泛函分析笔记 5
贡献者: addis
1. 5.1 Extensions and Embeddings
- 线性空间 到 的算符 和 记为 当且仅当定义域 且它们在 上是同一算符。这时 是 的 extension
- 当且仅当 且
- embedding 是连续的当且仅当存他们之间存在线性,单射,连续的算符
- embedding 是紧的当且仅当存他们之间存在线性,单射,紧的算符
2. 5.2 Self-Adjoint Operators
- 令线性算符 的定义域 在希尔伯特空间 上稠密。定义 当且仅当存在 使 对任意 都成立。令 ,就得到了伴随(adjoint)算符 。所以 是满足定义的最大集合
- 伴随算符:(1) 是线性的 (2) (3) 意味着
- 如果 在 上稠密,那么存在 ,记为
- 希尔伯特空间 上的线性算符 是对称的(symmetric) 当且仅当 ,即 对所有 成立
- 希尔伯特空间 上的线性算符 是自伴的(self-adjoint) 当且仅当 ,注意 。自伴算符都是对称算符
- 希尔伯特空间 上的线性算符 是 skew-symmetric 当且仅当
- 希尔伯特空间 上的线性算符 是 斜自伴(skew-adjoint) 当且仅当
- 希尔伯特空间 上的线性连续算符 的伴随算符也是线性连续的,且 以及
- 令 为连续函数且 。定义算符 为 ,令 。那么 (1) 是线性紧算符,(2) , 也是线性紧算符。(3) 如果 对任意 成立,那么算符 是自伴算符
- 希尔伯特空间 上的任意的线性自伴算符 都是 maximally symmetric。也就是说,如果 是对称算符且 ,那么
- 令 ,且 (),, 为广义导数,那么 (1) 算符 是斜自伴算符,(2) 是自伴算符
- 令 为上一条中的 改成 “非广义” 的求导算符,且定义域为 ,那么 是 skew-symmetric 算符且 是对称算符
- 令 ,定义 (),。那么算符 是自伴算符
- 回忆:令 为 Hilbert 空间 的闭线性子空间,任何 存在唯一的分解 (,)。正交投影算符 定义为
- 正交投影算符 是线性的,连续的,自伴的。且 。如果 为非空,那么
- 如果 是一个线性连续的自伴算符且 ,那么 就是正交投影算符
- 令 为 Hilbert 空间 上的线性对称算符,且 在 上稠密,那么 。如果这个 是自伴算符,那么 也是
- 对 Hilbert 空间 上的线性算符 ,以下条件等价。(1) 是 unitary 算符,(2) ,(3) 是双射且 ,(4) 是满射且 对所有 成立
3. 5.9 Semigroups, One-Parameter Groups, and Teir Physical Relevance
- 令 为 Banach 空间。 上的 semigroup 包含一系列算符 ()使得:()以及
- Semigroup 的 generator 定义为 , 当且仅当这个极限存在
- 令 为 semigroup,()。那么 是强连续的(strongly continuous) 当且仅当对任意 ,函数 是连续的
- 被称为 nonexpansive 当且仅当 是强连续的且 (,对每个 )
- 被称为线性的(linear) 当且仅当 ()是线性连续的
- Banach 空间 上的 one-parameter group 包含一系列算符 (),使得:()以及
- One-parameter group 的 generator 定义为 , 当且仅当这个极限存在
- one-parameter group 的强连续和线性类比 semigroup
- 叫做 一致连续(uniformly continuous) 当且仅当 是线性的且 当 ()
- 一致连续的 也是强连续的
- 令 为 Banach 空间 上的线性连续算符,令 ()。那么 (1) 是 上的线性 one-parameter group,generator 为 (2) 是一致连续(强连续)的。(3) 给出 ,令 (),那么 是微分方程 (), 的唯一解
- 如果上面的 是线性连续的,那么上面的微分方程无法用于描述自然中的不可逆过程
- one-parameter unitary group:强连续,one-parameter group,每个 都是 unitary 的
- 令 为复 Hilbert 空间 中的线性连续的自伴算符,令 (),那么 是 one-parameter unitary group,generator 是
