庞加莱半平面(微分几何计算实例)

                     

贡献者: JierPeter

   庞加莱半平面是历史上非常重要的一个模型.众所周知,欧几里得几何学中有五条公理,其中第五条 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直” 非常冗长而且绕口,因此历史上一直有不少数学家致力于通过其它四条来推出第五条,也就是将第五公理变成一个定理.在 GTM 275 [9] 中将这种尝试评价为 “英雄式” 的(heroic).这是出于早期数学家们的一种朴素的直觉,即几何就应该是欧几里得空间那样子的,所以第五公理必须成立,哪怕只是作为定理.后来的人们逐渐意识到第五公理并不能被前四条所证明,并逐渐发展出了符合前四条但违反第五条的几何学,也就是所谓的非欧几何学.庞加莱半平面就是一个典型的例子,在本节的测地线小节我们会简单讨论这一点.

   本节的主要目的是以庞加莱半平面为例,演示如何进行具体的计算.

1. 庞加莱半平面的定义

定义 1 庞加莱半平面

   设 $\mathbb{H}^2=\{(x, y)\in \mathbb{R}^2|y > 0\}$,即二维实平面的上半平面(不包含 $x$ 轴).在 $\mathbb{H}^2$ 上定义黎曼度量$ < *,* > $ 为,对于任意点 $(x, y)\in \mathbb{H}^2$ 处的切向量$(a_i, b_i)\in T_{(x, y)}\mathbb{H}^2$,有

\begin{equation} < (a_1, b_1), (a_2, b_2) > =\frac{a_1a_2+b_1b_2}{y^2} \end{equation}
则 $\mathbb{H}^2$ 配合该度量所得到的黎曼流形称为庞加莱半平面(Poincaré half-plane)

   对于庞加莱半平面度量的描述,更简洁的表达是:$\frac{ \,\mathrm{d}{x} \otimes \,\mathrm{d}{x} + \,\mathrm{d}{x} \otimes \,\mathrm{d}{x} }{y^2}$.这里的 $ \,\mathrm{d}{x} $ 是指 $\mathbb{H}^2$ 上的函数 $f(x, y)=x$ 的微分 $ \,\mathrm{d}{f} $,同样地 $ \,\mathrm{d}{y} $ 是 $g(x, y)=y$ 的微分 $ \,\mathrm{d}{g} $,它们都是 $\mathbb{H}^2$ 上的 $1$-形式,而 $\otimes$ 是它们的张量积.

   如果用通常的 $(x, y)\in \mathbb{R}^2$ 作为坐标来描述 $\mathbb{H}^2$,那么在 $\mathbb{R}^2$ 中的两个点,在保持 $x$ 坐标不变时同步向 $y$ 的正方向移动,那么它们的距离会缩短,并在 $y$ 坐标趋于正无穷时距离趋于零.反过来,如果两个点的 $y$ 坐标始终相同,$x$ 坐标不变,那么它们同步趋近于 $x$ 轴时,彼此距离会趋近于正无穷.

2. 联络形式

预备知识 联络形式与结构定理

   本小节先计算 $\mathbb{H}^2$ 上的一个黎曼联络形式.

   由反对称定理定理 3 ,计算联络形式时选标准正交基来进行计算最为方便,因为 $\mathbb{H}^2$ 是二维的,标准正交基下的联络形式矩阵是一个反对称的 $2$ 阶方阵,也就是说可以被一个分量唯一确定.

   第一步,选择标准正交基:

\begin{equation} \begin{aligned} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1=y\frac{\partial}{\partial x}\\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2=y\frac{\partial}{\partial y} \end{aligned} \end{equation}

   第二步,计算对偶基:

   由于 $ \,\mathrm{d}{x} \cdot \frac{\partial }{\partial x}= \,\mathrm{d}{y} \cdot \frac{\partial}{\partial y}=1$,$ \,\mathrm{d}{x} \cdot \frac{\partial }{\partial y}= \,\mathrm{d}{y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}=0$,我们可以得到对应的对偶基:

\begin{equation} \begin{aligned} \theta^1=\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{x} \\ \theta^2=\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{y} \end{aligned} \end{equation}

