子群

贡献者： JierPeter; addis

1. 子群

　　 虽然群和子群的联系很紧密，但是我们通常还是把它们看作由完全无关的集合所构成的，只不过可以自然地应用已经存在的群运算和子集关系来定义子群的运算。这样，将已有的运算直接用在子集上，有时被称作在子集上导出或诱导（induce）了一个运算，有时也称子集上的运算是限制在子集上的运算。比如在定义里，群 $H$ 的运算实际上被认为是和 $G$ 的运算不一样，严格来说应该记为 $\cdot {|}_H$，意思是 “限制在 $H$ 上的 $\cdot$”。但是不至于引起混淆的时候，也可以简单记为 “$\cdot$”，并认为是同一个运算。

　　 一般来说，当我们说 $H$ 是一个子群时，强调的是 $H$ 和 $G$ 的关系；但如果我们说 $H$ 是一个群，我们关心的是 $H$ 本身作为群的性质，而没有强调它和其它群的关系。

　　 充分性证明：

• 单位元存在性：我们需要证明群 $G$ 中的单位元属于 $H$。取 $x\in H$，且 $y=x$，那么 $e=y^{-1}x\in H$。
• 逆元存在性：由于 $x$ 是群 $G$ 的元，$x^{-1}$ 必然存在，但我们还要证明 $x^{-1}\in H$。取 $x\in H$，$y=e\in H$，那么 $x^{-1}=x^{-1}y\in H$。
• 封闭性：取 $x,y\in H$，则 $x^{-1}\in H$，进而 $xy=(x^{-1}{)}^{-1}y\in H$。
• 结合性自然继承自 $G$ 的结合性。

　　 必要性证明：如果 $H$ 是个群，显然对于任意 $x,y\in H$，有 $x^{-1}y\in H$。

　　 证毕。

1. ^ 由于已经知道 $(G,\cdot )$ 构成一个群，结合性已经天然满足了，故我们额外要求具有封闭性、单位元存在性和逆元存在性即可。