群表示

                     

贡献者: Giacomo; addis; JierPeter; hfb25

预备知识 群作用,域上的代数

1. 表示

   字面上讲,表示(representation)是用一个易于理解的表达方法来描述一些数学对象.比如说,对于学龄前的小朋友,想理解 $1+1=2$ 的概念可能过于抽象,不利于理解,这个时候可以使用 “一个苹果加一个苹果等于两个苹果” 来表示相同的概念,会更容易理解.

   数学上讲,表示论是研究对称性的学科,它把一个抽象的代数结构的元素映射成一个相对具体线性变换.其中群是表示论所研究的最简单的代数结构,这个学科就被称为群表示论[11] [12]

2. 群的表示

定义 1 群的(线性)表示

   设有群 $G$ 和一个线性空间 $V$,记 $V$ 上的全体可逆线性变换为 $ \operatorname {GL}(V)$1.如果存在同态$\phi: G\rightarrow \operatorname {GL}(V)$,那么我们称 $(V, \phi)$ 是群 $G$ 在 $V$ 上的一个群表示.在不会产生歧义时,我们把 $\phi(g)(v)$ 简记做 $g \cdot v$.

   注:有些时候我们会直接称 $V$ 是群表示,此时群表示是一个代数结构;有时候我们又会称 $\rho$ 为群表示,此时群表示是一个函数.为了避免歧义,可以称 $V$ 为表示空间,$\rho$ 为表示映射

   群表示是一种特殊的群作用定义 1 ,而且一个群作用可以诱导出一个与之相关的群表示.

定义 2 形式代数

   设有域 $\mathbb{F}$ 和集合 $S$,我们可以定义一个 $\mathbb{F}$-代数,其元素为 $S$ 中元素的形式线性组合,记做 $$ \mathbb{F}[S]: = \left\{ \sum a_i s_i \mid \text{有限个非零} a_i \right\} $$

  

未完成:名字不确定
未完成:例子

定义 3 群作用诱导的群表示

   设有群 $G$ 到集合 $S$ 的群作用 $\rho: G \to \operatorname {Aut}(S)$,我们可以得到一个 $G$ 在 $\mathbb{F}[S]$ 上表示 $(\mathbb{F}[S], \phi)$, $$\begin{aligned} \phi: G &\to \operatorname {GL}(\mathbb{F}[S]) \\ \phi(g)(\sum a_i s_i) &= \sum a_i \rho(g)(s_i) \end{aligned}$$

  

未完成:例子

3. 等变映射(同态)

定义 4 等变映射(同态映射),同构映射

   $G$ 的两个表示 $(V, \phi), (W, \psi)$ 之间的一个等变映射(同态)为 $f: (V, \phi) \to (W, \psi)$, $$ \psi(g) \circ f = f \circ \phi(g) $$ 或者更简单的记做 $$ g \cdot f(v) = f(g \cdot v) $$

   如果 $f$ 可逆的话,$f$ 被称为同构映射

   如果两个表示之间存在一个同构映射的话,就称这两个表示是同构的

  

未完成:商表示、不可约表示

4. 子表示

  

未完成:这里的内容可能有问题,待讨论

   类似所有的代数结构,我们可以引入在 $V$ 的子空间上引入子表示的概念,但是显然需要对子空间有一定的限制条件.

定义 5 不变子空间

   设 $(V,\varphi)$ 是群 $G$ 的一个表示.$V$ 的一个子空间 $U$ 如果是线性变换 $\varphi(g)$ 的不变子空间,$\forall g\in G$,即对任意 $g\in G$ 有 $\varphi(g)(U)=U$,那么称 $U$ 是表示 $\varphi$ 的不变子空间$G$ 不变子空间

  

未完成:参考一般的不变子空间

   从而在不变子空间 $U$ 上,$\varphi(g)|U$ 仍是线性变换且可逆(不是不变就没法可逆),我们就可以得到相应的子表示.

定义 6 子表示

   设 $(V,\varphi)$ 是群 $G$ 的一个表示.$U\neq\{0\}$ 是 $G$ 不变子空间,令

\begin{equation} \varphi_U(g) := \varphi(g)|U,\quad\forall g\in G, \end{equation}
则得到一个表示 $(U,\varphi_U)$,称为 $\varphi$ 的一个子表示


1. ^ 一般线性群定义 1


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