(低阶)偏微分方程的分类与特征线

                     

贡献者: int256

预备知识 偏导数(数学分析),常微分方程,矩阵的本征问题

   特征线法又被称为达朗贝尔法和行波法,一般适用于解初值问题的一阶 PDE,对二阶 PDE 的分类也颇有帮助。本文默认 PDE 的范围是 $-\infty < x, y, \dots < +\infty, t>0$,用 $u'_t$ 表示 $ \frac{\partial u}{\partial t} $,用 $u'_x$ 表示 $ \frac{\partial u}{\partial x} $。默认二阶导连续,即 $u''_{xy} = u''_{yx} = \frac{\partial }{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)$。

   特征线有如下性质,

  1. 对于 $n$ 维(这里包含时间维)的 PDE,其特征线总是 $n-1$ 维的。
  2. 解的 “间断” 性质通过、且仅能通过特征线传播。(也就是说,不同时刻,同一特征线上的解相同,但有时数值会沿特征线衰减。)
  3. 特征线上 PDE 的解是一样的,特征线的斜率是解 “传播” 的速度。

   其中性质 $2$ 对应着如果不存在特征线(特征线不是实的,类似一元二次方程没有实数根称为根不存在),那么 PDE 的解连续(这就是 elliptic PDE)。

   同时求出特征线还有助于解决诸如影响区域、依赖区域一类的问题(这是由解信息沿特征线传播决定的)。

1. 一维一阶 PDE

定理 1 

   对于关于 $u(x, t)$ 的 PDE:

\begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t} + A(x, t) \frac{\partial u}{\partial x} + B(x, t) u = f(x, t) ~, \end{equation}
初值条件 $u(x, 0) = \phi(x), -\infty < x < +\infty$。

   设特征线族为 $x = x(t, \tau)$ 是下面 ODE 的解,

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} &= A(x, t), \\ x(0) &= \tau ~. \end{aligned} \right . \end{equation}
考虑 $v(t) = u(x(t), t)$,由全微分与偏导的关系, $$ \frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot A(x, t) + \frac{\partial u}{\partial t} ~,$$ 这便是特征线的解。若再要求解原方程组,又有:
\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{t}} + B(x, t) v &= f(x(t), t) ~, \\ v(0) = u(x(0), 0) &= u(\tau, 0) = \phi(x) ~. \end{aligned} \right. \end{equation}

   下面利用两个一维一阶的 PDE 举例来说明如何求解 PDE 的特征线。

例 1 

   求解这 PDE 的特征曲线:

\begin{equation} \left \{ \begin{aligned} u'_t + (x + t) u'_x + u &= x ~, \\ \left. u \right\rvert _{t=0} &= x ~. \end{aligned} \right . \end{equation}

   :特征曲线 $x=x(t)$ 对应下面 ODE,

\begin{equation} \left \{ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} &= x+t ~, \\ x(0) &= \tau ~. \end{aligned} \right . \end{equation}
可以解得 $x(t) = e^t - t - 1 + \tau \cdot e^t$。

   另一个方法则是考虑特征线下的坐标系 $(s, \tau)$,其中 $\tau$ 仍是某个常数,由选择的 “哪条” 特征线而定,而 $s \ge 0$ 是代表在某条特征线上的位置。

图
图 1:$s-\tau$ 坐标系 [1]

例 2 

   通过特征线法求这 pde 的解: $$ \left\{ \begin{aligned} {u_t'} + {u_x'} &= -u, -\infty < x < +\infty, t > 0, \\ u(x, 0) &= \sin x, -\infty < x < +\infty . \end{aligned} \right. ~~ $$

   :考虑将原 PDE 转化到 $s-\tau$ 坐标系下的 ODE。由全微分与偏微分的关系: $$ \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{s}} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{s}} + \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{s}} ~, $$ 则由 $u_t' + u_x' = -u$,因而 $u_t' + u_x' + u = 0$,就有 $$ \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{s}} + u = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{s}} + \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{s}} + u = 0 ~.$$ 对比系数,得到特征线方程: $$ \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{s}} = 1, \frac{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{s}} = 1~, s>0$$ 故 $x(s) = s+C_1, t(s) = s+C_2$。

   令 $s=0$,得到 $x(0) = C_1, t(0) = C_2$。结合 $s-\tau$ 坐标系的意义,$x(0)$ 是由 $\tau$ 决定的初值 $x(0) = \tau$,$t(0)=0$。故 $x(s) = s+\tau, t(s)=s$。则特征线方程就是 $x = t+\tau$。

   下面利用上面求出的特征线将原 pde 转化为 ode 求解: $$ \left\{ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{s}} +u &= 0, s>0, \\ \left. u \right\rvert _{s=0} &= u( \left. x \right\rvert _{s=0}, \left. t \right\rvert _{s=0}) = u(\tau, 0) = \sin \tau . \end{aligned} \right.~~$$ 故 $u(s,\tau) = \exp\left(-s\right) \sin \tau$。

   下面将 $u(s, \tau)$ 转化回到 $x-t$ 坐标系下: $x(s) = s + \tau, t(s) = s$,故 $u(x, t) = \exp\left(-t\right) \sin\left(x-t\right) $。

图
图 2:解的示意

   可以发现解沿着特征线有衰减的传播。图中画出了 $0\le t\le3$, $0\le x \le 4 \pi$ 的情况。

   很多人都对偏微分方程为什么用圆锥曲线来分类有疑惑,一个偏微分方程为什么会跟平面上曲线的分类有关呢?对 PDE(偏微分方程)进行分类又对解其有何帮助?下面来讨论这些问题。

