贡献者： JierPeter; addis
庞加莱半平面是历史上非常重要的一个模型。众所周知，欧几里得几何学中有五条公理，其中第五条 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直” 非常冗长而且绕口，因此历史上一直有不少数学家致力于通过其它四条来推出第五条，也就是将第五公理变成一个定理。在 GTM 275 [1] 中将这种尝试评价为 “英雄式” 的（heroic）。这是出于早期数学家们的一种朴素的直觉，即几何就应该是欧几里得空间那样子的，所以第五公理必须成立，哪怕只是作为定理。后来的人们逐渐意识到第五公理并不能被前四条所证明，并逐渐发展出了符合前四条但违反第五条的几何学，也就是所谓的非欧几何学。庞加莱半平面就是一个典型的例子，在本节的测地线小节我们会简单讨论这一点。
本节的主要目的是以庞加莱半平面为例，演示如何进行具体的计算。
1. 庞加莱半平面的定义
定义 1 庞加莱半平面
设 $\mathbb{H}^2=\{(x, y)\in \mathbb{R}^2|y>0\}$，即二维实平面的上半平面（不包含 $x$ 轴）。在 $\mathbb{H}^2$ 上定义黎曼度量$\langle*,*\rangle$ 为，对于任意点 $(x, y)\in \mathbb{H}^2$ 处的切向量$(a_i, b_i)\in T_{(x, y)}\mathbb{H}^2$，有
\begin{equation}
\langle(a_1, b_1), (a_2, b_2)\rangle=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{y^2}~,
\end{equation}
则 $\mathbb{H}^2$ 配合该度量所得到的
黎曼流形称为
庞加莱半平面（Poincaré half-plane）。
对于庞加莱半平面度量的描述，更简洁的表达是：$\frac{ \,\mathrm{d}{x} \otimes \,\mathrm{d}{x} + \,\mathrm{d}{y} \otimes \,\mathrm{d}{y} }{y^2}$。这里的 $ \,\mathrm{d}{x} $ 是指 $\mathbb{H}^2$ 上的函数 $f(x, y)=x$ 的微分 $ \,\mathrm{d}{f} $，同样地 $ \,\mathrm{d}{y} $ 是 $g(x, y)=y$ 的微分 $ \,\mathrm{d}{g} $，它们都是 $\mathbb{H}^2$ 上的 $1$-形式，而 $\otimes$ 是它们的张量积。
如果用通常的 $(x, y)\in \mathbb{R}^2$ 作为坐标来描述 $\mathbb{H}^2$，那么在 $\mathbb{R}^2$ 中的两个点，在保持 $x$ 坐标不变时同步向 $y$ 的正方向移动，那么它们的距离会缩短，并在 $y$ 坐标趋于正无穷时距离趋于零。反过来，如果两个点的 $y$ 坐标始终相同，$x$ 坐标不变，那么它们同步趋近于 $x$ 轴时，彼此距离会趋近于正无穷。
2. 联络形式
本小节先计算 $\mathbb{H}^2$ 上的一个黎曼联络形式。
由反对称定理定理 3 ，计算联络形式时选标准正交基来进行计算最为方便，因为 $\mathbb{H}^2$ 是二维的，标准正交基下的联络形式矩阵是一个反对称的 $2$ 阶方阵，也就是说可以被一个分量唯一确定。
第一步，选择标准正交基：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1=y\frac{\partial}{\partial x}\\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2=y\frac{\partial}{\partial y}~.
\end{aligned}
\end{equation}
第二步，计算对偶基：
由于 $ \,\mathrm{d}{x} \cdot \frac{\partial }{\partial x}= \,\mathrm{d}{y} \cdot \frac{\partial}{\partial y}=1$，$ \,\mathrm{d}{x} \cdot \frac{\partial }{\partial y}= \,\mathrm{d}{y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}=0$，我们可以得到对应的对偶基：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\theta^1=\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{x} \\
\theta^2=\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此我们可以计算出1：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\,\mathrm{d}{\theta} ^1&=-\frac{1}{y^2} \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{x} =\frac{1}{y^2} \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \\
\,\mathrm{d}{\theta} ^2&=0~.
