群代数与正则表示

                     

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预备知识 群矩阵表示及实例,共轭与共轭类

1. 群代数

   注:本文主要以复表示为例。

定义 1 群空间

   对于有限群 $G=\{g_1,g_2...g_m\}$,设 $V_G$ 为群元在复数域 $\mathbb{C}$ 是的所有线性叠加的集合:

\begin{equation} V_G=\{\displaystyle\sum_\nu x_\nu g_\nu|x_\nu \in \mathbb{C},g_\nu \in G\} \end{equation}

   在这个基础上我们可以定义加法和数乘。

   设 $x=\displaystyle\sum_\nu x_\nu g_\nu$,$y=\displaystyle\sum_\mu y_\mu g_\mu$,$a\in \mathbb{C}$,则有:

\begin{align} x+y&=\displaystyle\sum_\nu x_\nu g_\nu+\displaystyle\sum_\mu y_\mu g_\mu=\displaystyle\sum_\nu(x_\nu+y_\nu)g_\nu\\ ax&=\displaystyle\sum_\nu (ax_\nu) g_\nu \end{align}

   这样显然构成了一个 $m$ 维的线性空间,$m$ 为群 $G$ 的阶数。

   线性空间的一组基为 $\{g_1,g_2...g_m\}$,称为自然基底。

   在定义完群空间后我们进一步定义群空间中的代数乘法,使其构成一个代数,也就是本节标题——群代数。

定义 2 群代数

   设 $V_G$ 为群 $G$ 的群空间,且有 $x=\displaystyle\sum_\nu x_\nu g_\nu$,$y=\displaystyle\sum_\mu y_\mu g_\mu$,我们定义其乘法规则为:

\begin{equation} x * y = \displaystyle\sum_{\nu} x_\nu g_\nu \sum_{\mu} y_\mu g_\mu = \displaystyle\sum_{\nu\mu}(x_\nu y_\mu) (g_\nu g_\mu) \end{equation}

   其中 $g_\nu g_\mu$ 一项依照群乘法表的乘法规则给出结果。

   在这样的乘法规则下 $V_G$ 构成了复数域 $\mathbb{C}$ 上的一个结合代数,称为 $A_G$。

   注:群代数的结合律来自于群元的结合律。

   我们同样可以在这个线性空间中定义内积 $$(g_\alpha,g_\beta)=\delta_{\alpha,\beta}$$

   在群代数的视角下,群元的相乘可以视作一个算符,由群元映射出的算符给出的表示被称为正则表示,由算符定义不同可以分为左正则表示右正则表示

   这样给出的算符可以验证其的确符合群乘法规则:

   $$L(g_\alpha)x=g_\alpha x,R(g_\alpha)x=xg_\alpha^{-1}$$

   容易验证这两种方法定义的算符均符合群的乘法规则,可以构成一个表示。

   表示矩阵的形式也极为简单,仅仅是标定了群元相乘的结果,我们以 $C_3$ 群的左正则表示为例(以 $\{e,a,a^2\}$ 为基)。

   $$D(e)=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0 &1 & 0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}, D(a)=\begin{pmatrix} 0&0& 1\\ 1&0 & 0 \\ 0&1&0 \end{pmatrix}, D(a^2)=\begin{pmatrix} 0& 1& 0\\ 0 &0 & 1 \\ 1&0&0 \end{pmatrix}$$

2. 类空间

定义 3 

   设集合 $C_\alpha=\{s_1,s_2,...s_{n(\alpha)}\}$ 为群 $G$ 的一个共轭类。

   那么定义群代数空间 $A_G$ 中矢量 $c^\alpha$ 为类算符。 $$c^\alpha=\displaystyle\sum_{s_i\in C_\alpha}s_i$$

   根据共轭类的定义可以看出类算符与所有群元对易。

   完全类似上文的,可以定义:

定义 4 类空间

   以群 $G$ 中所有类算符构成的线性空间 $V_C$: $$V_C=\{x=\displaystyle\sum_\alpha x_\alpha c^\alpha,x_\alpha \in \mathbb{C}\}$$

   称为群 $G$ 的类空间,类空间是群空间的一个子空间。


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