陪集和同余

             

预备知识 子群

定义 1 左陪集

   给定一个群 $G$ 和它的一个子群 $H$.从 $G$ 中任意挑一个元素 $x$ 出来,用它来左乘 $H$ 中的每一个元素,得到一个集合 $\{x, xh_1, xh_2, \cdots\}$,这里的 $h_n$ 要取遍每一个在 $H$ 中的元素.这个集合,也可以写为 $\{xh|h\in H\}$,被叫做子群 $H$ 关于元素 $x$ 的左陪集(left coset),记作 $xH$.

   类似地还可以定义右陪集,不过二者选其一作为代表来研究就可以了,我们习惯上主要研究左陪集.

   注意这个表示方法:$xH=\{xh|h\in H\}$.这是一种非常简洁的表达方法,可以理解成 $x$ 逐个左乘 $H$ 中的元素得到的集合,也可以理解成是 $x$ 和 $H$ 之间的一个运算,结果是另一个集合.类似地,我们也可以用群里任意两个子集(不一定要求是子群)$A$ 和 $B$ 来生成一个新的子集 $AB=\{ab|a\in A, b\in B\}$,就是用 $A$ 中的每一个元素去左乘 $B$ 中的每一个元素,得到的所有结果的集合.当然,这种表示方法也可以推广到一切 “元素之间可以进行运算的集合”:集合 $A$ 和 $B$ 之间的运算,就是 $A$ 和 $B$ 所有可能的元素运算的结果构成的集合.比如说,考虑到整数集合上可以进行小学所学的乘法和加法运算,我们也可以把 $n\mathbb{Z}$ 的表示方法理解为用 $n$ 去乘全体整数所得到的集合,这个集合在加法下构成群1

   如果 $h\in H$,而 $H$ 是一个有限群,那么由于封闭性,$hH=H$.这是因为,用 $h$ 去左乘 $H$ 中的一切元素(包括 $h$ 自己),那么一方面由于封闭性,运算结果还是在 $H$ 内部;另一方面由于群运算的唯一性,每一个左乘运算都不相同.这个论断不能简单地用于无限群.

   所以,如果我们用 $xH$ 中任意元素 $xh_0$ 来左乘 $H$,得到的 $xh_0H$ 仍然是同一个左陪集:$xH=xh_0H$.所以我们可以用左陪集中的任何一个元素 $x'$ 来作为代表,把这个左陪集写成 $x'H$.

   特别地,考察这个形式的集合2:$\{e, h, hh, hhh, hhhh, \cdots\}$.那么同样地由于封闭性和运算唯一性可知,这个集合还是群 $H$ 的一个子集.特别地,$H$ 的群运算限制在这个集合上能构成一个循环群(例 2 ).只要我们把 $n$ 个 $h$ 相乘的结果记为 $h^n$,$n$ 个 $h^{-1}$ 相乘的结果记为 $h^{-n}$,那么如此生成的循环群就可以用指数的加法运算来处理了.由单个元素可以生成循环群这一概念,我们引入以下定义:

定义 2 阶

   给定一个群 $G$ 和一个 $g\in G$,如果存在一个正整数 $n$ 使得 $g^n=e$,那么我们称 $g$ 是一个有限阶的元素.特别地,所有满足条件的 $n$ 中最小的那一个,被称为 $g$ 的阶(order)或者指数,记为 $ \operatorname {ord}g$.特别地,如果任何整数 $n$ 都不能使 $g^n=e$,那么记 $ \operatorname {ord}g=\infty$;规定 $ \operatorname {ord}e=0$.

例 1 $n\mathbb{Z}$ 的左陪集

   整数加群的群运算是通常的加法,所以我们可以把元素 $k$ 所在的左陪集记为 $k+n\mathbb{Z}$.比如说,当 $n$ 为 $6$,$k$ 为 $1$ 时,$1+6\mathbb{Z}=\{\cdots, -11, -5, 1, 7, 13, \cdots\}$;当 $k$ 为 $8$ 时,$8+6\mathbb{Z}=\{\cdots, -10, -4, 2, 8, 14, \cdots\}=2+6\mathbb{Z}$.

   $6\mathbb{Z}$ 一共有 $6$ 个不同的左陪集;类似地,$n\mathbb{Z}$ 一共有 $n$ 个不同的左陪集.

   注意左陪集不一定是子群,例如 $1 + 6\mathbb Z$ 中没有单位元.

