群的表示

             

预备知识 群作用

1. 表示

   表示(representation)是数学中的重要部分.为了能够简洁明了地讨论数学对象的性质,我们有时候需要用一个易于理解的表达方法来描述这些对象.比如说,对于学龄前的小朋友,$1+1=2$ 的概念可能过于抽象,不利于理解;这个时候我们往往会使用 “一个苹果加一个苹果等于两个苹果” 来表示相同的概念,小朋友会更容易理解.

   表示论常常是厚重的大部头作品.在本节中,我们仅初步介绍的表示思想.

2. 群的表示

   最直观和易于讨论的群,莫过于置换群.事实上,当伽罗华(Galois)第一次提出群的概念的时候,并没有像我们现代理论那样高度抽象和严格;他主要都在讨论置换群的性质.遗憾的是,当年的数学家们都迷惑于伽罗华研究这种东西的意义何在.

   我们使用置换群来尝试表示任意的群.

定义 1 群在置换群上的表示

   设有群 $G$ 和一个置换群 $S_n$.如果存在同态$\phi: G\rightarrow S_n$,那么我们称 $\phi$ 是群 $G$ 在 $S_n$ 上的一个表示

   我们也可以使用线性空间来对群进行表示,利用线性空间的线性变换.

定义 2 群在线性空间上的表示

   设有群 $G$ 和一个线性空间 $V$,记 $V$ 上的全体可逆线性变换为 $GL(V)$1.如果存在同态$\phi: G\rightarrow GL(V)$,那么我们称 $\phi$ 是群 $G$ 在 $V$ 上的一个表示


1. ^ 注意 $V$ 上全体可逆矩阵例 5 也是这样的表达方式.矩阵可以看作是线性变换的表示.

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