4. 5.13 Applications to the Schrodinger Equation
- (),
- 令 为复 Hilbert 空间 的自伴算符,
5. 5.14 Applications to Quantum Mechanics
- Hilbert 空间中单位矢量 ()叫做态(state)
- Hilbert 空间中的自伴算符 叫做可观测量
- 测量
- 不确定原理
- 动量算符 定义为 ()。其中 , 是广义导数
- ()叫做位置算符,其中
- 位置算符和动量算符都是自伴算符(见上文)
6. 5.15 Generalized Eigenfunctions
- 令 , 为对称算符, 那么非零的 tempered distribution 叫做 的 广义本征函数(generalized eigenfunction)(具有实数本征值)当且仅当 对所有 成立
- 广义本征函数系 称为完备的(complete) 当且仅当 “ 对所有 和固定的 成立” 意味着
- 令 (),那么 (1) 对每个 ,,(2) 映射 是从 到 的线性双射算符
- 上面 中的每个本征函数 可以映射到一个广义本征函数
- 令 ,()其中 。
- (对应的广义函数 )是动量算符的完备广义本征函数
- 是位置算符 的完备广义本征函数。即 ()
7. 5.20 A Look at Scattering Theory
- 实际运动:,自由运动:
- 运动 被称为 asymptotically free 当
- 是 asymptotically free motion 的初态当且仅当 与 的所有本征矢(bound states)正交
- 散射态 是(对应) 的广义本征函数 。()
8. 5.21 The Language of Physicists in Quantum Physics and the Justification of the Dirac Calculus
9. Appendix
The Lebesgue Measure
- -cuboid:()
- -cuboid 的体积为
- 勒贝格测度将 中的经典的体积从足够有规律的集合拓展到一些 “无规律” 的集合。令 为 中可测子集的集合
- (1) 中任意开集和闭集属于 。(2) 如果 ,那么 ,,。(3) 的无穷交集和无穷并集仍然属于 。(4) 每个 可以赋予一个数 , 叫做 维测度(measure), 叫做可测的(measurable)。(5) 如果 ,那么 。这对无穷个 仍然适用。(6) 如果 是一个 -cuboid,那么 以及 。(7) 的测度为零当且仅当对任意 ,存在可数个 -cuboid 使得 且 。(8) 如果 的 维测度为零且 ,那么 的 维测度也是零。(9) 叫做最小的(minimal),如果 满足以上条件,就有
- 测度 在 上唯一。 叫做勒贝格测度,也记为 ()
- 中有限个或可数个点的 维测度为零
- 一个性质 几乎到处(almost everywhere)都成立,当且仅当 对 中除了测度为零的集合的点都成立
- 几乎所有(almost all)也类似。例如几乎所有的实数都是无理数
- 例如令 ,(对几乎所有 )
- 当 , 且
Step Functions
- 阶梯函数(step function):,piecewise constant。 是可测的,存在有限个两两不相交的 ,使得他们的测度为有限且 ( 和 ),(otherwise)
- 定义阶梯函数的积分为
Measurable Functions
- 可测函数(Measurable Function): (1) 是可测的 (2) 存在阶梯函数的序列 (对几乎所有 )
- Luzin 定理:令 为 的可测子集。函数 是可测的当且仅当对任意 ,它在除测度为 的集合外是连续的
- 函数 是可测的如果他在可测集 上几乎到处连续
- 可测函数的线性组合和极限也是可测的
- 可测函数在定义域中测度为 0 的子集上改变了,那么新的函数仍然是可测的
Lebesgue Integral
- 勒贝格积分(Lebesgue Integral):函数 是可积(integrable)的当且仅当两个条件成立:(1) 存在由阶梯函数构成的函数列 使得 对几乎所有 成立 (2) 对任意 ,存在 使得 对所有 成立
- 如果 是可积的,那么定义
- 显然,可积函数必定可测
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