泛函分析笔记 5

贡献者： addis

1. 5.1 Extensions and Embeddings

• 线性空间 $X$ 到 $Y$ 的算符 $A$ 和 $B$ 记为 $B \subseteq A$ 当且仅当定义域 $D(B) \subseteq D(A)$ 且它们在 $D(B)$ 上是同一算符。这时 $A$ 是 $B$ 的 extension
• $A = B$ 当且仅当 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$
• embedding $X \subseteq Y$ 是连续的当且仅当存他们之间存在线性，单射，连续的算符
• embedding $X \subseteq Y$ 是紧的当且仅当存他们之间存在线性，单射，紧的算符

2. 5.2 Self-Adjoint Operators

• 令线性算符 $A: D(A) \subseteq X \to X$ 的定义域 $D(A)$ 在希尔伯特空间 $X$ 上稠密。定义 $v \in D(A^*)$ 当且仅当存在 $w\in X$ 使 $(v|Au) = (w|u)$ 对任意 $u\in D(A)$ 都成立。令 $A^*v := w$，就得到了伴随（adjoint）算符 $A^*: D(A^*) \subseteq X \to X$。所以 $D(A^*)$ 是满足定义的最大集合
• 伴随算符：(1) 是线性的 (2) $(\alpha A)^* = \bar \alpha A^*$ (3) $A \subseteq B$ 意味着 $B^* \subseteq A^*$
• 如果 $D(A^*)$ 在 $X$ 上稠密，那么存在 $(A^*)^*$，记为 $A^{**}$
• 希尔伯特空间 $X$ 上的线性算符 $A$ 是对称的（symmetric） 当且仅当 $A \subseteq A^*$，即 $(Au|v)=(u|Av)$ 对所有 $u, v\in D(A)$ 成立
• 希尔伯特空间 $X$ 上的线性算符 $A$ 是自伴的（self-adjoint） 当且仅当 $A = A^*$，注意 $D(A) = D(A^*)$。自伴算符都是对称算符
• 希尔伯特空间 $X$ 上的线性算符 $A$ 是 skew-symmetric 当且仅当 $A \subseteq -A^*$
• 希尔伯特空间 $X$ 上的线性算符 $A$ 是 斜自伴（skew-adjoint） 当且仅当 $A = -A^*$
• 希尔伯特空间 $X$ 上的线性连续算符 $A$ 的伴随算符也是线性连续的，且 $ \left\lVert A \right\rVert = \left\lVert A^* \right\rVert $ 以及 $A^{**} = A$
• 令 $f:[a, b]\times[a,b]\to\mathbb R$ 为连续函数且 $-\infty< a < b < \infty$。定义算符 $A$ 为 $(Au)(x) := \int_a^b f(x, y)u(y) \,\mathrm{d}{y} $，令 $X := L_2(a, b)$。那么 (1) $A: X\to X$ 是线性紧算符，(2) $(A^*u)(x) = \int_a^b f(y, x) u(y) \,\mathrm{d}{y} $，$A^*$ 也是线性紧算符。(3) 如果 $f(x, y) = f(y, x)$ 对任意 $x, y\in[a, b]$ 成立，那么算符 $A$ 是自伴算符
• 希尔伯特空间 $X$ 上的任意的线性自伴算符 $A$ 都是 maximally symmetric。也就是说，如果 $S$ 是对称算符且 $A \subseteq S$，那么 $A = S$
• 令 $X := L_2^{\mathbb C}(\mathbb R)$，且 $(Au)(x) := u'(x)$（$x \in \mathbb R$），$D(A) := {u\in X: u'\in X}$, $u'$ 为广义导数，那么 (1) 算符 $A$ 是斜自伴算符，(2) $ \mathrm{i} A$ 是自伴算符
• 令 $B$ 为上一条中的 $A$ 改成 “非广义” 的求导算符，且定义域为 $X \bigcap C^1(\mathbb R)$，那么 $B$ 是 skew-symmetric 算符且 $ \mathrm{i} B$ 是对称算符
• 令 $X := L_2^{\mathbb C}(\mathbb R)$，定义 $(Mu)(x) := xu(x)$（$\forall x\in R$），$D(M) := \left\{u\in X: Mu\in X \right\} $。那么算符 $M$ 是自伴算符
• 回忆：令 $M$ 为 Hilbert 空间 $X$ 的闭线性子空间，任何 $u\in X$ 存在唯一的分解 $u = v+w$（$v\in M$，$w \in M^\bot$）。正交投影算符 $P:X\to M$ 定义为 $Pu := v$
• 正交投影算符 $P$ 是线性的，连续的，自伴的。且 $P^2 = P$。如果 $M$ 为非空，那么 $ \left\lVert P \right\rVert = 1$
• 如果 $P:X\to X$ 是一个线性连续的自伴算符且 $P^2 = P$，那么 $P$ 就是正交投影算符
• 令 $A:D(A)\subseteq X\to X$ 为 Hilbert 空间 $X$ 上的线性对称算符，且 $R(A)$ 在 $X$ 上稠密，那么 $(A^{-1})^* = (A^*)^{-1}$。如果这个 $A$ 是自伴算符，那么 $A^{-1}$ 也是
• 对 Hilbert 空间 $X$ 上的线性算符 $U:X\to X$，以下条件等价。(1) $U$ 是 unitary 算符，(2) $UU^* = U^*U = I$，(3) $U$ 是双射且 $U^{-1} = U^*$，(4) $U$ 是满射且 $ \left\lVert Uv \right\rVert = \left\lVert v \right\rVert $ 对所有 $v\in X$ 成立