   因此我们可以计算出1

\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{\theta} ^1&=-\frac{1}{y^2} \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{x} =\frac{1}{y^2} \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \\ \,\mathrm{d}{\theta} ^2&=0 \end{aligned} \end{equation}

   第三步,设挠率为 $0$,应用结构定理定理 4 )和反对称定理定理 3 )得:

\begin{equation} \begin{aligned} & \,\mathrm{d}{\theta} ^1=-\omega^1_2\wedge\theta^2\\ & \,\mathrm{d}{\theta} ^2=-\omega^2_1\wedge\theta^1=\omega^1_2\wedge\theta^1 \end{aligned} \end{equation}

   最后,联立式 3 式 4 式 5 ,得到:

\begin{equation} \begin{aligned} -\omega^1_2\wedge\theta^2&=\theta^1\wedge\theta^2\\ \omega^1_2\wedge\theta^1&=0 \end{aligned} \end{equation}

   因此易得 $\omega^1_2=-\theta^1=-\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{x} $.

   因此联络形式矩阵为

\begin{equation} \begin{pmatrix} 0&-\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{x} \\ \frac{1}{y} \,\mathrm{d}{x} &0 \end{pmatrix} \end{equation}

3. 高斯曲率

预备知识 高斯绝妙定理

   由高斯绝妙定理,如果要计算 $\mathbb{H}^2$ 的高斯曲率,我们就要去计算某个基下的曲率形式 $\Omega^i_j$,从而有 $K=\Omega^1_2( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2)$.

   由上一小节计算出来的联络形式,结合结构定理定理 4 ,注意 $\omega^1_1=\omega^2_2=0$,我们有:

\begin{equation} \begin{aligned} \Omega^1_2&= \,\mathrm{d}{\omega} ^1_2+\omega^1_k\wedge\omega^k_2\\ &= \,\mathrm{d}\left(-\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{x} \right) +\omega^1_1\wedge\omega^1_2+\omega^1_2\wedge\omega^2_2\\ &=\frac{1}{y^2} \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{x} \\ &=-\frac{1}{y^2} \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \end{aligned} \end{equation}

   于是

\begin{equation} \begin{aligned} K&=\Omega^1_2(y\frac{\partial}{\partial x}, y\frac{\partial}{\partial y})\\ &=-\frac{1}{y^2} \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} (y\frac{\partial}{\partial x}, y\frac{\partial}{\partial y})\\ &=- \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})\\ &=-( \,\mathrm{d}{x} \cdot \frac{\partial}{\partial x})( \,\mathrm{d}{y} \cdot \frac{\partial}{\partial y})+( \,\mathrm{d}{y} \cdot \frac{\partial}{\partial x})( \,\mathrm{d}{x} \cdot \frac{\partial}{\partial y})\\ &=-1+0\\ &=-1 \end{aligned} \end{equation}

   因此庞加莱半平面的高斯曲率处处为 $-1$,是典型的罗巴切夫斯基几何.

4. Christoffel 符号

预备知识 Christoffel 符号

   我们计算 $\mathbb{H}^2$ 在通常的 $(x, y)\in\mathbb{R}^2$ 坐标下的 Christoffel 符号.为方便计,将导子 $\frac{\partial}{\partial_a}$ 简记为 $\partial_a$.注意对于任何只依赖于 $y$ 的函数 $f(y)$,有 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1f(y)=y\frac{\partial}{\partial x}f(y)=0$,因此 $\nabla_{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1}f(y)X=f(y)\nabla_{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1}X$.

\begin{equation} \begin{aligned} \nabla_{\partial_x}\partial_x&=\nabla_{\frac{1}{y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1}\frac{1}{y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1\\ &=\frac{1}{y^2}\nabla_{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1\\ &=\frac{1}{y^2}\omega^k_1( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _k\\ &=\frac{1}{y^2}\omega^2_1( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2\\ &=\frac{1}{y^2}(\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{x} \cdot y\partial_x) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2\\ &=\frac{1}{y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2\\ &=\frac{1}{y}\partial_y \end{aligned} \end{equation}

   类似地,可以计算出

\begin{equation} \nabla_{\partial_x}\partial_y=-\frac{1}{y}\partial_x \end{equation}
\begin{equation} \nabla_{\partial_y}\partial_y=-\frac{1}{y}\partial_y \end{equation}

   注意,在计算式 12 的时候会多出一项 $\frac{1}{y}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2\frac{1}{y}) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2$,这是因为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2\frac{1}{y}$ 不为零,因此不能像式 10 一样直接略去.