\end{aligned}
\end{equation}
第三步，设挠率为 $0$，应用结构定理（定理 4 ）和反对称定理（定理 3 ）得：
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \,\mathrm{d}{\theta} ^1=-\omega^1_2\wedge\theta^2\\
& \,\mathrm{d}{\theta} ^2=-\omega^2_1\wedge\theta^1=\omega^1_2\wedge\theta^1~,
\end{aligned}
\end{equation}
最后，联立式 3 、式 4 和式 5 ，得到：
\begin{equation}
\begin{aligned}
-\omega^1_2\wedge\theta^2&=\theta^1\wedge\theta^2\\
\omega^1_2\wedge\theta^1&=0~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此易得 $\omega^1_2=-\theta^1=-\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{x} $。
因此联络形式矩阵为
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
0&-\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{x} \\
\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{x} &0
\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
3. 高斯曲率
由高斯绝妙定理，如果要计算 $\mathbb{H}^2$ 的高斯曲率，我们就要去计算某个基下的曲率形式 $\Omega^i_j$，从而有 $K=\Omega^1_2( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2)$。
由上一小节计算出来的联络形式，结合结构定理定理 4 ，注意 $\omega^1_1=\omega^2_2=0$，我们有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\Omega^1_2&= \,\mathrm{d}{\omega} ^1_2+\omega^1_k\wedge\omega^k_2\\
&= \,\mathrm{d}\left(-\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{x} \right) +\omega^1_1\wedge\omega^1_2+\omega^1_2\wedge\omega^2_2\\
&=\frac{1}{y^2} \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{x} \\
&=-\frac{1}{y^2} \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\begin{aligned}
K&=\Omega^1_2(y\frac{\partial}{\partial x}, y\frac{\partial}{\partial y})\\
&=-\frac{1}{y^2} \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} (y\frac{\partial}{\partial x}, y\frac{\partial}{\partial y})\\
&=- \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})\\
&=-( \,\mathrm{d}{x} \cdot \frac{\partial}{\partial x})( \,\mathrm{d}{y} \cdot \frac{\partial}{\partial y})+( \,\mathrm{d}{y} \cdot \frac{\partial}{\partial x})( \,\mathrm{d}{x} \cdot \frac{\partial}{\partial y})\\
&=-1+0\\
&=-1~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此庞加莱半平面的高斯曲率处处为 $-1$，是典型的罗巴切夫斯基几何。
4. Christoffel 符号
我们计算 $\mathbb{H}^2$ 在通常的 $(x, y)\in\mathbb{R}^2$ 坐标下的 Christoffel 符号。为方便计，将导子 $\frac{\partial}{\partial_a}$ 简记为 $\partial_a$。注意对于任何只依赖于 $y$ 的函数 $f(y)$，有 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1f(y)=y\frac{\partial}{\partial x}f(y)=0$，因此 $\nabla_{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1}f(y)X=f(y)\nabla_{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1}X$。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\nabla_{\partial_x}\partial_x&=\nabla_{\frac{1}{y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1}\frac{1}{y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1\\
&=\frac{1}{y^2}\nabla_{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1\\
&=\frac{1}{y^2}\omega^k_1( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _k\\
&=\frac{1}{y^2}\omega^2_1( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2\\
&=\frac{1}{y^2}(\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{x} \cdot y\partial_x) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2\\
&=\frac{1}{y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2\\
&=\frac{1}{y}\partial_y~.
\end{aligned}
\end{equation}
类似地，可以计算出
\begin{equation}
\nabla_{\partial_x}\partial_y=-\frac{1}{y}\partial_x~,
\end{equation}
和
\begin{equation}
\nabla_{\partial_y}\partial_y=-\frac{1}{y}\partial_y~.