3. 5.9 Semigroups, One-Parameter Groups, and Teir Physical Relevance

• 令 $X$ 为 Banach 空间。$X$ 上的 semigroup $ \left\{S(t) \right\} _{t\ge0}$ 包含一系列算符 $S(t):X\to X$（$\forall t\ge0$）使得：$S(t+s) = S(t)S(s)$（$\forall t, s\ge 0$）以及 $S(0) = I$
• Semigroup $ \left\{S(t) \right\} _{t\ge0}$ 的 generator $A:D(A) \subseteq X\to X$ 定义为 $Au: = \lim_{t\to+0} [S(t)-I]t^{-1} u$，$u\in D(A)$ 当且仅当这个极限存在
• 令 $\mathcal S_+$ 为 semigroup，$u(t) := S(t)u_0$（$\forall t \ge 0$）。那么 $\mathcal S_+$ 是强连续的（strongly continuous） 当且仅当对任意 $u_0\in X$，函数 $u:[0,\infty[ \to\mathbb R$ 是连续的
• $\mathcal S_+$ 被称为 nonexpansive 当且仅当 $\mathcal S_+$ 是强连续的且 $ \left\lVert S(t)u_0 - S(t)v_0 \right\rVert \le \left\lVert u_0 - v_0 \right\rVert $（$\forall u_0, v_0 \in X$，对每个 $t\ge0$）
• $\mathcal S_+$ 被称为线性的（linear） 当且仅当 $S(t): X\to X$（$\forall u_0, v_0\in X$）是线性连续的
• Banach 空间 $X$ 上的 one-parameter group $ \left\{S(t) \right\} _{t\in\mathbb R}$ 包含一系列算符 $S(t):X\to X$（$\forall t\in\mathbb R$），使得：$S(t+s) = S(t)S(s)$（$\forall t, s\in \mathbb R$）以及 $S(0) = I$
• One-parameter group 的 generator $A:D(A) \subseteq X\to X$ 定义为 $Au: = \lim_{t\to0} [S(t)-I]t^{-1} u$，$u\in D(A)$ 当且仅当这个极限存在
• one-parameter group 的强连续和线性类比 semigroup
• $\mathcal S$ 叫做 一致连续（uniformly continuous） 当且仅当 $\mathcal S$ 是线性的且 $ \left\lVert S(t+h)-S(t) \right\rVert \to0$ 当 $h\to0$（$\forall t\in\mathbb R$）
• 一致连续的 $\mathcal S$ 也是强连续的
• 令 $A:X\to X$ 为 Banach 空间 $X$ 上的线性连续算符，令 $S(t) := e^{tA}$（$\forall t\in\mathbb R$）。那么 (1) $\mathcal S = \left\{S(t) \right\} $ 是 $X$ 上的线性 one-parameter group，generator 为 $A$ (2) $\mathcal S$ 是一致连续（强连续）的。(3) 给出 $u_0 \in X$，令 $u(t) := e^{tA} u_0$（$\forall t\in\mathbb R$），那么 $u = u(t)$ 是微分方程 $u'(t) = Au(t)$（$-\infty< t<\infty$），$u(0) = u_0$ 的唯一解
• 如果上面的 $A$ 是线性连续的，那么上面的微分方程无法用于描述自然中的不可逆过程
• one-parameter unitary group：强连续，one-parameter group，每个 $S(t)$ 都是 unitary 的
• 令 $A$ 为复 Hilbert 空间 $X$ 中的线性连续的自伴算符，令 $S(t) := e^{iAt}$（$\forall t\in\mathbb R$），那么 $ \left\{S(t) \right\} $ 是 one-parameter unitary group，generator 是 $iA$

4. 5.13 Applications to the Schrodinger Equation

• $u'(t) = -iAu(t)$（$-\infty< t<\infty$），$u(0) = u_0$
• 令 $A:D(A) \subseteq X\to X$ 为复 Hilbert 空间 $X$ 的自伴算符，

