联络（向量丛）

贡献者： DTSIo; addis; JierPeter

　　 本节采用爱因斯坦求和约定。

　　 设 $M$ 是 $n$ 维微分流形，$E$ 是其上秩为 $k$ 的光滑向量丛。

1. 定义与例子

　　 向量丛 $E$ 上的一个联络（connection）是指一个映射 $D:\mathrm{\Gamma }(E)\otimes \mathfrak{X}(M)\to \mathrm{\Gamma }(E)$， 满足如下条件：

1. 对于截面 $\xi \in \mathrm{\Gamma }(E)$ 和任何切向量场 $X$，$X\to D_X\xi$ 是 $C^{\mathrm{\infty }}(M)$-线性的，即 $$D_{f{X}_1+f{X}_2}\xi =f{D}_{X_1}\xi +g{D}_{X_2}\xi ,f,g\in C^{\mathrm{\infty }}(M).$$
2. 对于截面 $\xi \in \mathrm{\Gamma }(E)$ 和任何切向量场 $X$，$\xi \to D_X\xi$ 是实线性的，即对于实数 $c_1,c_2$ 有 $$D_X(c_1{\xi }_1+c_2{\xi }_2)=c_1{D}_X{\xi }_1+c_2{D}_X{\xi }_2.$$
3. 对于任何 $f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$，都有莱布尼兹律： $$D_X(f\xi )=X(f)\xi +f{D}_X\xi .$$

　　 直观上说，在向量丛上给定联络，就是给定一个"符合张量规律的导数运算"。

　　 如果取 $M={\mathbb{R}}^n$，$E$ 为平凡向量丛 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^k$，则截面 $\xi$ 就是通常的 $k$-维向量值函数，通常的对笛卡尔坐标的微分运算 $$D\xi =({\partial }_i{\xi }^{\alpha }{)}_{1\le i\le n}^{1\le \alpha \le k}$$ 就是一个联络。

　　 不平凡的例子在黎曼几何中多有出现。

2. 联络形式

　　 设 $D$ 是向量丛 $E$ 上的联络。设 $\{e_i{\}}_{i=1}^n,\{{\theta }^i{\}}_{i=1}^n,\{s_{\alpha }{\}}_{\alpha =1}^k$ 分别是 $TM,T^{\ast }M,\mathrm{\Gamma }(E)$ 的局部光滑标架，其中 $\{e_i\}$ 和 $\{{\theta }^i\}$ 是对偶标架。在这些局部光滑标架之下，按照联络的定义，有 $$D_X\xi =X^i\cdot [e_i({\xi }^{\alpha })s_{\alpha }+{\xi }^{\alpha }{D}_{e_i}{s}_{\alpha }].$$ 若命 $D_{e_i}{s}_{\alpha }={\mathrm{\Gamma }}_{\alpha i}^{\beta }{s}_{\beta }$，则有 $$D_X\xi =X^i\cdot [e_i({\xi }^{\alpha })+{\mathrm{\Gamma }}_{\beta i}^{\alpha }{\xi }^{\beta }]s_{\alpha }.$$ 称系数 ${\mathrm{\Gamma }}_{\beta i}^{\alpha }$ 为联络系数（coefficients of connection）或克氏符（Christoffel symbol）。于是就得到 1-形式的 $k\times k$ 矩阵 $$\omega =({\omega }_{\beta }^{\alpha })=({\mathrm{\Gamma }}_{\beta i}^{\alpha }{\theta }^i).$$ 它们称为联络 $D$ 在局部的联络 1-形式矩阵（matrix of connection 1-forms）。从而可写 $$D\xi =(d{\xi }^{\beta }+{\omega }_{\alpha }^{\beta }{\xi }^{\alpha })\otimes s_{\beta }.$$

