分离变量法与张量积空间

贡献者：待更新

预备知识　拉普拉斯方程

　　我们可以从张量积空间和本征问题的角度来理解分离变量法。

　　第一我们假设考虑的方程是线性的。即解可以表示为齐次解的线性组合加一个非齐次解。

　　以球坐标的拉普拉斯方程为例，这是一个齐次方程

\begin{matrix} (1) & \nabla^{2} u = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial u}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} u}{\partial ϕ^{2}} = 0 . \end{matrix}

我们可以将

u

所在的三维函数空间看做是三个变量各自的函数空间的张量积空间，张量积空间中的基底为三个单变量函数空间中的基底的张量积

\begin{matrix} (2) & u (r, θ, ϕ) = f (r) g (θ) h (ϕ) . \end{matrix}

　　要分离变量，可以从最简单的变量开始，分离出该变量的算符，然后求该算符的本征方程的一组本征函数（本征矢），作为该变量的函数空间的基底。这样，该算符就可以被替换为常数。替换后，尝试分离下一个变量的算符，以此类推。

　　拉普拉斯方程中，首先最容易分离的是关于 $ϕ$ 的算符

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial^{2}}{\partial ϕ^{2}}, \end{matrix}

令该算符的本征函数

h_{m} (ϕ)

为

ϕ

函数空间的基底，令本征值为常数

- m^{2}

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial^{2} h}{\partial ϕ^{2}} = - m^{2} h . \end{matrix}

　　将算符替换为本征值，然后容易发现后两项中都有公共的 $1 / r^{2}$ 因子，提取出来就可以分离出只含有 $θ$ 的算符

\begin{matrix} (5) & \frac{1}{\sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial}{\partial θ}) - \frac{m^{2}}{\sin^{2} θ}, \end{matrix}

令该算符的本征函数

g_{l} (θ)

为

θ

函数空间的基底，令本征值为常数

- l (l + 1)

。

　　最后，我们剩下仅关于 $r$ 的方程，同样可以表示为本征方程

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r}) = l (l + 1) f, \end{matrix}

令

f_{l} (r)

为

r

函数空间的基底。

　　根据施图姆—刘维尔定理，三组本征基底都是正交且完备的，所以张量积空间中的基底也是正交完备的

\begin{matrix} (7) & u_{l, m} (r, θ, ϕ) = f_{l} (r) g_{l} (θ) h_{m} (ϕ) . \end{matrix}

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