5. 5.14 Applications to Quantum Mechanics

• Hilbert 空间中单位矢量 $\psi\in X$（$(\psi|\psi)=1$）叫做态（state）
• Hilbert 空间中的自伴算符 $A$ 叫做可观测量
• 测量
• 不确定原理
• 动量算符 $A:D(A)\subseteq X\to X$ 定义为 $(A\phi)(x) := -i\hbar \mathrm{d}{\phi(x)}/\mathrm{d}{x} $（$\forall x\in\mathbb R$）。其中 $D(A) := \left\{\phi\in X: \phi'\in X \right\} $，$\phi'$ 是广义导数
• $(B\phi)(x) := x\phi(x)$（$x\in\mathbb R$）叫做位置算符，其中 $D(B) := {\phi\in X: B\phi\in X}$
• 位置算符和动量算符都是自伴算符（见上文）

6. 5.15 Generalized Eigenfunctions

• 令 $X := L_2^{\mathbb C}(\mathbb R)$，$A:D(A) \subseteq X\to X$ 为对称算符，$\mathcal S\subseteq D(A)$ 那么非零的 tempered distribution $T \in\mathcal S'$ 叫做 $A$ 的 广义本征函数（generalized eigenfunction）（具有实数本征值）当且仅当 $T(A\phi) = \lambda T(\phi)$ 对所有 $\phi\in\mathcal S$ 成立
• 广义本征函数系 $ \left\{T_\alpha \right\} _{\alpha\in\mathcal A}$ 称为完备的（complete） 当且仅当 “$T_\alpha(\phi) = 0$ 对所有 $\alpha\in\mathcal A$ 和固定的 $\phi\in\mathcal S$ 成立” 意味着 $\phi = 0$
• 令 $T(\phi) := (\psi|\phi) = \int_{-\infty}^\infty \overline{\psi(x)} \phi(x) \,\mathrm{d}{x} $（$\forall \phi\in\mathcal S$），那么 (1) 对每个 $\psi\in X$，$T\in\mathcal S'$，(2) 映射 $\psi\mapsto T$ 是从 $X$ 到 $\mathcal S'$ 的线性双射算符
• 上面 $A$ 中的每个本征函数 $\psi\in D(A)$ 可以映射到一个广义本征函数
• 令 $p\in\mathbb R$，$T_p(\phi) := \int_{-\infty}^\infty \overline{\phi_p(x)}\phi(x) \,\mathrm{d}{x} $（$\forall \phi\in\mathcal S$）其中 $\phi_p(x) := \exp\left(ipx/\hbar\right) $。$T_p \in \mathcal S'$
• $ \left\{\phi_p \right\} _{p\in\mathbb R}$（对应的广义函数 $T_p(\phi)$）是动量算符的完备广义本征函数
• $ \left\{\delta_y \right\} _{y\in\mathbb R}$ 是位置算符 $B$ 的完备广义本征函数。即 $\delta_y(B\phi) = y\delta_y(\phi)$（$\forall \phi\in\mathcal S$）

7. 5.20 A Look at Scattering Theory

• 实际运动：$\psi(t) := \exp\left(-itH/\hbar\right) \psi(0)$，自由运动：$\psi_0(t) := \exp\left(-itH_0/\hbar\right) \psi_0(0)$
• 运动 $\psi = \psi(t)$ 被称为 asymptotically free 当 $t\to+\infty$
• $\psi(0)$ 是 asymptotically free motion 的初态当且仅当 $\psi(0)$ 与 $H$ 的所有本征矢（bound states）正交
• 散射态 $\phi_p$ 是（对应）$H_0$ 的广义本征函数 $T_p(\phi)$。$T_p(H_0 \phi) = p^2/(2m) T_p(\phi)$（$\forall \phi\in\mathcal S, p\in\mathbb R$）

8. 5.21 The Language of Physicists in Quantum Physics and the Justification of the Dirac Calculus