2. 二阶线性 PDE 的分类

   在一般的数理方程或介绍 PDE 的书籍中,会把二阶线性 PDE 作为着重点来讲并一般将之主要分为以下三类,分别是

  1. 椭圆类(elliptic PDE),例如泊松方程 $ \boldsymbol{\nabla}^2 u = f$;
  2. 抛物类(parabolic PDE),例如热传导方程 $k \boldsymbol{\nabla}^2 T = \frac{\partial T}{\partial t}$;
  3. 双曲类(hyperbolic PDE),例如波动方程 $ \boldsymbol{\nabla}^2 w = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 w}{\partial t^2}$。

   这三类的解信息沿特征线传播,有性质与对应的物理问题:

  1. 椭圆类:解的信息以无限速度传播,且解不应当存在间断。适用于平衡问题(静态或准静态,例如无源力场)。
  2. 抛物类:解的信息以无限速度传播,适用于扩散问题(例如热传导)。
  3. 双曲类:解的信息以有限速度传播,且能保留间断信息,适用于波动问题。

   另外还有一类 PDE 被称为 ultrahyperbolic PDE(超双曲类)。下面将讲解是如何分类的。

二元二阶线性 PDE

   首先保持二阶导连续的假设,即 $ \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial u}{\partial x} $。则偏微分方程具有一般形式: $$Au''_{xx} + Bu''_{xy} + Cu''_{yy} + Du'_{x} + Eu'_{y} + F = 0 ~,$$ 与一阶线性 PDE 对比,可以得到特征线应当满足方程: $$ \left\{ \begin{aligned} \,\mathrm{d}{(u'_{x})} &= u''_{xx} \,\mathrm{d}{x} + u''_{xy} \,\mathrm{d}{y} ,\\ \,\mathrm{d}{(u'_{y})} &= u''_{xy} \,\mathrm{d}{x} + u''_{yy} \,\mathrm{d}{y} . \end{aligned} \right. ~~$$ 联立这三式,令有三个矩阵:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \begin{pmatrix} A & B & C \\ \,\mathrm{d}{x} & \,\mathrm{d}{y} & 0 \\ 0 & \,\mathrm{d}{x} & \,\mathrm{d}{y} \end{pmatrix}, \boldsymbol{\mathbf{p}} = \begin{pmatrix} u''_{xx} \\ u''_{xy} \\ u''_{yy} \end{pmatrix}, \boldsymbol{\mathbf{N}} = \begin{pmatrix} -D u'_{x} - E u'_{y} - F\\ \,\mathrm{d}{(u'_{x})} \\ \,\mathrm{d}{(u'_{y})} \end{pmatrix} ~~ \end{equation}
则这三式可转化为 $ \boldsymbol{\mathbf{Mp}} = \boldsymbol{\mathbf{N}} $。 显然,$u$ 的各个二阶偏导项不是唯一确定的,所以 $\det \boldsymbol{\mathbf{M}} = 0$,也就是需要:
\begin{equation} A\left(\mathrm{d} y\right)^2 - B\left(\mathrm{d} x \mathrm{d} y\right) + C\left(\mathrm{d} x\right)^2 =0 ~, \end{equation}
也就是:
\begin{equation} A\left( \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right)^2 - B\left( \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) + C = 0 ~, \end{equation}
发现是一个关于 $ \,\mathrm{d}{y} / \,\mathrm{d}{x} $ 的二次方程,判别式 $\Delta = B^2-4AC$。对比一般利用二次表达式的圆锥曲线定义,可以将特征线分类如下。

  1. $\Delta < 0$,存在虚特征线(即无特征线),称这种为椭圆类 PDE
  2. $\Delta = 0$,存在一族特征线,称这种为抛物类 PDE
  3. $\Delta > 0$,存在两族不同的特征线,称这种为双曲类 PDE

   这就是分类的依据。

   值得注意的是,PDE 可能在不同区域有不同分类。例如 $y u''_{xx} - u''_{yy} = 0$,在 $y> 0$ 时是双曲类;在 $y=0$ 时是抛物类,在 $y<0$ 时是椭圆类。

多元二阶线性 PDE

   考虑线性微分算符 $\hat L$:

\begin{equation} \hat L u = \sum_{i, j}\left( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{i, j} \cdot \frac{\partial }{\partial x_i} \left( \frac{\partial u}{\partial x_j} \right)\right) + \sum_{i}\left( \boldsymbol{\mathbf{B}} _{i} \frac{\partial u}{\partial x_i} \right) + F~, \end{equation}
忽略低阶项(一阶的 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} _{i}$ 与 $F$),考虑系数矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{i,j}$ 的特征值,我们将 $\hat Lu=0$ 分类如下。

  1. 当特征值均大于 $0$ 或均小于 $0$,即特征值全部同号且都非零,归类为椭圆类
  2. 当特征值有一个为 $0$,其余均大于 $0$ 或均小于 $0$,即特征值除有一 $0$ 外均同号,归类为抛物类
  3. 当特征值一个为正数,其他为负数;或一个为负数,其他为正数。即特征值均非 $0$,并且有仅有一非 $0$ 特征值与其他非 $0$ 特征值符号相反,归类为双曲类
  4. 正特征值和负特征值的个数都均大于一,且特征值均非 $0$,归类为超双曲类

   一般来说,对于一个有物理意义的 PDE,特征值有一个为 $0$ 的归类为抛物类,其余全同号为椭圆类,否则大概率为双曲类。


[1] ^ Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. 1993.

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