　　 注意，克氏符和联络 1-形式都只能局部定义。若 $\{s_{\beta }^{\prime }\}$ 是 $E$ 的另一个局部标架，同 $\{s_{\alpha }\}$ 之间的转换公式为 $s_{\beta }=b_{\beta }^{\alpha }{s}_{\alpha }$，则 $$b_{\alpha }^{\gamma }{{\omega }^{\prime }}_{\beta }^{\alpha }\otimes s_{\gamma }={{\omega }^{\prime }}_{\beta }^{\alpha }{s}_{\alpha }^{\prime }=D{s}_{\beta }^{\prime }=(d{b}_{\beta }^{\gamma }+b_{\beta }^{\alpha }{\omega }_{\alpha }^{\gamma })\otimes s_{\gamma }.$$ 从而新标架下的联络 1-形式矩阵 ${\omega }^{\prime }$ 同原标架下的 $\omega$ 之间的转换关系是

　　 在 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^k$ 上，笛卡尔坐标系下的微分 $$D\xi =({\partial }_i{\xi }^{\alpha }{)}_{1\le i\le n}^{1\le \alpha \le k}.$$ 在经过坐标变换之后也要改变形式。这就是联络形式定义的最初来源。

3. 存在定理

　　 由转换公式式 1 此可得联络的存在定理，或者说，只要给出了满足转换公式式 1 的 1-形式矩阵，就等于给出了联络：

　　 还可以适当选取 $E$ 的标架，使得联络 1-形式矩阵在指定的点处有简单的形式：

　　 证明大意 先取一个 $E$ 的标架 $\{s_{\alpha }\}$，并设 $${\omega }_{\alpha }^{\beta }={\mathrm{\Gamma }}_{\alpha i}^{\beta }d{x}^i.$$ 命 $\{x^i\}$ 为 $p$ 附近的坐标系，使得 $x^i(p)=0$。则命 $$b_{\alpha }^{\beta }={\delta }_{\alpha }^{\beta }-{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha i}^{\beta }{x}^i,$$ 并定义 $E$ 的新的局部标架 $s_{\alpha }^{\prime }=b_{\alpha }^{\beta }{s}_{\beta }$。则从 $db(p)=-\omega (p)$ 和转换公式式 1 就得到新标架下 ${\omega }^{\prime }(p)=0$。

　　 注意，这不表示可以取到局部标架使得联络 1-形式矩阵在 $p$ 的邻域内都等于零。某个局部标架下的联络系数局部为零是非常特殊的性质。详见平行性（向量丛）。

4. 对偶联络; 联络的和与积

　　 $E$ 上的联络 $D$ 自然诱导出对偶丛 $E^{\ast }$ 上的联络 $D^{\ast }$：如果 $\xi \in \mathrm{\Gamma }(E),{\eta }^{\ast }\in \mathrm{\Gamma }(E^{\ast })$，则 $$d⟨{\eta }^{\ast },\xi ⟩=⟨D^{\ast }{\eta }^{\ast },\xi ⟩+⟨{\eta }^{\ast },D\xi ⟩.$$ 如果 $\{s_{\alpha }\}$ 是 $E$ 的局部标架而 $\{s^{\ast \gamma }\}$ 是对偶标架，那么 $D^{\ast }$ 的联络 1-形式矩阵在此标架下为 $${\omega }_{\alpha }^{\ast \beta }=⟨D^{\ast }{s}^{\ast \beta },s_{\alpha }⟩=-⟨s^{\ast \beta },D{s}_{\alpha }⟩=-{\omega }_{\alpha }^{\beta },$$ 或者可简写为 $D^{\ast }{s}^{\ast \beta }=-{\omega }_{\alpha }^{\beta }{s}^{\ast \alpha }$。若截面 ${\eta }^{\ast }\in \mathrm{\Gamma }(E^{\ast })$ 有局部表达式 ${\eta }^{\ast }={\eta }_{\beta }{s}^{\ast \beta }$，则 $$D^{\ast }{\eta }^{\ast }=(d{\eta }_{\beta }-{\omega }_{\beta }^{\alpha }{\eta }_{\alpha })\otimes s^{\ast \beta }.$$

　　 如果 $D_1,D_2$ 分别是向量丛 $E_1,E_2$ 上的联络，则在直和 $E_1\oplus E_2$ 和张量积 $E_1\otimes E_2$ 上的和与积分别为 $$D({\xi }_1\oplus {\xi }_2)=D{\xi }_1\oplus D{\xi }_2,D({\xi }_1\otimes {\xi }_2)=D{\xi }_1\otimes {\xi }_2+{\xi }_1\otimes D{\xi }_2.$$