泛函分析笔记 5

贡献者： addis

1. 5.1 Extensions and Embeddings

线性空间 $X$ 到 $Y$ 的算符 $A$ 和 $B$ 记为 $B \subseteq A$ 当且仅当定义域 $D (B) \subseteq D (A)$ 且它们在 $D (B)$ 上是同一算符。这时 $A$ 是 $B$ 的 extension
$A = B$ 当且仅当 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$
embedding $X \subseteq Y$ 是连续的当且仅当存他们之间存在线性，单射，连续的算符
embedding $X \subseteq Y$ 是紧的当且仅当存他们之间存在线性，单射，紧的算符

2. 5.2 Self-Adjoint Operators

令线性算符 $A : D (A) \subseteq X \to X$ 的定义域 $D (A)$ 在希尔伯特空间 $X$ 上稠密。定义 $v \in D (A^{*})$ 当且仅当存在 $w \in X$ 使 $(v | A u) = (w | u)$ 对任意 $u \in D (A)$ 都成立。令 $A^{*} v := w$ ，就得到了伴随（adjoint）算符 $A^{*} : D (A^{*}) \subseteq X \to X$ 。所以 $D (A^{*})$ 是满足定义的最大集合
伴随算符：(1) 是线性的 (2) $(α A)^{*} = \bar{α} A^{*}$ (3) $A \subseteq B$ 意味着 $B^{*} \subseteq A^{*}$
如果 $D (A^{*})$ 在 $X$ 上稠密，那么存在 $(A^{*})^{*}$ ，记为 $A^{* *}$
希尔伯特空间 $X$ 上的线性算符 $A$ 是对称的（symmetric） 当且仅当 $A \subseteq A^{*}$ ，即 $(A u | v) = (u | A v)$ 对所有 $u, v \in D (A)$ 成立
希尔伯特空间 $X$ 上的线性算符 $A$ 是自伴的（self-adjoint） 当且仅当 $A = A^{*}$ ，注意 $D (A) = D (A^{*})$ 。自伴算符都是对称算符
希尔伯特空间 $X$ 上的线性算符 $A$ 是 skew-symmetric 当且仅当 $A \subseteq - A^{*}$
希尔伯特空间 $X$ 上的线性算符 $A$ 是 斜自伴（skew-adjoint） 当且仅当 $A = - A^{*}$
希尔伯特空间 $X$ 上的线性连续算符 $A$ 的伴随算符也是线性连续的，且 $‖ A ‖ = ‖ A^{*} ‖$ 以及 $A^{* *} = A$
令 $f : [a, b] \times [a, b] \to R$ 为连续函数且 $- \infty < a < b < \infty$ 。定义算符 $A$ 为 $(A u) (x) := \int_{a}^{b} f (x, y) u (y) d y$ ，令 $X := L_{2} (a, b)$ 。那么 (1) $A : X \to X$ 是线性紧算符，(2) $(A^{*} u) (x) = \int_{a}^{b} f (y, x) u (y) d y$ ， $A^{*}$ 也是线性紧算符。(3) 如果 $f (x, y) = f (y, x)$ 对任意 $x, y \in [a, b]$ 成立，那么算符 $A$ 是自伴算符
希尔伯特空间 $X$ 上的任意的线性自伴算符 $A$ 都是 maximally symmetric。也就是说，如果 $S$ 是对称算符且 $A \subseteq S$ ，那么 $A = S$
令 $X := L_{2}^{C} (R)$ ，且 $(A u) (x) := u^{'} (x)$ （ $x \in R$ ）， $D (A) := u \in X : u^{'} \in X$ , $u^{'}$ 为广义导数，那么 (1) 算符 $A$ 是斜自伴算符，(2) $i A$ 是自伴算符
令 $B$ 为上一条中的 $A$ 改成 “非广义” 的求导算符，且定义域为 $X ⋂ C^{1} (R)$ ，那么 $B$ 是 skew-symmetric 算符且 $i B$ 是对称算符
令 $X := L_{2}^{C} (R)$ ，定义 $(M u) (x) := x u (x)$ （ $\forall x \in R$ ）， $D (M) := {u \in X : M u \in X}$ 。那么算符 $M$ 是自伴算符
回忆：令 $M$ 为 Hilbert 空间 $X$ 的闭线性子空间，任何 $u \in X$ 存在唯一的分解 $u = v + w$ （ $v \in M$ ， $w \in M^{⊥}$ ）。正交投影算符 $P : X \to M$ 定义为 $P u := v$
正交投影算符 $P$ 是线性的，连续的，自伴的。且 $P^{2} = P$ 。如果 $M$ 为非空，那么 $‖ P ‖ = 1$
如果 $P : X \to X$ 是一个线性连续的自伴算符且 $P^{2} = P$ ，那么 $P$ 就是正交投影算符
令 $A : D (A) \subseteq X \to X$ 为 Hilbert 空间 $X$ 上的线性对称算符，且 $R (A)$ 在 $X$ 上稠密，那么 $(A^{- 1})^{*} = (A^{*})^{- 1}$ 。如果这个 $A$ 是自伴算符，那么 $A^{- 1}$ 也是
对 Hilbert 空间 $X$ 上的线性算符 $U : X \to X$ ，以下条件等价。(1) $U$ 是 unitary 算符，(2) $U U^{*} = U^{*} U = I$ ，(3) $U$ 是双射且 $U^{- 1} = U^{*}$ ，(4) $U$ 是满射且 $‖ U v ‖ = ‖ v ‖$ 对所有 $v \in X$ 成立

