贡献者： certain_pineapple; Giacomo
1. 群代数
注：本文主要以复表示为例。
定义 1 群空间
对于有限群 $G=\{g_1,g_2...g_m\}$，设 $V_G$ 为群元在复数域 $\mathbb{C}$ 是的所有线性叠加的集合：
\begin{equation}
V_G=\{\displaystyle\sum_\nu x_\nu g_\nu|x_\nu \in \mathbb{C},g_\nu \in G\}~,
\end{equation}
在这个基础上我们可以定义加法和数乘。
设 $x=\displaystyle\sum_\nu x_\nu g_\nu$，$y=\displaystyle\sum_\mu y_\mu g_\mu$，$a\in \mathbb{C}$，则有：
\begin{align}
x+y&=\displaystyle\sum_\nu x_\nu g_\nu+\displaystyle\sum_\mu y_\mu g_\mu=\displaystyle\sum_\nu(x_\nu+y_\nu)g_\nu\\
ax&=\displaystyle\sum_\nu (ax_\nu) g_\nu~.
\end{align}
这样显然构成了一个 $m$ 维的线性空间，$m$ 为群 $G$ 的阶数。
线性空间的一组基为 $\{g_1,g_2...g_m\}$，称为自然基底。
在定义完群空间后我们进一步定义群空间中的代数乘法，使其构成一个代数，也就是本节标题——群代数。
定义 2 群代数
设 $V_G$ 为群 $G$ 的群空间，且有 $x=\displaystyle\sum_\nu x_\nu g_\nu$，$y=\displaystyle\sum_\mu y_\mu g_\mu$，我们定义其乘法规则为：
\begin{equation}
x * y = \displaystyle\sum_{\nu} x_\nu g_\nu \sum_{\mu} y_\mu g_\mu =
\displaystyle\sum_{\nu\mu}(x_\nu y_\mu) (g_\nu g_\mu)~,
\end{equation}
其中 $g_\nu g_\mu$ 一项依照群乘法表的乘法规则给出结果。
在这样的乘法规则下 $V_G$ 构成了复数域 $\mathbb{C}$ 上的一个结合代数，称为 $A_G$。
注：群代数的结合律来自于群元的结合律。
我们同样可以在这个线性空间中定义内积
$$(g_\alpha,g_\beta)=\delta_{\alpha,\beta}~.$$
在群代数的视角下，群元的相乘可以视作一个算符，由群元映射出的算符给出的表示被称为正则表示，由算符定义不同可以分为左正则表示和右正则表示。
这样给出的算符可以验证其的确符合群乘法规则：
$$L(g_\alpha)x=g_\alpha x,R(g_\alpha)x=xg_\alpha^{-1}~.$$
容易验证这两种方法定义的算符均符合群的乘法规则，可以构成一个表示。
表示矩阵的形式也极为简单，仅仅是标定了群元相乘的结果，我们以 $C_3$ 群的左正则表示为例(以 $\{e,a,a^2\}$ 为基)。
$$D(e)=\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0 &1 & 0 \\
0&0&1
\end{pmatrix},
D(a)=\begin{pmatrix}
0&0& 1\\
1&0 & 0 \\
0&1&0
\end{pmatrix},
D(a^2)=\begin{pmatrix}
0& 1& 0\\
0 &0 & 1 \\
1&0&0
\end{pmatrix}~.$$
2. 类空间
定义 3
设集合 $C_\alpha=\{s_1,s_2,...s_{n(\alpha)}\}$ 为群 $G$ 的一个共轭类。
那么定义群代数空间 $A_G$ 中矢量 $c^\alpha$ 为类算符。
$$c^\alpha=\displaystyle\sum_{s_i\in C_\alpha}s_i~.$$
根据共轭类的定义可以看出类算符与所有群元对易。
完全类似上文的，可以定义：
定义 4 类空间
以群 $G$ 中所有类算符构成的线性空间
$$V_C=\{x=\displaystyle\sum_\alpha x_\alpha c^\alpha,x_\alpha \in \mathbb{C}\}~$$
称为群 $G$ 的类空间，类空间是群空间的一个子空间。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。