一般线性群

贡献者： Giacomo

　　 对于线性算符 $T\in \mathrm{GL}(n;\mathbb{F})$（或者更一般的 $\mathrm{GL}(V;\mathbb{F})$），$T$ 是可逆的当且仅当它的行列式为 $0\in \mathbb{F}$，即 $$\mathrm{GL}(n;\mathbb{F}):=\{T\in \mathrm{Mat}(n\times n)\mid det(T)\ne 0\}.$$

　　 因为在域 $\mathbb{F}$ 中，$0\ne 1$，很容易看出 $\mathrm{SL}(n;\mathbb{F})$ 是 $\mathrm{GL}(n;\mathbb{F})$ 的子群。

1. 实/复一般线性群

　　 这个章节我们来重点看看 $\mathrm{GL}(n;\mathbb{R})$ 和 $\mathrm{GL}(n;\mathbb{C})$。

　　 $M_n(\mathbb{C})$ 是全体 $n\times n$ 复矩阵的集合。作为一个向量空间，它同构于 ${\mathbb{C}}^{n^2}$。作为一个有限维度实向量空间¹，它也是一个拓扑空间，而且和 ${\mathbb{C}}^{n^2}\cong {\mathbb{R}}^{2n^2}$ 同胚。$M_n(\mathbb{C})$ 和 ${\mathbb{C}}^{n^2}$ 不同的地方在于，它本身构成一个 $\mathbb{C}$-代数，即矩阵的乘法。

　　 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 构成一个群，同时也是拓扑空间 $M_n(\mathbb{C})$ 的一个开集合（因此是个子流形定义 1 ，同时也是一个李群定义 1 ）。

　　 一方面，我们有 $\mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$，即所有的复系数矩阵都是实系数矩阵，因此我们有 $$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})\subseteq \mathrm{GL}(n,\mathbb{C}).$$

　　 另一方面，$\mathbb{C}$ 可以视作一个二维的实向量空间，带上一个实线性函数 $J:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 满足 $J\circ J=-\text{id}$，$J$ 有很多选择，比如 $J(a,b)=(-b,a)$，$J$ 可以推广到 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 上，此时我们有 $$\mathrm{GL}(n;\mathbb{C}):=\{A\in \mathrm{GL}(2n;\mathbb{R})\mid AJ=JA\}.$$

1. ^ 复向量空间当然也是实向量空间