联络(向量丛)

             

预备知识 向量丛

   本节采用爱因斯坦求和约定.

   设 $M$ 是 $n$ 维微分流形,$E$ 是其上秩为 $k$ 的光滑向量丛.

1. 定义与例子

   向量丛 $E$ 上的一个联络(connection)是指一个映射 $D:\Gamma(E)\otimes \mathfrak{X}(M)\to\Gamma(E)$, 满足如下条件:

  1. 对于截面 $\xi\in\Gamma(E)$ 和任何切向量场 $X$,$X\to D_X\xi$ 是 $C^\infty(M)$-线性的,即 $$ D_{fX_1+fX_2}\xi=fD_{X_1}\xi+gD_{X_2}\xi,\,f,g\in C^\infty(M). $$
  2. 对于截面 $\xi\in\Gamma(E)$ 和任何切向量场 $X$,$\xi\to D_X\xi$ 是实线性的,即对于实数 $c_1,c_2$ 有 $$ D_X(c_1\xi_1+c_2\xi_2)=c_1D_X\xi_1+c_2D_X\xi_2. $$
  3. 对于任何 $f\in C^\infty(M)$,都有莱布尼兹律: $$ D_X(f\xi)=X(f)\xi+fD_X\xi. $$

   直观上说,在向量丛上给定联络,就是给定一个"符合张量规律的导数运算".

   如果取 $M=\mathbb{R}^n$,$E$ 为平凡向量丛 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^k$,则截面 $\xi$ 就是通常的 $k$-维向量值函数,通常的对笛卡尔坐标的微分运算 $$ D\xi=(\partial_i\xi^\alpha)_{1\leq i\leq n}^{1\leq\alpha\leq k} $$ 就是一个联络.

   不平凡的例子在黎曼几何中多有出现.

2. 联络形式

   设 $D$ 是向量丛 $E$ 上的联络.设 $\{e_i\}_{i=1}^n,\{\theta^i\}_{i=1}^n,\{s_\alpha\}_{\alpha=1}^k$ 分别是 $TM,T^*M,\Gamma(E)$ 的局部光滑标架,其中 $\{e_i\}$ 和 $\{\theta^i\}$ 是对偶标架.在这些局部光滑标架之下,按照联络的定义,有 $$ D_X\xi=X^i\cdot\left[e_i(\xi^\alpha)s_\alpha+\xi^\alpha D_{e_i}s_\alpha\right]. $$ 若命 $D_{e_i}s_\alpha=\Gamma_{\alpha i}^\beta s_\beta$,则有 $$ D_X\xi=X^i\cdot\left[e_i(\xi^\alpha)+\Gamma_{\beta i}^\alpha\xi^\beta \right]s_\alpha. $$ 称系数 $\Gamma^\alpha_{\beta i}$ 为联络系数(coefficients of connection)或克氏符(Christoffel symbol).于是就得到 1-形式的 $k\times k$ 矩阵 $$ \omega=(\omega_\beta^\alpha)=(\Gamma_{\beta i}^\alpha\theta^i). $$ 它们称为联络 $D$ 在局部的联络 1-形式矩阵(matrix of connection 1-forms).从而可写 $$ D\xi=(d\xi^\beta+\omega_\alpha^\beta\xi^\alpha)\otimes s_\beta. $$

   注意,克氏符和联络 1-形式都只能局部定义.若 $\{s'_\beta\}$ 是 $E$ 的另一个局部标架,同 $\{s_\alpha\}$ 之间的转换公式为 $s_\beta=b_\beta^\alpha s_\alpha$,则 $$ b_\alpha^\gamma{\omega'}_{\beta}^{\alpha}\otimes s_\gamma={\omega'}_{\beta}^{\alpha}s'_\alpha=Ds'_\beta=(db_\beta^\gamma+b_\beta^\alpha\omega_\alpha^\gamma)\otimes s_\gamma. $$ 从而新标架下的联络 1-形式矩阵 $\omega'$ 同原标架下的 $\omega$ 之间的转换关系是

\begin{equation} \omega'=db\cdot b^{-1}+b\cdot\omega\cdot b^{-1}. \end{equation}
这是联络 1-形式在向量丛的局部标架变换下的转换公式,由此可见联络 1-形式矩阵的定义依赖标架的选取,从而并非全局定义的张量场.

