庞加莱半平面（微分几何计算实例）

贡献者： JierPeter; addis

　　庞加莱半平面是历史上非常重要的一个模型。众所周知，欧几里得几何学中有五条公理，其中第五条 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直” 非常冗长而且绕口，因此历史上一直有不少数学家致力于通过其它四条来推出第五条，也就是将第五公理变成一个定理。在 GTM 275 [1] 中将这种尝试评价为 “英雄式” 的（heroic）。这是出于早期数学家们的一种朴素的直觉，即几何就应该是欧几里得空间那样子的，所以第五公理必须成立，哪怕只是作为定理。后来的人们逐渐意识到第五公理并不能被前四条所证明，并逐渐发展出了符合前四条但违反第五条的几何学，也就是所谓的非欧几何学。庞加莱半平面就是一个典型的例子，在本节的测地线小节我们会简单讨论这一点。

　　本节的主要目的是以庞加莱半平面为例，演示如何进行具体的计算。

1. 庞加莱半平面的定义

定义 1　庞加莱半平面

　　设 $H^{2} = {(x, y) \in R^{2} | y > 0}$ ，即二维实平面的上半平面（不包含 $x$ 轴）。在 $H^{2}$ 上定义黎曼度量 $⟨ *, * ⟩$ 为，对于任意点 $(x, y) \in H^{2}$ 处的切向量 $(a_{i}, b_{i}) \in T_{(x, y)} H^{2}$ ，有

\begin{matrix} (1) & ⟨ (a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2}) ⟩ = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}}{y^{2}}, \end{matrix}

则

H^{2}

配合该度量所得到的黎曼流形称为庞加莱半平面（Poincaré half-plane）。

　　对于庞加莱半平面度量的描述，更简洁的表达是： $\frac{d x \otimes d x + d y \otimes d y}{y^{2}}$ 。这里的 $d x$ 是指 $H^{2}$ 上的函数 $f (x, y) = x$ 的微分 $d f$ ，同样地 $d y$ 是 $g (x, y) = y$ 的微分 $d g$ ，它们都是 $H^{2}$ 上的 $1$ -形式，而 $\otimes$ 是它们的张量积。

　　如果用通常的 $(x, y) \in R^{2}$ 作为坐标来描述 $H^{2}$ ，那么在 $R^{2}$ 中的两个点，在保持 $x$ 坐标不变时同步向 $y$ 的正方向移动，那么它们的距离会缩短，并在 $y$ 坐标趋于正无穷时距离趋于零。反过来，如果两个点的 $y$ 坐标始终相同， $x$ 坐标不变，那么它们同步趋近于 $x$ 轴时，彼此距离会趋近于正无穷。

2. 联络形式

预备知识 1　联络形式与结构定理

　　本小节先计算 $H^{2}$ 上的一个黎曼联络形式。

　　由反对称定理定理 3 ，计算联络形式时选标准正交基来进行计算最为方便，因为 $H^{2}$ 是二维的，标准正交基下的联络形式矩阵是一个反对称的 $2$ 阶方阵，也就是说可以被一个分量唯一确定。

　　第一步，选择标准正交基：

\begin{matrix} (2) & \begin{array}{r} {\hat{e}}_{1} = y \frac{\partial}{\partial x} \\ {\hat{e}}_{2} = y \frac{\partial}{\partial y} . \end{array} \end{matrix}

　　第二步，计算对偶基：

　　由于 $d x \cdot \frac{\partial}{\partial x} = d y \cdot \frac{\partial}{\partial y} = 1$ ， $d x \cdot \frac{\partial}{\partial y} = d y \cdot \frac{\partial}{\partial x} = 0$ ，我们可以得到对应的对偶基：

\begin{matrix} (3) & \begin{array}{r} θ^{1} = \frac{1}{y} d x \\ θ^{2} = \frac{1}{y} d y . \end{array} \end{matrix}

　　因此我们可以计算出¹：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} d θ^{1} & = - \frac{1}{y^{2}} d y \land d x = \frac{1}{y^{2}} d x \land d y \\ d θ^{2} & = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

　　第三步，设挠率为 $0$ ，应用结构定理（定理 4 ）和反对称定理（定理 3 ）得：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} d θ^{1} = - ω_{2}^{1} \land θ^{2} \\ d θ^{2} = - ω_{1}^{2} \land θ^{1} = ω_{2}^{1} \land θ^{1}, \end{aligned} \end{matrix}

