群表示

                     

贡献者: Giacomo; addis; hfb25; JierPeter; certain_pineapple

预备知识 1 群作用,域上的代数

1. 表示

   字面上讲,表示(representation)是用一个易于理解的表达方法来描述一些数学对象。比如说,对于学龄前的小朋友,想理解 $1+1=2$ 的概念可能过于抽象,不利于理解,这个时候可以使用 “一个苹果加一个苹果等于两个苹果” 来表示相同的概念,会更容易理解。

   数学上讲,表示论是研究对称性的学科,它把一个抽象的代数结构的元素映射成一个相对具体线性变换。其中群是表示论所研究的最简单的代数结构,这个学科就被称为群表示论[1] [2]

2. 群的表示

定义 1 群的(线性)表示

   设有群 $G$ 和一个线性空间 $V$,记 $V$ 上的全体可逆线性变换为 $ \operatorname {GL}(V)$1。如果存在同态$\phi: G\rightarrow \operatorname {GL}(V)$,那么我们称 $(V, \phi)$ 是群 $G$ 在 $V$ 上的一个群表示。在不会产生歧义时,我们把 $\phi(g)(v)$ 简记做 $g \cdot v$。

  

未完成:群表示的等价定义,参考群作用

   注:有些时候我们会直接称 $V$ 是群表示,此时群表示是一个代数结构;有时候我们又会称 $\rho$ 为群表示,此时群表示是一个函数。为了避免歧义,可以称 $V$ 为表示空间,$\rho$ 为表示映射

   群表示是一种特殊的群作用定义 1 ,而且一个群作用可以诱导出一个与之相关的群表示。

   在选定线性空间的基后,群的线性变换与表示矩阵相对应,有变换规则:$P(g)v_\nu=D(g)_{\nu\mu}v_\mu$

   作为一个例子,有循环群 $C_3$ 的一个一维表示为:$D(e)=1$,$D(a)=\rm{e}^{\frac{2\pi i}{3}}$,$D(a^2)=\rm{e}^{\frac{4\pi i}{3}}$,可见群的表示矩阵的乘法规则与群乘法表相同。

定义 2 形式代数

   设有域 $\mathbb{F}$ 和集合 $S$,我们可以定义一个 $\mathbb{F}$-代数,其元素为 $S$ 中元素的形式线性组合,记做 $$ \mathbb{F}[S]: = \left\{ \sum a_i s_i \mid \text{有限个非零} a_i \right\}~. $$

  

未完成:例子

定义 3 群作用诱导的群表示

   设有群 $G$ 到集合 $S$ 的群作用 $\rho: G \to \operatorname {Aut}(S)$,我们可以得到一个 $G$ 在 $\mathbb{F}[S]$ 上表示 $(\mathbb{F}[S], \phi)$, $$\begin{aligned} \phi: G &\to \operatorname {GL}(\mathbb{F}[S]) \\ \phi(g)(\sum a_i s_i) &= \sum a_i \rho(g)(s_i)~. \end{aligned}$$

例 1 平凡表示

   类似平凡作用例 1 ,对任何群 $G$,任何向量空间 $V$,我们可以定义平凡表示 $\rho(g) := \text{id}_V$。

  

未完成:正则表示

  

未完成:更多例子

3. 等变映射(同态)

   就像我们研究所有的代数结构一样,我们也要为群的表示之间定义 “同态” 的概念。类似于所有代数结构上的同态,线性表示的同态也是保持 “运算结果”,也就是表示对群的作用不变的映射。

定义 4 等变映射,同构映射

   $G$ 的两个表示 $(V, \phi), (W, \psi)$ 之间的一个 $G$-等变映射(或简称等变映射,$G$-映射)是它们之间的线性映射 $f: V \to W$,满足对任意的 $g \in G$ $$ \psi(g) \circ f = f \circ \phi(g)~, $$ 或者更简单的记做 $$ g \cdot f(v) = f(g \cdot v)~. $$

   如果 $f$ 可逆的话,$f$ 被称为同构映射,如果两个表示之间存在一个同构映射的话,就称这两个表示是同构的

   注:等变映射的英译为 equivariant map,有时也称交结映射intertwing map。

定义 5 不变映射

   如果 $G$-等变映射 $f: (V, \phi) \to (W, \psi)$ 中的 $(W, \psi)$ 是平凡的,那么 $f$ 就被称为 $G$-不变的,或者 $(G, \phi)$-不变的。

  

未完成:商表示、不可约表示

4. 子表示

预备知识 2 不变子空间

  

未完成:这里的内容可能有问题,待讨论

   类似所有的代数结构,我们可以引入在 $V$ 的子空间上引入子表示的概念,但是显然需要对子空间有一定的限制条件。

定义 6 不变子空间

   设 $(V,\varphi)$ 是群 $G$ 的一个表示。$V$ 的一个子空间 $U$ 如果是线性变换 $\varphi(g)$ 的不变子空间,$\forall g\in G$,即对任意 $g\in G$ 有 $\varphi(g)(U)\subseteq U$,那么称 $U$ 是表示 $\varphi$ 的不变子空间$G$ 不变子空间

  

未完成:参考一般的不变子空间

   从而在不变子空间 $U$ 上,$\varphi(g)|U$ 仍是线性变换且可逆(不是不变就没法可逆),我们就可以得到相应的子表示。

定义 7 子表示

   设 $(V,\varphi)$ 是群 $G$ 的一个表示。$U\neq\{0\}$ 是 $G$ 不变子空间,令

\begin{equation} \varphi_U(g) := \varphi(g)|U,\quad\forall g\in G~, \end{equation}
则得到一个表示 $(U,\varphi_U)$,称为 $\varphi$ 的一个子表示


1. ^ 一般线性群定义 1


[1] ^ Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, GTM 222, Springer press.
[2] ^ 丘维声. 群表示论. 高等教育出版社, 2011.12.

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