偏导数（数学分析）

贡献者： _Eden_

预备知识　导数（数学分析），偏导数（简明微积分）

1. 从导数到偏导数

　　导数的几何意义是一元函数在某一点处的斜率，而我们可以将这个概念推广到多元函数。 $n$ 元实函数是指从 $R^{n}$ 的一个子集 $U$ 到 $R$ 的映射：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} f : U \subset R^{n} & \to R, \\ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & \mapsto f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) . \end{aligned} \end{matrix}

我们定义

f

对

x_{i}

的偏导数为

\begin{matrix} (2) & lim_{x_{i}^{'} \to x_{i}} \frac{f (x_{1}, \dots, x_{i}^{'}, \dots, x_{n}) - f (x_{1}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n})}{x_{i}^{'} - x_{i}} . \end{matrix}

如果该极限存在，那么函数在

x_{0} = (x_{1}, \dots, x_{n})

处对

x_{i}

的偏导数存在，记为

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial f (x_{1}, \dots, x_{n})}{\partial x_{i}} = {\frac{\partial f}{\partial x_{i}} |}_{(x_{1}, \dots, x_{n})} = f_{x_{i}}^{'} (x_{1}, \dots, x_{n}) . \end{matrix}

　　在讨论多元函数时，我们约定用粗体字（例如 $x$ ）来表示 $R^{n}$ 中的一个向量。对于给定的 $x_{0} = (x_{1}, \dots, x_{n})$ ，如果构造一元函数 $g (x) = f (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, x, x_{i + 1}, \dots, x_{n})$ ，那么根据一元函数导数的定义，容易发现

\begin{matrix} (4) & {\frac{\partial f}{\partial x_{i}} |}_{x_{0}} = {\frac{d g}{d x} |}_{x_{i}}, \end{matrix}

因此我们可以使用一元函数的求导公式来进行偏导数的计算。固定其他

x_{j} (j \neq i)

不动，对

x_{i}

求导，得到的结果就是我们要求的偏导数。

　　如果多元函数 $f (x)$ 在开集 $U$ 上有定义，且在 $U$ 上每一点处都有对 $x_{i}$ 的偏导数，那么偏导数就是一个新的 $n$ 元函数：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} : U & \to R, \\ x & \mapsto \frac{\partial f (x)}{\partial x_{i}} . \end{aligned} \end{matrix}

因此我们可以定义二阶偏导数（如果存在的话），甚至更高阶的偏导数。例如，如果再对

\partial f / \partial x_{i}

求对

x_{j}

的偏导数，则可以记为

\begin{matrix} (6) & {\frac{\partial}{\partial x_{j}} \frac{\partial f (x)}{\partial x_{i}} |}_{x_{0}} = {\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}} |}_{x_{0}} . \end{matrix}

　　有时对于性质较好的函数 $f (x)$ （例如 $f$ 是 $n$ 元连续函数），可以将它想象成欧几里德空间 $R^{n + 1}$ 中的一个曲面，曲面上的点 $(x_{1}, \dots, x_{n}, x_{n + 1})$ 意味着 $x_{n + 1} = f (x_{1}, \dots, x_{n})$ 。那么偏导数的几何意义就是曲面在某一个方向上的斜率 $d x_{n + 1} / d x_{i}$ 。 $n$ 个偏导数 $\partial f / \partial x_{1}, \dots, \partial f / \partial x_{n}$ 代表了曲面在 $n$ 个平行于坐标轴的方向上的斜率。

2. 方向导数

　　偏导数的几何意义是在 $n$ 个平行于坐标轴的方向上的斜率，可以将它推广至任意方向上的斜率。从原点出发的一条射线与 $n$ 维球面 $S_{n} = {(x_{1}, \dots, x_{n}) : x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2} = 1}$ 的交点可以代表一个方向，设 $v = (\cos θ_{1}, \cos θ_{2}, \dots, \cos θ_{n})$ 为球面上一点，那么该方向与 $x_{i}$ 轴的夹角为 $θ_{i}$ 。

定义 1　方向导数

　　设函数 $f (x)$ 在区域 $D$ 上有定义， $x_{0} \in D$ ， $v = (\cos θ_{1}, \dots, \cos θ_{n})$ 为某一个方向。如果极限

\begin{matrix} (7) & lim_{t \to 0^{+}} \frac{f (x_{0} + t v) - f (x_{0})}{t} \end{matrix}

存在¹，那么称该极限为

f (x)

在

x_{0}

处沿

v

的方向导数。记为

\begin{matrix} (8) & {\frac{\partial f (x)}{\partial v} |}_{x_{0}} . \end{matrix}

　　方向导数的几何意义明显，可以证明它不依赖于坐标系的选取。要注意的是，函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处，沿 $v$ 的方向导数不一定是沿 $- v$ 的方向导数的相反数。以函数 $f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 为例，它在原点 $(0, 0)$ 处沿 $v = (1, 0)$ 的方向导数为 $1$ ，沿 $- v = (- 1, 0)$ 的方向导数也为 $1$ ，两者并不互为相反数。事实上 $f (x, y)$ 在 $(0, 0)$ 处并不存在偏导数，但它沿任意方向都有方向导数。

　　下面我们将看到，对于连续可微函数，只要知道它的所有偏导数，就能计算出它的所有方向导数。

3. 可微性与偏导数

定义 2　多元函数的可微

　　设函数 $f (x)$ 在区域 $D$ 上有定义， $x_{0} = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in D$ 。记 $Δ x = (Δ x_{1}, \dots, Δ x_{n})$ 为函数的自变量的全增量，且 $x_{0} + Δ x \in D$ 。如果存在常数 $A_{1}, \dots, A_{n}$ （这些常数只与 $x_{0}$ 有关，不与全增量有关），满足

\begin{matrix} (9) & Δ f = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = \sum_{i = 1}^{n} A_{i} Δ x_{i} + o (| Δ x |), | Δ x | \to 0 . \end{matrix}

那么称

f (x)

在

x_{0}

处可微，并称

\sum_{i = 1}^{n} A_{i} Δ x_{i}

为

f (x)

在

x_{0}

处的全微分，记为：

\begin{matrix} (10) & d f (x_{0}) = \sum_{i = 0}^{n} A_{i} d x_{i}, \end{matrix}

如果

f (x)

在

D

内每一个点处都可微，就称

f (x)

为

D

上的可微函数。

1. ^ 注意这里 $t \to 0^{+}$ ，表示关于 $t$ 的函数的右极限，即在 $t > 0$ 的情况下趋于 $0$ 。

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