　　最后，联立式 3 、式 4 和式 5 ，得到：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} - ω_{2}^{1} \land θ^{2} & = θ^{1} \land θ^{2} \\ ω_{2}^{1} \land θ^{1} & = 0, \end{aligned} \end{matrix}

　　因此易得 $ω_{2}^{1} = - θ^{1} = - \frac{1}{y} d x$ 。

　　因此联络形式矩阵为

\begin{matrix} (7) & (\begin{matrix} 0 & - \frac{1}{y} d x \\ \frac{1}{y} d x & 0 \end{matrix}) . \end{matrix}

3. 高斯曲率

预备知识 2　高斯绝妙定理

　　由高斯绝妙定理，如果要计算 $H^{2}$ 的高斯曲率，我们就要去计算某个基下的曲率形式 $Ω_{j}^{i}$ ，从而有 $K = Ω_{2}^{1} ({\hat{e}}_{1}, {\hat{e}}_{2})$ 。

　　由上一小节计算出来的联络形式，结合结构定理定理 4 ，注意 $ω_{1}^{1} = ω_{2}^{2} = 0$ ，我们有：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} Ω_{2}^{1} & = d ω_{2}^{1} + ω_{k}^{1} \land ω_{2}^{k} \\ = d (- \frac{1}{y} d x) + ω_{1}^{1} \land ω_{2}^{1} + ω_{2}^{1} \land ω_{2}^{2} \\ = \frac{1}{y^{2}} d y \land d x \\ = - \frac{1}{y^{2}} d x \land d y, \end{aligned} \end{matrix}

　　于是

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} K & = Ω_{2}^{1} (y \frac{\partial}{\partial x}, y \frac{\partial}{\partial y}) \\ = - \frac{1}{y^{2}} d x \land d y (y \frac{\partial}{\partial x}, y \frac{\partial}{\partial y}) \\ = - d x \land d y (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) \\ = - (d x \cdot \frac{\partial}{\partial x}) (d y \cdot \frac{\partial}{\partial y}) + (d y \cdot \frac{\partial}{\partial x}) (d x \cdot \frac{\partial}{\partial y}) \\ = - 1 + 0 \\ = - 1, \end{aligned} \end{matrix}

　　因此庞加莱半平面的高斯曲率处处为 $- 1$ ，是典型的罗巴切夫斯基几何。

4. Christoffel 符号

预备知识 3　Christoffel 符号

　　我们计算 $H^{2}$ 在通常的 $(x, y) \in R^{2}$ 坐标下的 Christoffel 符号。为方便计，将导子 $\frac{\partial}{\partial_{a}}$ 简记为 $\partial_{a}$ 。注意对于任何只依赖于 $y$ 的函数 $f (y)$ ，有 ${\hat{e}}_{1} f (y) = y \frac{\partial}{\partial x} f (y) = 0$ ，因此 $\nabla_{{\hat{e}}_{1}} f (y) X = f (y) \nabla_{{\hat{e}}_{1}} X$ 。

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \nabla_{\partial_{x}} \partial_{x} & = \nabla_{\frac{1}{y} {\hat{e}}_{1}} \frac{1}{y} {\hat{e}}_{1} \\ = \frac{1}{y^{2}} \nabla_{{\hat{e}}_{1}} {\hat{e}}_{1} \\ = \frac{1}{y^{2}} ω_{1}^{k} ({\hat{e}}_{1}) {\hat{e}}_{k} \\ = \frac{1}{y^{2}} ω_{1}^{2} ({\hat{e}}_{1}) {\hat{e}}_{2} \\ = \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{y} d x \cdot y \partial_{x}) {\hat{e}}_{2} \\ = \frac{1}{y^{2}} {\hat{e}}_{2} \\ = \frac{1}{y} \partial_{y} . \end{aligned} \end{matrix}

　　类似地，可以计算出

\begin{matrix} (11) & \nabla_{\partial_{x}} \partial_{y} = - \frac{1}{y} \partial_{x}, \end{matrix}

和

\begin{matrix} (12) & \nabla_{\partial_{y}} \partial_{y} = - \frac{1}{y} \partial_{y} . \end{matrix}

　　注意，在计算式 12 的时候会多出一项 $\frac{1}{y} ({\hat{e}}_{2} \frac{1}{y}) {\hat{e}}_{2}$ ，这是因为 ${\hat{e}}_{2} \frac{1}{y}$ 不为零，因此不能像式 10 一样直接略去。

　　最后，由于我们假设挠率为零，故有 $Γ_{i j}^{k} = Γ_{j i}^{k}$ ，因此无需重复计算 $\nabla_{\partial_{y}} \partial_{x}$ 。