• 令 $\phi_k(x) := (2\pi)^{-1/2} e^{ikx}$ $x, k\in\mathbb R$

9. Appendix

The Lebesgue Measure

• $N$-cuboid：$C := \left\{(\xi_1, \dots, \xi_2) \in \mathbb R^N: a_j < \xi_j < b_j \right\} $（$j = 1, \dots, N$）
• $N$-cuboid 的体积为 $ \operatorname {vol}(C) := \prod_{j=1}^N(b_j - a_j)$
• 勒贝格测度将 $\mathbb R^N$ 中的经典的体积从足够有规律的集合拓展到一些 “无规律” 的集合。令 $\mathcal A$ 为 $\mathbb R^N$ 中可测子集的集合
• (1) $\mathbb R^N$ 中任意开集和闭集属于 $\mathcal A$。(2) 如果 $A, B \in \mathcal A$，那么 $A\cup B \in \mathcal A$，$A\cap B \in \mathcal A$，$A - B \in \mathcal A$。(3) $A_n \in \mathcal A$ 的无穷交集和无穷并集仍然属于 $\mathcal A$。(4) 每个 $A \in\mathcal A$ 可以赋予一个数 $0 \le \mu(A) \le \infty$, 叫做 $N$ 维测度（measure），$A\in\mathcal A$ 叫做可测的（measurable）。(5) 如果 $A\cap B = \emptyset$，那么 $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B)$。这对无穷个 $A_n$ 仍然适用。(6) 如果 $C$ 是一个 $N$-cuboid，那么 $C\in\mathcal A$ 以及 $\mu(C) = \operatorname {vol}(C)$。(7) $A$ 的测度为零当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，存在可数个 $N$-cuboid $C_1, C_2, \dots$ 使得 $A \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty C_j$ 且 $\sum_{j=1}^\infty \mu(C_j) < \varepsilon$。(8) 如果 $A$ 的 $N$ 维测度为零且 $B\subseteq A$，那么 $B$ 的 $N$ 维测度也是零。(9) $\mathcal A$ 叫做最小的（minimal），如果 $\mathcal A'$ 满足以上条件，就有 $\mathcal A \subseteq \mathcal A'$
• 测度 $\mu$ 在 $\mathcal A$ 上唯一。$\mu$ 叫做勒贝格测度，也记为 $ \operatorname {meas}(A) := \mu(A)$（$\forall A\in\mathcal A$）
• $\mathbb R^N$ 中有限个或可数个点的 $N$ 维测度为零
• 一个性质 $P$ 几乎到处（almost everywhere）都成立，当且仅当 $P$ 对 $\mathbb R^N$ 中除了测度为零的集合的点都成立
• 几乎所有（almost all）也类似。例如几乎所有的实数都是无理数
• 例如令 $M\subseteq\mathbb R^N$，$u(x) = \lim_{n\to\infty} u_n(x)$（对几乎所有 $x\in M$）
• $\mu(M)\le\mu(G)$ 当 $M\subseteq G$，$\mu(\mathbb R^N) = +\infty$ 且 $\mu(\emptyset) = 0$

Step Functions

• 阶梯函数（step function）：$u:M\subseteq\mathbb R^N \to\mathbb K$，piecewise constant。$M$ 是可测的，存在有限个两两不相交的 $M_j \subseteq M$，使得他们的测度为有限且 $u(x) = a_j$（$\forall x\in M_j$ 和 $\forall j$），$u(x) = 0$（otherwise）
• 定义阶梯函数的积分为 $\int_M u \,\mathrm{d}{x} := \sum_j \operatorname {meas}(M_j)a_j$

Measurable Functions

• 可测函数（Measurable Function）：$u: M\subseteq\mathbb R^N \to\mathbb K$ (1) $M$ 是可测的 (2) 存在阶梯函数的序列 $u(x) = \lim_{n\to\infty} u_n(x)$（对几乎所有 $x\in M$）
• Luzin 定理：令 $M$ 为 $\mathbb R^N$ 的可测子集。函数 $u: M\to\mathbb K$ 是可测的当且仅当对任意 $\delta$，它在除测度为 $\delta$ 的集合外是连续的
• 函数 $f:M\subseteq\mathbb R^N \to \mathbb K$ 是可测的如果他在可测集 $M$ 上几乎到处连续
• 可测函数的线性组合和极限也是可测的
• 可测函数在定义域中测度为 0 的子集上改变了，那么新的函数仍然是可测的

Lebesgue Integral

• 勒贝格积分（Lebesgue Integral）：函数 $u :M\subseteq\mathbb R^N\to\mathbb K$ 是可积（integrable）的当且仅当两个条件成立：(1) 存在由阶梯函数构成的函数列 $u_n$ 使得 $u(x) = \lim_{n\to\infty} u_n(x)$ 对几乎所有 $x\in M$ 成立 (2) 对任意 $\varepsilon> 0$，存在 $n_0(\varepsilon)$ 使得 $\int_M \left\lvert u_n(x) - u_m(x) \right\rvert \,\mathrm{d}{x} < \varepsilon$ 对所有 $n, m\ge n_0(\varepsilon)$ 成立
• 如果 $u$ 是可积的，那么定义 $\int_M u \,\mathrm{d}{x} := \lim_{n\to\infty} \int_{M} u_n \,\mathrm{d}{x} $
• 显然，可积函数必定可测