   最后,由于我们假设挠率为零,故有 $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$,因此无需重复计算 $\nabla_{\partial_y}\partial_x$.

   由 Christoffel 符号的定义,$\nabla_{\partial_i}\partial_j=\Gamma^k_{ij}\partial_k$,就得到了 Christoffel 符号的每一个分量,列举如图 1 中的表格:

图
图 1:庞加莱半平面在通常的 $\mathbb{R}^2$ 坐标系中的 Christoffel 符号

5. 测地线

预备知识 测地线

   有了 Christoffel 符号,我们就可以列出测地线方程了.

   根据式 3 ,誊抄如下:

\begin{equation} \ddot{y}^k+\dot{y}^i\dot{y}^j\Gamma^k_{ji}=0 \end{equation}
改用我们在庞加莱半平面上使用的坐标,式 13 化为
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \ddot{x}+2\dot{x}\dot{y}\Gamma^{1}_{12}=0\\ \ddot{y}+\dot{x}^2\Gamma^{2}_{11}+\dot{y}^2\Gamma^{2}_{22}=0 \end{aligned}\right. \end{equation}

   将图 1 代入式 14 ,得到:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \ddot{x}-2\dot{x}\dot{y}\frac{1}{y}=0\\ \ddot{y}+\frac{1}{y}\dot{x}^2-\frac{1}{y}\dot{y}^2=0 \end{aligned}\right. \end{equation}

   式 15 的第二式较为难解,为了简化解答,将其用测地线的另一个性质,匀速性(定理 1 ),来代替:

\begin{equation} \frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{y^2}=1 \end{equation}
注意,这里我们设定测地线的速度总是 $1$,这是因为任意非零测地线都可以重新参数化,将速度变成 $1$.

   式 16 没有提供超出式 15 的信息,但是它可以简化解答.

$\dot{x}$ 不恒为零的情况

   当 $\dot{x}\ne 0$ 时,我们可以用它去除以式 15 中第一条,以完成变量分离:

\begin{equation} \frac{\ddot{x}}{\dot{x}}=\frac{2\dot{y}}{y} \end{equation}

   从式 17 容易解得

\begin{equation} \dot{x}=Ky^2 \end{equation}
其中 $K$ 为一常数.

   将式 18 代回式 16 ,得到

\begin{equation} \dot{y}^2=y^2-K^2y^4 \end{equation}

   考虑到 $\frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$,用式 19 除以式 18 的平方,得:

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\pm\frac{\sqrt{1-K^2y^2}}{Ky} \end{equation}

   对式 20 变量分离后积分即得解:

\begin{equation} x=\mp\frac{\sqrt{1-K^2y^2}}{K}+C \end{equation}
其中 $C$ 也是常数.

   式 21 也可以换种写法,即

\begin{equation} (x-C)^2+(y)^2=\frac{1}{K^2} \end{equation}
这是圆的方程,圆心都在 $x$ 轴上.

   因此,当 $\dot{x}$ 不恒为零时候,庞加莱半平面上的测地线是以 $x$ 轴上的点为圆心的半圆.

   我们可以从给定起点画垂直于初始方向的直线,其交点即为对应测地线的圆心.

$\dot{x}$ 恒为零的情况

   此时我们只有一个有效的方程,即式 15 的第二式,现在化为:

\begin{equation} \ddot{y}=\frac{\dot{y}^2}{y} \end{equation}

   但我们根本不需要解这个方程.因为 $\dot{x}$ 恒为零时,测地线在所给坐标系中就是一条平行于 $y$ 轴的直线,为保证其速度恒为 $1$,只需要 $\dot{y}^2/y^2=1$ 即可.

   另外,对于 $\dot{x}$ 不恒为零的情况,当半径越来越大时,圆形测地线轨迹就越来越接近一条竖直的直线.所以竖直直线解也可以看成圆形解的极限.


1. ^ 注意外微分的幂零性,即 $\mathrm{d}^2=0$.


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