偏导数(微分学)

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 导数(数学分析),偏导数(简明微积分)

1. 从导数到偏导数

   导数的几何意义是一元函数在某一点处的斜率,而我们可以将这个概念推广到多元函数.$n$ 元实函数是指从 $\mathbb{R} ^n$ 的一个子集 $U$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射:

\begin{equation} \begin{aligned} f:U\subset \mathbb{R} ^n&\rightarrow \mathbb{R}\\ (x_1,x_2,\cdots,x_n)&\mapsto f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \end{aligned} \end{equation}
我们定义 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数
\begin{equation} \lim\limits_{x'_i\rightarrow x_{i}}\frac{f(x_1,\cdots,x'_i,\cdots,x_n)-f(x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_n)}{x'_i-x_i} \end{equation}
如果该极限存在,那么函数在 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0=(x_1,\cdots,x_n)$ 处对 $x_i$ 的偏导数存在,记为
\begin{equation} \frac{\partial f(x_1,\cdots,x_n)}{\partial x_i}=\left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{(x_1,\cdots,x_n)}=f'_{x_i}(x_1,\cdots,x_n) \end{equation}

   在讨论多元函数时,我们约定用粗体字(例如 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $)来表示 $\mathbb{R}^n$ 中的一个向量.对于给定的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0=(x_1,\cdots,x_n)$,如果构造一元函数 $g(x)=f(x_1,\cdots,x_{i-1},x,x_{i+1},\cdots,x_n)$,那么根据一元函数导数的定义,容易发现

\begin{equation} \left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0}=\left.\frac{ \,\mathrm{d}{g} }{ \,\mathrm{d}{x} }\right|_{x_i} \end{equation}
因此我们可以使用一元函数的求导公式来进行偏导数的计算.固定其他 $x_j(j\neq i)$ 不动,对 $x_i$ 求导,得到的结果就是我们要求的偏导数.

   如果多元函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 在开集 $U$ 上有定义,且在 $U$ 上每一点处都有对 $x_i$ 的偏导数,那么偏导数就是一个新的 $n$ 元函数:

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x_i}: U&\rightarrow \mathbb{R}\\ \boldsymbol{\mathbf{x}} &\mapsto \frac{\partial f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )}{\partial x_i} \end{aligned} \end{equation}
因此我们可以定义二阶偏导数(如果存在的话),甚至更高阶的偏导数.例如,如果再对 $\partial f/\partial x_i$ 求对 $x_j$ 的偏导数,则可以记为
\begin{equation} \left.\frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )}{\partial x_i}\right|_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0}=\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i }\right|_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0} \end{equation}

   有时对于性质较好的函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$(例如 $f$ 是 $n$ 元连续函数),可以将它想象成欧几里德空间 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的一个曲面,曲面上的点 $(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})$ 意味着 $x_{n+1}=f(x_1,\cdots,x_n)$.那么偏导数的几何意义就是曲面在某一个方向上的斜率 $ \,\mathrm{d}{x} _{n+1}/ \,\mathrm{d}{x} _i$.$n$ 个偏导数 $\partial f/\partial x_1,\cdots,\partial f/\partial x_n$ 代表了曲面在 $n$ 个平行于坐标轴的方向上的斜率.

2. 方向导数

   偏导数的几何意义是在 $n$ 个平行于坐标轴的方向上的斜率,可以将它推广至任意方向上的斜率.从原点出发的一条射线与 $n$ 维球面 $S_n=\{(x_1,\cdots,x_n):x_1^2+\cdots+x_n^2=1\}$ 的交点可以代表一个方向,设 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =(\cos \theta_1,\cos\theta_2,\cdots,\cos\theta_n)$ 为球面上一点,那么该方向与 $x_i$ 轴的夹角为 $\theta_i$.

定义 1 方向导数

   设函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 在区域 $D$ 上有定义,$x_0\in D$,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} =(\cos \theta_1,\cdots,\cos\theta_n)$ 为某一个方向.如果极限

\begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\frac{f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _0+t \boldsymbol{\mathbf{v}} )-f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _0)}{t} \end{equation}
存在1,那么称该极限为 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$ 处沿 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的方向导数.记为
\begin{equation} \left.\frac{\partial f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )}{\partial \boldsymbol{\mathbf{v}} }\right|_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0} \end{equation}

   方向导数的几何意义明显,可以证明它不依赖于坐标系的选取.要注意的是,函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$ 处,沿 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的方向导数不一定是沿 $- \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的方向导数的相反数.以函数 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 为例,它在原点 $(0,0)$ 处沿 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =(1,0)$ 的方向导数为 $1$,沿 $- \boldsymbol{\mathbf{v}} =(-1,0)$ 的方向导数也为 $1$,两者并不互为相反数.事实上 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处并不存在偏导数,但它沿任意方向都有方向导数.

   下面我们将看到,对于连续可微函数,只要知道它的所有偏导数,就能计算出它的所有方向导数.

3. 可微性与偏导数

定义 2 多元函数的可微

   设函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 在区域 $D$ 上有定义,$ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0=(x_1,\cdots,x_n)\in D$.记 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{x}} =(\Delta x_1,\cdots,\Delta x_n)$ 为函数的自变量的全增量,且 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0+\Delta \boldsymbol{\mathbf{x}} \in D$.如果存在常数 $A_1,\cdots,A_n$(这些常数只与 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$ 有关,不与全增量有关), 满足

\begin{equation} \Delta f=f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _0+\Delta \boldsymbol{\mathbf{x}} )-f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _0)=\sum_{i=1}^n A_i \Delta x_i+o(|\Delta \boldsymbol{\mathbf{x}} |),\ |\Delta \boldsymbol{\mathbf{x}} |\rightarrow 0 \end{equation}
那么称 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$ 处可微,并称 $\sum_{i=1}^n A_i \Delta x_i$ 为 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$ 处的全微分,记为:
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} _0)=\sum_{i=0}^n A_i \,\mathrm{d}{x} _i \end{equation}
如果 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 在 $D$ 内每一个点处都可微,就称 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 为 $D$ 上的可微函数


1. ^ 注意这里 $t\rightarrow 0^+$,表示关于 $t$ 的函数的右极限,即在 $t > 0$ 的情况下趋于 $0$.


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