群乘法表及重排定理

贡献者： certain_pineapple

预备知识　群

　　对于群中仅具有有限多个群元的那一类，群乘法表是有个可以用来描述其乘法规则有效工具，并且这种可视化的乘法规则会为后边诸如寻找共轭类和正规子群之类对群元进行划分的工作提供极大便利。

　　在介绍群的乘法表之前先引入重排定理的概念，这个概念将对我们将乘法表写出来起很大作用。

1. 重排定理

定理 1　重排定理

　　若 $a$ 为群 $G$ 中任意一元素，那么在相同的乘法规则下以下三个群与 $G$ 是同一个群：

　　 $aG=\{ag_1,~~ag_2,~~ag_3...\}$

　　 $Ga=\{g_1a,~~g_2a,~~g_3a...\}$

　　 $G^{-1}=\{g_1^{-1},~~g_2^{-1},~~g_3^{-1}...\}$

　　证明：首先考虑第三个群 $G^{-1}=\{g_1^{-1},~~g_2^{-1},~~g_3^{-1}...\}$，由于所有元素的逆元是唯一的，所以不同元素的逆元互不相同，切 $g^{-1}\in G$,则群 $G^{-1}$ 与群 $G$ 相同，给出的是群 $G$ 的一个重新排列。

　　考虑 $aG=\{ag_1,~~ag_2,~~ag_3...\}$,任意群元 $g$ 都可以写成 $g=a(a^{-1}g)$ 的形式，而 $a^{-1}g$ 是群 $G$ 中的元素，则 $aG=\{ag_1,~~ag_2,~~ag_3...\}$ 与群 $G$ 相同。

　　证毕

2. 群乘法表

　　描述有限群的乘法关系的表叫做群乘法表，考虑较为简单的循环群 $C3$,其有三个群元，分别为 $e,d,f$。其中 $e$ 为单位元。有其群乘法表为：

表1：$C3$ 群乘法表

$C3$	$~e~$	$~d~$	$~f~$
$e$	$e$	$d$	$f$
$d$	$d$	$f$	$e$
$f$	$f$	$e$	$d$

　　表中第三行的第一个元素为 $d$,第四列的第一个元素为 $f$,第三行第四列的元素为 $e$，则表示有一下乘法关系：$df=e$。

　　由重排定理可以看到，不同的元素乘相同的元素后一定得到不同的元素，则可知群乘法表的每行每列除了第一个元素外均为不重复的元素，不同行列之间的差距仅仅为排列顺序的差别。这一点使得在填写群乘法表时会有类似填数独一样的技巧性。但这带出另一个问题，对于群元数目一定的群的群乘法表不唯一，这也给了我们一个通过群乘法表对有限群进行分类的方法，三阶群只有一个，也就是我们所给出的 $C3$ 群，但四阶群存在两种：$C4$ 群和 $V4$ 群，他们的群乘法表分别如下：

表2：$C4$ 群乘法表

$C4$	$~e~$	$~d~$	$~f~$	$~g~$
$e$	$e$	$d$	$f$	$g$
$d$	$d$	$f$	$g$	$e$
$f$	$f$	$g$	$e$	$d$
$g$	$g$	$e$	$d$	$f$

表3：$V4$ 群乘法表

$V4$	$~e~$	$~a~$	$~b~$	$~c~$
$e$	$e$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$e$	$c$	$b$
$b$	$b$	$c$	$e$	$a$
$c$	$c$	$b$	$a$	$e$

　　注：正常的群乘法表并不一定有关于主对角线的对称性，前几个例子之所以存在对称性是由于所选取的群是阿贝尔群，$g_1g_2=g_2g_1$。

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群乘法表及重排定理

1. 重排定理

定理 1 重排定理

2. 群乘法表

定理 1　重排定理