3. 5.9 Semigroups, One-Parameter Groups, and Teir Physical Relevance

令 $X$ 为 Banach 空间。 $X$ 上的 semigroup ${S (t)}_{t \geq 0}$ 包含一系列算符 $S (t) : X \to X$ （ $\forall t \geq 0$ ）使得： $S (t + s) = S (t) S (s)$ （ $\forall t, s \geq 0$ ）以及 $S (0) = I$
Semigroup ${S (t)}_{t \geq 0}$ 的 generator $A : D (A) \subseteq X \to X$ 定义为 $A u := lim_{t \to + 0} [S (t) - I] t^{- 1} u$ ， $u \in D (A)$ 当且仅当这个极限存在
令 $S_{+}$ 为 semigroup， $u (t) := S (t) u_{0}$ （ $\forall t \geq 0$ ）。那么 $S_{+}$ 是强连续的（strongly continuous） 当且仅当对任意 $u_{0} \in X$ ，函数 $u : [0, \infty [\to R$ 是连续的
$S_{+}$ 被称为 nonexpansive 当且仅当 $S_{+}$ 是强连续的且 $‖ S (t) u_{0} - S (t) v_{0} ‖ \leq ‖ u_{0} - v_{0} ‖$ （ $\forall u_{0}, v_{0} \in X$ ，对每个 $t \geq 0$ ）
$S_{+}$ 被称为线性的（linear） 当且仅当 $S (t) : X \to X$ （ $\forall u_{0}, v_{0} \in X$ ）是线性连续的
Banach 空间 $X$ 上的 one-parameter group ${S (t)}_{t \in R}$ 包含一系列算符 $S (t) : X \to X$ （ $\forall t \in R$ ），使得： $S (t + s) = S (t) S (s)$ （ $\forall t, s \in R$ ）以及 $S (0) = I$
One-parameter group 的 generator $A : D (A) \subseteq X \to X$ 定义为 $A u := lim_{t \to 0} [S (t) - I] t^{- 1} u$ ， $u \in D (A)$ 当且仅当这个极限存在
one-parameter group 的强连续和线性类比 semigroup
$S$ 叫做 一致连续（uniformly continuous） 当且仅当 $S$ 是线性的且 $‖ S (t + h) - S (t) ‖ \to 0$ 当 $h \to 0$ （ $\forall t \in R$ ）
一致连续的 $S$ 也是强连续的
令 $A : X \to X$ 为 Banach 空间 $X$ 上的线性连续算符，令 $S (t) := e^{t A}$ （ $\forall t \in R$ ）。那么 (1) $S = {S (t)}$ 是 $X$ 上的线性 one-parameter group，generator 为 $A$ (2) $S$ 是一致连续（强连续）的。(3) 给出 $u_{0} \in X$ ，令 $u (t) := e^{t A} u_{0}$ （ $\forall t \in R$ ），那么 $u = u (t)$ 是微分方程 $u^{'} (t) = A u (t)$ （ $- \infty < t < \infty$ ）， $u (0) = u_{0}$ 的唯一解
如果上面的 $A$ 是线性连续的，那么上面的微分方程无法用于描述自然中的不可逆过程
one-parameter unitary group：强连续，one-parameter group，每个 $S (t)$ 都是 unitary 的
令 $A$ 为复 Hilbert 空间 $X$ 中的线性连续的自伴算符，令 $S (t) := e^{i A t}$ （ $\forall t \in R$ ），那么 ${S (t)}$ 是 one-parameter unitary group，generator 是 $i A$

