一般线性群

                     

贡献者: Giacomo

预备知识 矢量空间,群

定义 1 一般线性群

   对于给定域 $\mathbb{F}$ 上的一个向量空间 $V$,$V$ 上的全体可逆自线性算符构成一个群,记做 $ \operatorname {GL}(V; \mathbb{F})$(或者 $ \operatorname {GL}_{\mathbb{F}}(V)$),称为 $V$(在 $\mathbb{F}$ 上)的一般线性群

   特别的,当 $V = \mathbb{F}^n$ 时,$ \operatorname {GL}(\mathbb{F}^n; \mathbb{F})$ 可以视作可逆矩阵的群,简写为 $ \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$(或者 $ \operatorname {GL}_n(\mathbb{F})$),称为 $\mathbb{F}$ 的 $n$ 维一般线性(矩阵)群

   当 $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ 或者 $\mathbb{C}$ 时,由于 $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ 本身是拓扑空间,$ \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$ 可以视作拓扑空间(矩阵空间)$ \operatorname {Mat}(n \times n) \cong \mathbb{F}^{n^2}$ 的子拓扑空间,因此 $ \operatorname {GL}(n; \mathbb{R}), \operatorname {GL}(n; \mathbb{C})$ 是拓扑群定义 1 ,更进一步的它们也是李群定义 1

   对于线性算符 $T \in \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$(或者更一般的 $ \operatorname {GL}(V; \mathbb{F})$),$T$ 是可逆的当且仅当它的行列式为 $0 \in \mathbb{F}$,即 $$ \operatorname {GL}(n; \mathbb{F}): = \{T \in \operatorname {Mat}(n \times n) \mid \det(T) \neq 0\} $$

定义 2 特殊线性群

   $\mathbb{F}$ 的 $n$ 维特殊线性(矩阵)群,$ \operatorname {SL}(n; \mathbb{F})$,定义为 $$ \{T \in \operatorname {Mat}(n \times n) \mid \det(T) = 1\} $$ 类似的我们也可以定义特殊线性群 $ \operatorname {SL}(V)$。

   因为在域 $\mathbb{F}$ 中,$0 \neq 1$,很容易看出 $ \operatorname {SL}(n; \mathbb{F})$ 是 $ \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$ 的子群。

1. 实/复一般线性群

   这个章节我们来重点看看 $ \operatorname {GL}(n; \mathbb{R})$ 和 $ \operatorname {GL}(n; \mathbb{C})$。

   $M_n(\mathbb{C})$ 是全体 $n \times n$ 复矩阵的集合。作为一个向量空间,它同构于 $\mathbb{C}^{n^2}$。作为一个有限维度实向量空间1,它也是一个拓扑空间,而且和 $\mathbb{C}^{n^2} \cong \mathbb{R}^{2 n^2}$ 同胚。$M_n(\mathbb{C})$ 和 $\mathbb{C}^{n^2}$ 不同的地方在于,它本身构成一个 $\mathbb{C}$-代数,即矩阵的乘法。

   $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 构成一个群,同时也是拓扑空间 $M_n(\mathbb{C})$ 的一个开集合(因此是个子流形定义 1 ,同时也是一个李群定义 1 )。

   一方面,我们有 $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$,即所有的复系数矩阵都是实系数矩阵,因此我们有 $$ \operatorname {GL}(n, \mathbb{R}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) $$

   另一方面,$\mathbb{C}$ 可以视作一个二维的实向量空间,带上一个实线性函数 $J: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 满足 $J \circ J = -\text{id}$,$J$ 有很多选择,比如 $J(a, b) = (-b, a)$,$J$ 可以推广到 $\mathbb{R}^{2 n}$ 上,此时我们有 $$ \operatorname {GL}(n; \mathbb{C}): = \{A \in \operatorname {GL}(2 n; \mathbb{R}) \mid A J = J A \} $$


1. ^ 复向量空间当然也是实向量空间


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