例 2 $3\mathbb{Z}$ 的子群和左陪集

   $3\mathbb{Z}$ 虽然是 $\mathbb{Z}$ 的子群,但是它也可以从中再分离出子群来.由于 $3\mathbb{Z}$ 的集合是由全体 $3$ 的倍数构成的,因此全体 $6$ 的倍数构成的集合 $6\mathbb{Z}$ 是 $3\mathbb{Z}$ 的真子集,我们已经知道它构成群了.也就是说,$6\mathbb{Z}$ 既是 $\mathbb{Z}$ 的子群,又是 $3\mathbb{Z}$ 的子群,甚至还是 $2\mathbb{Z}$ 的子群.

   从例 1 中我们知道,$6\mathbb{Z}$ 作为 $\mathbb{Z}$ 的子群,有 $6$ 个左陪集;但作为 $3\mathbb{Z}$ 的左陪集的时候只有 $6/3=2$ 个左陪集.

   下图可以形象地表示 $\mathbb{Z}$,$3\mathbb{Z}$ 以及 $6\mathbb{Z}$ 之间的关系,一般的群和子群的关系也可以类似理解.

图
图 1:子群和陪集的示意图.整张图表示 $\mathbb{Z}$ 本身;中间的两个绿色区域表示 $3\mathbb{Z}$,左边的两个紫色区域表示 $1+3\mathbb{Z}$ 而右边的两个紫色区域表示 $2+3\mathbb{Z}$;中间上面的绿色区域表示 $6\mathbb{Z}$,而下面的绿色区域表示 $3+6\mathbb{Z}$,剩下的四个紫色区域分别表示 $6\mathbb{Z}$ 的另外四个左陪集.

   在这个图中可以清楚地看到,$3\mathbb{Z}=6\mathbb{Z}\cup(3+6\mathbb{Z})$.这很容易理解,因为 $3$ 的倍数无非两种情况,$6$ 的倍数或者 $6$ 的倍数再加 $3$.

   左陪集的意义是将群划分成互不相交的子集,这是一个等价类划分,也就是说,“$x$ 和 $y$ 属于同一个左陪集” 是一个等价关系.于是我们有了如下定理:

定理 1 

  

   左陪集划分是一个等价类划分.

   证明

   给定一个群 $G$,两个元素 $x, y\in G$,再给定它的一个子集 $H$,那么 “$y$ 在左陪集 $xH$ 中” 的等价表述,可以是 “$y\in xH$”;在这个属于关系两边同时左乘一个 $x^{-1}$,还能得到更常用的等价表述:$x^{-1}y\in H$3

   我们用最后这个等价表述来检查,“在同一个左陪集中” 这一关系,是否是等价关系.

   到此,我们证明了 “在同一个左陪集中” 是一个等价关系.由这个等价关系划分的左陪集,是一种等价划分,左陪集彼此互不相交.

   证毕

定义 3 同余

   对于群 $G$ 和其子群 $H$,如果 $x, y\in G$ 满足 $x, y$ 在同一个左陪集中,那么我们称 $x, y$ 模 $H$ 同余4

   知道了左陪集是等价类,我们很容易发现群的一个优美的结构.在集合论中,子集的基数可以是任意的,只要它小于等于原集合的基数就可以;但是子群的阶却必须能够整除原群的阶.这就是群论的拉格朗日定理(Lagrange's Theorem)

定理 2 拉格朗日定理

  

   给定群 $G$,如果 $H$ 是 $G$ 的子群,那么 $|H|$ 可以整除 $|G|$.

   证明

   假设 $x\in G$.根据 $xH$ 的定义,$|xH|\leq|H|$.又由群运算的唯一性,这个不等式应该取等号:$|xH|=|H|$.所以每个左陪集的基数都一样大.

   左陪集彼此不相交,每个元素 $x$ 都属于左陪集 $xH$,因此 $|G|$ 等于各个左陪集的基数之和,也就是 $|H|$ 的倍数.

   证毕

   拉格朗日定理还说明,任何有限群 $G$ 的元素,其指数都是 $|G|$ 的因子.


1. ^ 在乘法下一般不构成群,除非 $n$ 是素数,在这种情况下 $n\mathbb{Z}$ 配合乘法和加法就构成了最常见的一种有限域.
2. ^ 其中省略号表示一直列举下去,但排除与前面重复的元素.所以这个集合可能是有限的.
3. ^ 如果你不理解为什么可以像解方程一样两边同时乘以一个元素,请再琢磨琢磨上文中 $xH$ 的定义是什么.
4. ^ 对比整数中的同余概念.两个 “同余” 有什么联系吗?

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