一般线性群

贡献者： Giacomo

　　 对于线性算符 $T \in \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$（或者更一般的 $ \operatorname {GL}(V; \mathbb{F})$），$T$ 是可逆的当且仅当它的行列式为 $0 \in \mathbb{F}$，即 $$ \operatorname {GL}(n; \mathbb{F}): = \{T \in \operatorname {Mat}(n \times n) \mid \det(T) \neq 0\}~. $$

　　 因为在域 $\mathbb{F}$ 中，$0 \neq 1$，很容易看出 $ \operatorname {SL}(n; \mathbb{F})$ 是 $ \operatorname {GL}(n; \mathbb{F})$ 的子群。

1. 实/复一般线性群

　　 这个章节我们来重点看看 $ \operatorname {GL}(n; \mathbb{R})$ 和 $ \operatorname {GL}(n; \mathbb{C})$。

　　 $M_n(\mathbb{C})$ 是全体 $n \times n$ 复矩阵的集合。作为一个向量空间，它同构于 $\mathbb{C}^{n^2}$。作为一个有限维度实向量空间¹，它也是一个拓扑空间，而且和 $\mathbb{C}^{n^2} \cong \mathbb{R}^{2 n^2}$ 同胚。$M_n(\mathbb{C})$ 和 $\mathbb{C}^{n^2}$ 不同的地方在于，它本身构成一个 $\mathbb{C}$-代数，即矩阵的乘法。

　　 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 构成一个群，同时也是拓扑空间 $M_n(\mathbb{C})$ 的一个开集合（因此是个子流形定义 1 ，同时也是一个李群定义 1 ）。

　　 一方面，我们有 $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$，即所有的复系数矩阵都是实系数矩阵，因此我们有 $$ \operatorname {GL}(n, \mathbb{R}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})~. $$

　　 另一方面，$\mathbb{C}$ 可以视作一个二维的实向量空间，带上一个实线性函数 $J: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 满足 $J \circ J = -\text{id}$，$J$ 有很多选择，比如 $J(a, b) = (-b, a)$，$J$ 可以推广到 $\mathbb{R}^{2 n}$ 上，此时我们有 $$ \operatorname {GL}(n; \mathbb{C}): = \{A \in \operatorname {GL}(2 n; \mathbb{R}) \mid A J = J A \}~. $$

1. ^ 复向量空间当然也是实向量空间