4. 5.13 Applications to the Schrodinger Equation

$u^{'} (t) = - i A u (t)$ （ $- \infty < t < \infty$ ）， $u (0) = u_{0}$
令 $A : D (A) \subseteq X \to X$ 为复 Hilbert 空间 $X$ 的自伴算符，

5. 5.14 Applications to Quantum Mechanics

Hilbert 空间中单位矢量 $ψ \in X$ （ $(ψ | ψ) = 1$ ）叫做态（state）
Hilbert 空间中的自伴算符 $A$ 叫做可观测量
测量
不确定原理
动量算符 $A : D (A) \subseteq X \to X$ 定义为 $(A ϕ) (x) := - i ℏ d ϕ (x) / d x$ （ $\forall x \in R$ ）。其中 $D (A) := {ϕ \in X : ϕ^{'} \in X}$ ， $ϕ^{'}$ 是广义导数
$(B ϕ) (x) := x ϕ (x)$ （ $x \in R$ ）叫做位置算符，其中 $D (B) := ϕ \in X : B ϕ \in X$
位置算符和动量算符都是自伴算符（见上文）

6. 5.15 Generalized Eigenfunctions

令 $X := L_{2}^{C} (R)$ ， $A : D (A) \subseteq X \to X$ 为对称算符， $S \subseteq D (A)$ 那么非零的 tempered distribution $T \in S^{'}$ 叫做 $A$ 的 广义本征函数（generalized eigenfunction）（具有实数本征值）当且仅当 $T (A ϕ) = λ T (ϕ)$ 对所有 $ϕ \in S$ 成立
广义本征函数系 ${T_{α}}_{α \in A}$ 称为完备的（complete） 当且仅当 “ $T_{α} (ϕ) = 0$ 对所有 $α \in A$ 和固定的 $ϕ \in S$ 成立” 意味着 $ϕ = 0$
令 $T (ϕ) := (ψ | ϕ) = \int_{- \infty}^{\infty} \overset{―}{ψ (x)} ϕ (x) d x$ （ $\forall ϕ \in S$ ），那么 (1) 对每个 $ψ \in X$ ， $T \in S^{'}$ ，(2) 映射 $ψ \mapsto T$ 是从 $X$ 到 $S^{'}$ 的线性双射算符
上面 $A$ 中的每个本征函数 $ψ \in D (A)$ 可以映射到一个广义本征函数
令 $p \in R$ ， $T_{p} (ϕ) := \int_{- \infty}^{\infty} \overset{―}{ϕ_{p} (x)} ϕ (x) d x$ （ $\forall ϕ \in S$ ）其中 $ϕ_{p} (x) := \exp (i p x / ℏ)$ 。 $T_{p} \in S^{'}$
${ϕ_{p}}_{p \in R}$ （对应的广义函数 $T_{p} (ϕ)$ ）是动量算符的完备广义本征函数
${δ_{y}}_{y \in R}$ 是位置算符 $B$ 的完备广义本征函数。即 $δ_{y} (B ϕ) = y δ_{y} (ϕ)$ （ $\forall ϕ \in S$ ）

7. 5.20 A Look at Scattering Theory

实际运动： $ψ (t) := \exp (- i t H / ℏ) ψ (0)$ ，自由运动： $ψ_{0} (t) := \exp (- i t H_{0} / ℏ) ψ_{0} (0)$
运动 $ψ = ψ (t)$ 被称为 asymptotically free 当 $t \to + \infty$
$ψ (0)$ 是 asymptotically free motion 的初态当且仅当 $ψ (0)$ 与 $H$ 的所有本征矢（bound states）正交
散射态 $ϕ_{p}$ 是（对应） $H_{0}$ 的广义本征函数 $T_{p} (ϕ)$ 。 $T_{p} (H_{0} ϕ) = p^{2} / (2 m) T_{p} (ϕ)$ （ $\forall ϕ \in S, p \in R$ ）

8. 5.21 The Language of Physicists in Quantum Physics and the Justification of the Dirac Calculus

