凸集和凸体

                     

贡献者： 零穹

　　 [1] 凸性是向量空间理论中许多重要部分的基础概念。它不仅是直观的几何概念，也允许纯粹解析的叙述。

1. 凸集的引入

　　 设 $L$ 是一实向量空间，$x_1,x_2$ 是它的两点。那么过 $x_1,x_2$ 的直线方向与矢量 $x_2-x_1$ 平行，因此该直线可表示为

或写为 明显的，当 $k\ge 0$ 时，矢量 $k(x_2-x_1)$ 的模（长度）随 $k$ 的增大而增大。即 $\{x_1+k(x_2-x_1)|k\ge 0\}$ 是以 $x_1$ 为原点的正方向（由 $x_1$ 指向 $x_2$ 的方向）的直线部分；反之，$\{x_1+k(x_2-x_1)|k<0\}$ 是以 $x_1$ 为原点的负方向部分。明显的，$0\le k\le 1$ 时是直线 $x_1+k(x_2-x_1)$ 的 $x_1$ 到 $x_2$ 之间的部分。

　　 注意式 1 等价于式 2 ，因此可得下面的定义。

　　 也就是说，集 $E$ 的核是那些拥有包含在 $E$ 中的邻域的点的全体。

　　 证明：设 $x\in J(E)-N$，则 $x=x_0-x_1,x_0\in J(E),x_1\in N$。于是任意 $y\in L$，存在 $ϵ(y)>0$，使得 $x_0+ty\in M$ 对所有的 $\left|t\right|<ϵ$ 成立，从而对所有的这些 $t$，成立

因此 $J(E)-N\subset J(M-N)$。

　　 证毕！

　　 证明： 设 $M$ 是任意多个凸集 $M_i$ 的交，那么任意 $x_1,x_2\in M$，$x_1,x_2$ 必属于每一凸集 $M_i$。从而由凸集的定义，连接 $x_1,x_2$ 的线段都属于每一个 $M_i$，从而该线段属于它们的交 $M$。

　　 证毕！

2. 凸包

　　 任意线性空间的集，全空间是包含它的凸集，而定理 2 表明任意多个闭集的交仍是闭的，所有包含该集的凸集的交是包含该集的最小凸集。事实上，这样定义的最小凸集都包含在每一包含该集的凸集中，而其本身也是凸集。

　　 证明： 首先证明满足式 8 的点的全体 $S$ 是凸集。设 $y_1,y_2$ 满足式 8 ，且记

则 $\sum _{k=1}^{n+1}{\alpha }_k=1,\sum _{k=1}^{n+1}{\beta }_k=1$。则连接 $y_1,y_2$ 的线段是 由于 $p\sum _{k=1}^{n+1}{\alpha }_k=p,q\sum _{k=1}^{n+1}{\beta }_k=q$，则 $\sum _{k=1}^{n+1}(p{\alpha }_k+q{\beta }_k)=p+q=1$，于是 其中，$\sum _{k=1}^{n+1}(p{\alpha }_k+q{\beta }_k)=1$ 且系数 $p{\alpha }_k+q{\beta }_k\ge 0$（因为都是非负的），因此线段 $\{p{y}_1+q{y}_2|p+q=1,p,q\ge 0\}$ 满足式 8 。从而 $S$ 是凸集。

　　 其次，任一包含 $x_1,\dots ,x_{n+1}$ 的凸集应当包含形如式 8 的点。事实上，式 8 可改写为

由于 $0\le {\alpha }_k\le 1$，所以 $x$ 在方向 $x_k-x_1$ 的投影分量在连接 $x_1,x_k$ 的线段上。这正好属于以点 $x_1,\dots ,x_{n+1}$ 为顶点的单纯性，因此包含点 $x_1,\dots ,x_{n+1}$ 的凸集必然包含形如式 8 的点。

　　 因而，$S$ 是包含点 $x_1,\dots ,x_{n+1}$ 的最小凸集。

　　 证毕！

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[1] ^ $\mathrm{\Gamma }$. M. 菲赫金哥尔茨，微积分教程，第一卷（杨弢亮等译），第8版