　　由 Christoffel 符号的定义， $\nabla_{\partial_{i}} \partial_{j} = Γ_{i j}^{k} \partial_{k}$ ，就得到了 Christoffel 符号的每一个分量，列举如图 1 中的表格：

图 1：庞加莱半平面在通常的

R^{2}

坐标系中的 Christoffel 符号

5. 测地线

预备知识 4　测地线

　　有了 Christoffel 符号，我们就可以列出测地线方程了。

　　根据式 3 ，誊抄如下：

\begin{matrix} (13) & {\ddot{y}}^{k} + {\dot{y}}^{i} {\dot{y}}^{j} Γ_{j i}^{k} = 0 . \end{matrix}

改用我们在庞加莱半平面上使用的坐标，式 13 化为

\begin{matrix} (14) & {\begin{array}{r} \ddot{x} + 2 \dot{x} \dot{y} Γ_{12}^{1} = 0 \\ \ddot{y} + {\dot{x}}^{2} Γ_{11}^{2} + {\dot{y}}^{2} Γ_{22}^{2} = 0 \end{array} . \end{matrix}

　　将图 1 代入式 14 ，得到：

\begin{matrix} (15) & {\begin{array}{r} \ddot{x} - 2 \dot{x} \dot{y} \frac{1}{y} = 0 \\ \ddot{y} + \frac{1}{y} {\dot{x}}^{2} - \frac{1}{y} {\dot{y}}^{2} = 0 \end{array} . \end{matrix}

　　式 15 的第二式较为难解，为了简化解答，将其用测地线的另一个性质，匀速性（定理 1 ），来代替：

\begin{matrix} (16) & \frac{{\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}}{y^{2}} = 1 . \end{matrix}

注意，这里我们设定测地线的速度总是

1

，这是因为任意非零测地线都可以重新参数化，将速度变成

1

。

　　式 16 没有提供超出式 15 的信息，但是它可以简化解答。

$\dot{x}$ 不恒为零的情况

　　当 $\dot{x} \neq 0$ 时，我们可以用它去除以式 15 中第一条，以完成变量分离：

\begin{matrix} (17) & \frac{\ddot{x}}{\dot{x}} = \frac{2 \dot{y}}{y} . \end{matrix}

　　从式 17 容易解得

\begin{matrix} (18) & \dot{x} = K y^{2}, \end{matrix}

其中

K

为一常数。

　　将式 18 代回式 16 ，得到

\begin{matrix} (19) & {\dot{y}}^{2} = y^{2} - K^{2} y^{4} . \end{matrix}

　　考虑到 $\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{d y}{d x}$ ，用式 19 除以式 18 的平方，得：

\begin{matrix} (20) & \frac{d y}{d x} = \pm \frac{\sqrt{1 - K^{2} y^{2}}}{K y} . \end{matrix}

　　对式 20 变量分离后积分即得解：

\begin{matrix} (21) & x = \mp \frac{\sqrt{1 - K^{2} y^{2}}}{K} + C, \end{matrix}

其中

C

也是常数。

　　式 21 也可以换种写法，即

\begin{matrix} (22) & (x - C)^{2} + (y)^{2} = \frac{1}{K^{2}} . \end{matrix}

这是圆的方程，圆心都在

x

轴上。

　　因此，当 $\dot{x}$ 不恒为零时候，庞加莱半平面上的测地线是以 $x$ 轴上的点为圆心的半圆。

　　我们可以从给定起点画垂直于初始方向的直线，其交点即为对应测地线的圆心。

$\dot{x}$ 恒为零的情况

　　此时我们只有一个有效的方程，即式 15 的第二式，现在化为：

\begin{matrix} (23) & \ddot{y} = \frac{{\dot{y}}^{2}}{y} . \end{matrix}

　　但我们根本不需要解这个方程。因为 $\dot{x}$ 恒为零时，测地线在所给坐标系中就是一条平行于 $y$ 轴的直线，为保证其速度恒为 $1$ ，只需要 ${\dot{y}}^{2} / y^{2} = 1$ 即可。

　　另外，对于 $\dot{x}$ 不恒为零的情况，当半径越来越大时，圆形测地线轨迹就越来越接近一条竖直的直线。所以竖直直线解也可以看成圆形解的极限。

1. ^ 注意外微分的幂零性，即 $d^{2} = 0$ 。

[1] ^ Loring W. Tu. Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes, GTM 275, Springer press.

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