令 $ϕ_{k} (x) := (2 π)^{- 1 / 2} e^{i k x}$ $x, k \in R$

9. Appendix

The Lebesgue Measure

$N$ -cuboid： $C := {(ξ_{1}, \dots, ξ_{2}) \in R^{N} : a_{j} < ξ_{j} < b_{j}}$ （ $j = 1, \dots, N$ ）
$N$ -cuboid 的体积为 $vol (C) := \prod_{j = 1}^{N} (b_{j} - a_{j})$
勒贝格测度将 $R^{N}$ 中的经典的体积从足够有规律的集合拓展到一些 “无规律” 的集合。令 $A$ 为 $R^{N}$ 中可测子集的集合
(1) $R^{N}$ 中任意开集和闭集属于 $A$ 。(2) 如果 $A, B \in A$ ，那么 $A \cup B \in A$ ， $A \cap B \in A$ ， $A - B \in A$ 。(3) $A_{n} \in A$ 的无穷交集和无穷并集仍然属于 $A$ 。(4) 每个 $A \in A$ 可以赋予一个数 $0 \leq μ (A) \leq \infty$ , 叫做 $N$ 维测度（measure）， $A \in A$ 叫做可测的（measurable）。(5) 如果 $A \cap B = \emptyset$ ，那么 $μ (A \cup B) = μ (A) + μ (B)$ 。这对无穷个 $A_{n}$ 仍然适用。(6) 如果 $C$ 是一个 $N$ -cuboid，那么 $C \in A$ 以及 $μ (C) = vol (C)$ 。(7) $A$ 的测度为零当且仅当对任意 $ε > 0$ ，存在可数个 $N$ -cuboid $C_{1}, C_{2}, \dots$ 使得 $A \subseteq ⋃_{j = 1}^{\infty} C_{j}$ 且 $\sum_{j = 1}^{\infty} μ (C_{j}) < ε$ 。(8) 如果 $A$ 的 $N$ 维测度为零且 $B \subseteq A$ ，那么 $B$ 的 $N$ 维测度也是零。(9) $A$ 叫做最小的（minimal），如果 $A^{'}$ 满足以上条件，就有 $A \subseteq A^{'}$
测度 $μ$ 在 $A$ 上唯一。 $μ$ 叫做勒贝格测度，也记为 $meas (A) := μ (A)$ （ $\forall A \in A$ ）
$R^{N}$ 中有限个或可数个点的 $N$ 维测度为零
一个性质 $P$ 几乎到处（almost everywhere）都成立，当且仅当 $P$ 对 $R^{N}$ 中除了测度为零的集合的点都成立
几乎所有（almost all）也类似。例如几乎所有的实数都是无理数
例如令 $M \subseteq R^{N}$ ， $u (x) = lim_{n \to \infty} u_{n} (x)$ （对几乎所有 $x \in M$ ）
$μ (M) \leq μ (G)$ 当 $M \subseteq G$ ， $μ (R^{N}) = + \infty$ 且 $μ (\emptyset) = 0$

Step Functions

阶梯函数（step function）： $u : M \subseteq R^{N} \to K$ ，piecewise constant。 $M$ 是可测的，存在有限个两两不相交的 $M_{j} \subseteq M$ ，使得他们的测度为有限且 $u (x) = a_{j}$ （ $\forall x \in M_{j}$ 和 $\forall j$ ）， $u (x) = 0$ （otherwise）
定义阶梯函数的积分为 $\int_{M} u d x := \sum_{j} meas (M_{j}) a_{j}$

Measurable Functions

可测函数（Measurable Function）： $u : M \subseteq R^{N} \to K$ (1) $M$ 是可测的 (2) 存在阶梯函数的序列 $u (x) = lim_{n \to \infty} u_{n} (x)$ （对几乎所有 $x \in M$ ）
Luzin 定理：令 $M$ 为 $R^{N}$ 的可测子集。函数 $u : M \to K$ 是可测的当且仅当对任意 $δ$ ，它在除测度为 $δ$ 的集合外是连续的
函数 $f : M \subseteq R^{N} \to K$ 是可测的如果他在可测集 $M$ 上几乎到处连续
可测函数的线性组合和极限也是可测的
可测函数在定义域中测度为 0 的子集上改变了，那么新的函数仍然是可测的

Lebesgue Integral

勒贝格积分（Lebesgue Integral）：函数 $u : M \subseteq R^{N} \to K$ 是可积（integrable）的当且仅当两个条件成立：(1) 存在由阶梯函数构成的函数列 $u_{n}$ 使得 $u (x) = lim_{n \to \infty} u_{n} (x)$ 对几乎所有 $x \in M$ 成立 (2) 对任意 $ε > 0$ ，存在 $n_{0} (ε)$ 使得 $\int_{M} | u_{n} (x) - u_{m} (x) | d x < ε$ 对所有 $n, m \geq n_{0} (ε)$ 成立
如果 $u$ 是可积的，那么定义 $\int_{M} u d x := lim_{n \to \infty} \int_{M} u_{n} d x$
显然，可积函数必定可测

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