群表示

贡献者： Giacomo; addis; hfb25; JierPeter; certain_pineapple

预备知识 1　群作用，域上的代数

1. 表示

　　字面上讲，表示（representation）是用一个易于理解的表达方法来描述一些数学对象。比如说，对于学龄前的小朋友，想理解 $1 + 1 = 2$ 的概念可能过于抽象，不利于理解，这个时候可以使用 “一个苹果加一个苹果等于两个苹果” 来表示相同的概念，会更容易理解。

　　数学上讲，表示论是研究对称性的学科，它把一个抽象的代数结构的元素映射成一个相对具体线性变换。其中群是表示论所研究的最简单的代数结构，这个学科就被称为群表示论。[1] [2]

2. 群的表示

定义 1　群的（线性）表示

　　设有群 $G$ 和一个线性空间 $V$ ，记 $V$ 上的全体可逆线性变换为 $GL (V)$ ¹。如果存在同态 $ϕ : G \to GL (V)$ ，那么我们称 $(V, ϕ)$ 是群 $G$ 在 $V$ 上的一个群表示。在不会产生歧义时，我们把 $ϕ (g) (v)$ 简记做 $g \cdot v$ 。

未完成：群表示的等价定义，参考群作用

　　注：有些时候我们会直接称 $V$ 是群表示，此时群表示是一个代数结构；有时候我们又会称 $ρ$ 为群表示，此时群表示是一个函数。为了避免歧义，可以称 $V$ 为表示空间， $ρ$ 为表示映射。

　　群表示是一种特殊的群作用定义 1 ，而且一个群作用可以诱导出一个与之相关的群表示。

　　在选定线性空间的基后，群的线性变换与表示矩阵相对应，有变换规则： $P (g) v_{ν} = D (g)_{ν μ} v_{μ}$

　　作为一个例子，有循环群 $C_{3}$ 的一个一维表示为： $D (e) = 1$ , $D (a) = e^{\frac{2 π i}{3}}$ , $D (a^{2}) = e^{\frac{4 π i}{3}}$ ,可见群的表示矩阵的乘法规则与群乘法表相同。

定义 2　形式代数

　　设有域 $F$ 和集合 $S$ ，我们可以定义一个 $F$ -代数，其元素为 $S$ 中元素的形式线性组合，记做 $F [S] := {\sum a_{i} s_{i} ∣ 有限个非零 a_{i}} .$

未完成：例子

定义 3　群作用诱导的群表示

　　设有群 $G$ 到集合 $S$ 的群作用 $ρ : G \to Aut (S)$ ，我们可以得到一个 $G$ 在 $F [S]$ 上表示 $(F [S], ϕ)$ ， $\begin{aligned} ϕ : G & \to GL (F [S]) \\ ϕ (g) (\sum a_{i} s_{i}) & = \sum a_{i} ρ (g) (s_{i}) . \end{aligned}$

例 1　平凡表示

　　类似平凡作用例 1 ，对任何群 $G$ ，任何向量空间 $V$ ，我们可以定义平凡表示 $ρ (g) := {id}_{V}$ 。

未完成：正则表示

未完成：更多例子

3. 等变映射（同态）

　　就像我们研究所有的代数结构一样，我们也要为群的表示之间定义 “同态” 的概念。类似于所有代数结构上的同态，线性表示的同态也是保持 “运算结果”，也就是表示对群的作用不变的映射。

定义 4　等变映射，同构映射

　　 $G$ 的两个表示 $(V, ϕ), (W, ψ)$ 之间的一个 $G$ -等变映射（或简称等变映射， $G$ -映射）是它们之间的线性映射 $f : V \to W$ ，满足对任意的 $g \in G$ $ψ (g) \circ f = f \circ ϕ (g),$ 或者更简单的记做 $g \cdot f (v) = f (g \cdot v) .$

　　如果 $f$ 可逆的话， $f$ 被称为同构映射，如果两个表示之间存在一个同构映射的话，就称这两个表示是同构的。

　　注：等变映射的英译为 equivariant map，有时也称交结映射intertwing map。

定义 5　不变映射

　　如果 $G$ -等变映射 $f : (V, ϕ) \to (W, ψ)$ 中的 $(W, ψ)$ 是平凡的，那么 $f$ 就被称为 $G$ -不变的，或者 $(G, ϕ)$ -不变的。

未完成：商表示、不可约表示

4. 子表示

预备知识 2　不变子空间

未完成：这里的内容可能有问题，待讨论

　　类似所有的代数结构，我们可以引入在 $V$ 的子空间上引入子表示的概念，但是显然需要对子空间有一定的限制条件。

定义 6　不变子空间

　　设 $(V, φ)$ 是群 $G$ 的一个表示。 $V$ 的一个子空间 $U$ 如果是线性变换 $φ (g)$ 的不变子空间， $\forall g \in G$ ，即对任意 $g \in G$ 有 $φ (g) (U) \subseteq U$ ，那么称 $U$ 是表示 $φ$ 的不变子空间或 $G$ 不变子空间。

未完成：参考一般的不变子空间

　　从而在不变子空间 $U$ 上， $φ (g) | U$ 仍是线性变换且可逆（不是不变就没法可逆），我们就可以得到相应的子表示。

定义 7　子表示

　　设 $(V, φ)$ 是群 $G$ 的一个表示。 $U \neq {0}$ 是 $G$ 不变子空间，令

\begin{matrix} (1) & φ_{U} (g) := φ (g) | U, \forall g \in G, \end{matrix}

则得到一个表示

(U, φ_{U})

,称为

φ

的一个子表示。

1. ^ 一般线性群定义 1

[1] ^ Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, GTM 222, Springer press.
[2] ^ 丘维声. 群表示论. 高等教育出版社, 2011.12.

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群表示

1. 表示

2. 群的表示

定义 1 群的（线性）表示

定义 2 形式代数

定义 3 群作用诱导的群表示

例 1 平凡表示