平凡表示

定义 2 忠实表示

定义 3 矩阵群

定义 4 矩阵群的自身表示

例 3 SO2 群的自身表示

推论 1

例 1　循环群 $C_{n}$ 的一维复表示

例 2　 $C_{n}$ 群的二维实表示

定义 1　平凡表示

定义 2　忠实表示

定义 3　矩阵群

定义 4　矩阵群的自身表示

例 3　 $S O 2$ 群的自身表示

推论 1　