（低阶）偏微分方程的分类与特征线

贡献者： int256; addis

　　 对于低阶偏微分方程而言，我们可以找到一族曲线，偏微分方程的初值信息沿着这条曲线传播（体现为在这条曲线上值不变或衰减），这条曲线就被称为特征线，而由于解沿这曲线传递，我们就可以通过解常微分方程的方法求出这条曲线（将在下面的例子中看到这一点）。最直白的说，就是偏微分方程这个系统随时间的演化，沿着特征线将变为 “常微分方程”。

　　 我们可以假想初值是一物理系统的初始状态，从初值情况开始，解将进行传播并产生波，描述这个 “波” 传递的过程就是特征线法，故又称行波法。

　　 同时，特征线法为二阶 PDE 提供了一个分类方法。

　　 本文默认 PDE 的范围是 $-\infty < x, y, \dots < +\infty, t>0$，用 $u'_t$ 表示 $ \frac{\partial u}{\partial t} $，用 $u'_x$ 表示 $ \frac{\partial u}{\partial x} $。默认二阶导连续，即 $u''_{xy} = u''_{yx} = \frac{\partial }{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)$。

　　 特征线有如下性质，

1. 对于 $n$ 维（这里包含时间维）的 PDE，其特征线总是 $n-1$ 维的。
2. 解的 “间断” 性质通过、且仅能通过特征线传播。（也就是说，不同时刻，同一特征线上的解相同，但有时数值会沿特征线衰减。）
3. 特征线上 PDE 的解是一样的（或衰减），特征线的斜率是解 “传播” 的速度。

　　 其中性质 $2$ 对应着如果不存在特征线（特征线不是实的，类似一元二次方程没有实数根称为根不存在），那么 PDE 的解连续（这就是 elliptic PDE）。

　　 同时求出特征线还有助于解决诸如影响区域、依赖区域一类的问题（这是由解信息沿特征线传播决定的）。

1. 一维一阶 PDE

　　 特征线法为一维一阶 PDE 提供了一个解法：先求出特征线，后代入求出初值在特征线上的传播情况即可。

　　 下面利用两个一维一阶的 PDE 举例来说明如何求解 PDE 的特征线。

　　 另一个方法则是考虑特征线下的坐标系 $(s, \tau)$，其中 $\tau$ 仍是某个常数，由选择的 “哪条” 特征线而定，而 $s \ge 0$ 是代表在某条特征线上的位置。

例 2　

　　 通过特征线法求这 pde 的解： $$ \left\{ \begin{aligned} {u_t'} + {u_x'} &= -u, -\infty < x < +\infty, t > 0, \\ u(x, 0) &= \sin x, -\infty < x < +\infty . \end{aligned} \right. ~~ $$

　　 解：考虑将原 PDE 转化到 $s-\tau$ 坐标系下的 ODE。由全微分与偏微分的关系： $$ \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{s}} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{s}} + \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{s}} ~, $$ 则由 $u_t' + u_x' = -u$，因而 $u_t' + u_x' + u = 0$，就有 $$ \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{s}} + u = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{s}} + \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{s}} + u = 0 ~.$$ 对比系数，得到特征线方程： $$ \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{s}} = 1, \frac{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{s}} = 1~, s>0$$ 故 $x(s) = s+C_1, t(s) = s+C_2$。

　　 令 $s=0$，得到 $x(0) = C_1, t(0) = C_2$。结合 $s-\tau$ 坐标系的意义，$x(0)$ 是由 $\tau$ 决定的初值 $x(0) = \tau$，$t(0)=0$。故 $x(s) = s+\tau, t(s)=s$。则特征线方程就是 $x = t+\tau$。

　　 下面利用上面求出的特征线将原 pde 转化为 ode 求解： $$ \left\{ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{s}} +u &= 0, s>0, \\ \left. u \right\rvert _{s=0} &= u( \left. x \right\rvert _{s=0}, \left. t \right\rvert _{s=0}) = u(\tau, 0) = \sin \tau . \end{aligned} \right.~~$$ 故 $u(s,\tau) = \exp\left(-s\right) \sin \tau$。