   在 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^k$ 上,笛卡尔坐标系下的微分 $$ D\xi=(\partial_i\xi^\alpha)_{1\leq i\leq n}^{1\leq\alpha\leq k} $$ 在经过坐标变换之后也要改变形式.这就是联络形式定义的最初来源.

3. 存在定理

   由转换公式式 1 此可得联络的存在定理,或者说,只要给出了满足转换公式式 1 的 1-形式矩阵,就等于给出了联络:

定理 1 

   设 $\mathfrak{U}$ 是流形 $M$ 的开覆盖,使得在每一个开集 $U\in\mathfrak{U}$ 上都给定了切丛的局部标架 $\{e^U_i\}$,$E$ 的局部标架 $\{s^U_\alpha\}$ 以及 1-形式的 $k\times k$ 方阵 $\omega^U$.若对于任意两个相交的 $U,V\in\mathfrak{U}$,在 $U\cap V$ 总成立 $$ \omega^V=db^V_U\cdot \{b_V^U\}^{-1}+b^V_U\cdot\omega^U\cdot \{b^V_U\}^{-1}, $$ 其中 $b^V_U$ 是从 $\{s^U_\alpha\}$ 到 $\{s^V_\alpha\}$ 的转换矩阵,则存在唯一一个 $E$ 上的联络,使得其在局部标架 $\{s^U_\alpha\}$ 之下的联络 1-形式矩阵是 $\{\omega^U\}$.

   还可以适当选取 $E$ 的标架,使得联络 1-形式矩阵在指定的点处有简单的形式:

定理 2 

   给定任何一点 $p\in M$ 以及一个 $E$ 上的联络 $D$,都存在 $E$ 在 $p$ 附近的局部标架,使得这标架下的联络 1-形式矩阵 $\omega(p)=0$.

   证明大意 先取一个 $E$ 的标架 $\{s_\alpha\}$,并设 $$ \omega^\beta_\alpha=\Gamma_{\alpha i}^\beta dx^i. $$ 命 $\{x^i\}$ 为 $p$ 附近的坐标系,使得 $x^i(p)=0$.则命 $$ b_\alpha^\beta=\delta_\alpha^\beta-\Gamma_{\alpha i}^\beta x^i, $$ 并定义 $E$ 的新的局部标架 $s'_\alpha=b_\alpha^\beta s_\beta$.则从 $db(p)=-\omega(p)$ 和转换公式式 1 就得到新标架下 $\omega'(p)=0$.

   注意,这不表示可以取到局部标架使得联络 1-形式矩阵在 $p$ 的邻域内都等于零.某个局部标架下的联络系数局部为零是非常特殊的性质.详见平行性(向量丛)

4. 对偶联络; 联络的和与积

   $E$ 上的联络 $D$ 自然诱导出对偶丛 $E^*$ 上的联络 $D^*$:如果 $\xi\in\Gamma(E),\eta^*\in\Gamma(E^*)$,则 $$ d\langle \eta^*,\xi\rangle=\langle D^*\eta^*,\xi\rangle+\langle \eta^*,D\xi\rangle. $$ 如果 $\{s_\alpha\}$ 是 $E$ 的局部标架而 $\{s^{*\gamma}\}$ 是对偶标架,那么 $D^*$ 的联络 1-形式矩阵在此标架下为 $$ \omega^{*\beta}_\alpha =\langle D^*s^{*\beta},s_\alpha\rangle =-\langle s^{*\beta},Ds_\alpha\rangle =-\omega^\beta_\alpha, $$ 或者可简写为 $D^*s^{*\beta}=-\omega^\beta_\alpha s^{*\alpha}$.若截面 $\eta^*\in\Gamma(E^*)$ 有局部表达式 $\eta^*=\eta_\beta s^{*\beta}$,则 $$ D^*\eta^*=(d\eta_\beta-\omega_\beta^\alpha\eta_\alpha)\otimes s^{*\beta}. $$

   如果 $D_1,D_2$ 分别是向量丛 $E_1,E_2$ 上的联络,则在直和 $E_1\oplus E_2$ 和张量积 $E_1\otimes E_2$ 上的和与积分别为 $$ D(\xi_1\oplus \xi_2)=D\xi_1\oplus D\xi_2, \, D(\xi_1\otimes \xi_2)=D\xi_1\otimes \xi_2+\xi_1\otimes D\xi_2. $$

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

广告位

投放详情

         

© 小时科技 保留一切权利