\end{equation}
注意，在计算式 12 的时候会多出一项 $\frac{1}{y}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2\frac{1}{y}) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2$，这是因为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2\frac{1}{y}$ 不为零，因此不能像式 10 一样直接略去。
最后，由于我们假设挠率为零，故有 $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$，因此无需重复计算 $\nabla_{\partial_y}\partial_x$。
由 Christoffel 符号的定义，$\nabla_{\partial_i}\partial_j=\Gamma^k_{ij}\partial_k$，就得到了 Christoffel 符号的每一个分量，列举如图 1 中的表格：
图 1：庞加莱半平面在通常的 $\mathbb{R}^2$ 坐标系中的 Christoffel 符号
5. 测地线
有了 Christoffel 符号，我们就可以列出测地线方程了。
根据式 3 ，誊抄如下：
\begin{equation}
\ddot{y}^k+\dot{y}^i\dot{y}^j\Gamma^k_{ji}=0~.
\end{equation}
改用我们在庞加莱半平面上使用的坐标，
式 13 化为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\ddot{x}+2\dot{x}\dot{y}\Gamma^{1}_{12}=0\\
\ddot{y}+\dot{x}^2\Gamma^{2}_{11}+\dot{y}^2\Gamma^{2}_{22}=0
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
将图 1 代入式 14 ，得到：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\ddot{x}-2\dot{x}\dot{y}\frac{1}{y}=0\\
\ddot{y}+\frac{1}{y}\dot{x}^2-\frac{1}{y}\dot{y}^2=0
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
式 15 的第二式较为难解，为了简化解答，将其用测地线的另一个性质，匀速性（定理 1 ），来代替：
\begin{equation}
\frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{y^2}=1~.
\end{equation}
注意，这里我们设定测地线的速度总是 $1$，这是因为任意非零测地线都可以重新参数化，将速度变成 $1$。
式 16 没有提供超出式 15 的信息，但是它可以简化解答。
$\dot{x}$ 不恒为零的情况
当 $\dot{x}\ne 0$ 时，我们可以用它去除以式 15 中第一条，以完成变量分离：
\begin{equation}
\frac{\ddot{x}}{\dot{x}}=\frac{2\dot{y}}{y}~.
\end{equation}
从式 17 容易解得
\begin{equation}
\dot{x}=Ky^2~,
\end{equation}
其中 $K$ 为一常数。
将式 18 代回式 16 ，得到
\begin{equation}
\dot{y}^2=y^2-K^2y^4~.
\end{equation}
考虑到 $\frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$，用式 19 除以式 18 的平方，得：
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\pm\frac{\sqrt{1-K^2y^2}}{Ky}~.
\end{equation}
对式 20 变量分离后积分即得解：
\begin{equation}
x=\mp\frac{\sqrt{1-K^2y^2}}{K}+C~,
\end{equation}
其中 $C$ 也是常数。
式 21 也可以换种写法，即
\begin{equation}
(x-C)^2+(y)^2=\frac{1}{K^2}~.
\end{equation}
这是圆的方程，圆心都在 $x$ 轴上。
因此，当 $\dot{x}$ 不恒为零时候，庞加莱半平面上的测地线是以 $x$ 轴上的点为圆心的半圆。
我们可以从给定起点画垂直于初始方向的直线，其交点即为对应测地线的圆心。
$\dot{x}$ 恒为零的情况
此时我们只有一个有效的方程，即式 15 的第二式，现在化为：
\begin{equation}
\ddot{y}=\frac{\dot{y}^2}{y}~.
\end{equation}
但我们根本不需要解这个方程。因为 $\dot{x}$ 恒为零时，测地线在所给坐标系中就是一条平行于 $y$ 轴的直线，为保证其速度恒为 $1$，只需要 $\dot{y}^2/y^2=1$ 即可。
另外，对于 $\dot{x}$ 不恒为零的情况，当半径越来越大时，圆形测地线轨迹就越来越接近一条竖直的直线。所以竖直直线解也可以看成圆形解的极限。
1. ^ 注意外微分的幂零性，即 $\mathrm{d}^2=0$。
[1] ^ Loring W. Tu. Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes, GTM 275, Springer press.
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