　　 下面将 $u(s, \tau)$ 转化回到 $x-t$ 坐标系下： $x(s) = s + \tau, t(s) = s$，故 $u(x, t) = \exp\left(-t\right) \sin\left(x-t\right) $。

图 2：解的示意

　　 可以发现解沿着特征线有衰减的传播。图中画出了 $0\le t\le3$, $0\le x \le 4 \pi$ 的情况。

　　 同时，对于二元二阶线性的 PDE，其特征线是 2 维的，并且我们将会看到其体现出圆锥曲线的性质，同时各类圆锥曲线的特征线对应的 PDE 有不同的性质。下面我们来讨论特征线与 PDE 的分类。

2. 二阶线性 PDE 的分类

　　 在一般的数理方程或介绍 PDE 的书籍中，会把二阶线性 PDE 将之主要分为以下三类，分别是

1. 椭圆类（elliptic PDE），例如泊松方程 $ \boldsymbol{\nabla}^2 u = f$；
2. 抛物类（parabolic PDE），例如热传导方程 $k \boldsymbol{\nabla}^2 T = \frac{\partial T}{\partial t}$；
3. 双曲类（hyperbolic PDE），例如波动方程 $ \boldsymbol{\nabla}^2 w = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 w}{\partial t^2}$。

　　 这三类的解信息沿特征线传播，有性质与对应的物理问题：

1. 椭圆类：解的信息以无限速度传播，且解不应当存在间断。适用于平衡问题（静态或准静态，例如无源力场）。
2. 抛物类：解的信息以无限速度传播，适用于扩散问题（例如热传导）。
3. 双曲类：解的信息以有限速度传播，且能保留间断信息，适用于波动问题。

　　 另外还有一类 PDE 被称为 ultrahyperbolic PDE（超双曲类）。下面将讲解是如何分类的。

二元二阶线性 PDE

　　 首先保持二阶导连续的假设，即 $ \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial u}{\partial x} $。则偏微分方程具有一般形式： $$Au''_{xx} + Bu''_{xy} + Cu''_{yy} + Du'_{x} + Eu'_{y} + F = 0 ~,$$ 与一阶线性 PDE 对比，可以得到特征线应当满足方程： $$ \left\{ \begin{aligned} \,\mathrm{d}{(u'_{x})} &= u''_{xx} \,\mathrm{d}{x} + u''_{xy} \,\mathrm{d}{y} ,\\ \,\mathrm{d}{(u'_{y})} &= u''_{xy} \,\mathrm{d}{x} + u''_{yy} \,\mathrm{d}{y} . \end{aligned} \right. ~~$$ 联立这三式，令有三个矩阵：

1. $\Delta < 0$，存在虚特征线（即无特征线），称这种为椭圆类 PDE；
2. $\Delta = 0$，存在一族特征线，称这种为抛物类 PDE；
3. $\Delta > 0$，存在两族不同的特征线，称这种为双曲类 PDE。

　　 这就是分类的依据。

　　 值得注意的是，PDE 可能在不同区域有不同分类。例如 $y u''_{xx} - u''_{yy} = 0$，在 $y> 0$ 时是双曲类；在 $y=0$ 时是抛物类，在 $y<0$ 时是椭圆类。

多元二阶线性 PDE

　　 考虑线性微分算符 $\hat L$：

1. 当特征值均大于 $0$ 或均小于 $0$，即特征值全部同号且都非零，归类为椭圆类；
2. 当特征值有一个为 $0$，其余均大于 $0$ 或均小于 $0$，即特征值除有一 $0$ 外均同号，归类为抛物类；
3. 当特征值一个为正数，其他为负数；或一个为负数，其他为正数。即特征值均非 $0$，并且有仅有一非 $0$ 特征值与其他非 $0$ 特征值符号相反，归类为双曲类；
4. 正特征值和负特征值的个数都均大于一，且特征值均非 $0$，归类为超双曲类。

　　 一般来说，对于一个有物理意义的 PDE，特征值有一个为 $0$ 的归类为抛物类，其余全同号为椭圆类，否则大概率为双曲类。

[1] ^ Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. 1993.