曲率（向量丛）

贡献者： addis; DTSIo

　　 本节采用爱因斯坦求和约定。

　　 设 $M$ 是 $n$ 维微分流形，$E$ 是其上秩为 $k$ 的光滑向量丛。设给定了 $E$ 上的联络 $D$。

1. 定义

　　 给定截面 $\xi \in \mathrm{\Gamma }(E)$ 和切向量场 $X,Y$，联络 $D$ 的沿着 $X,Y$ 作用在 $\xi$ 上的曲率算子（curvature operator） 定义为 $$R(X,Y)\xi =-D_X{D}_Y\xi +D_Y{D}_X\xi +D_{[X,Y]}\xi .$$ 直观来说，曲率算子是量度导数算子的可对易性的：如果取 $X,Y$ 为坐标向量 ${\partial }_i,{\partial }_j$，那么 $[X,Y]=0$，从而 $R({\partial }_i,{\partial }_j)\xi$ 就是沿着坐标方向的二阶导数之差。

2. 曲率方阵

　　 为计算 $R(X,Y)\xi$，设 $\{s_{\alpha }{\}}_{\alpha =1}^k$ 是 $E$ 的局部标架，$\xi ={\xi }^{\alpha }{s}_{\alpha }$ 为 $\xi$ 在此标架下的局部表达式，$\omega$ 是此标架下的联络 1-形式矩阵。从而 $$\begin{array}{r}{D}_X\xi =X({\xi }^{\alpha }){\xi }_{\alpha }+{\xi }^{\beta }{\omega }_{\beta }^{\alpha }(X)s_{\alpha },\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{D}_Y{D}_X\xi & =Y[X({\xi }^{\alpha })]s_{\alpha }+Y[{\xi }^{\beta }{\omega }_{\beta }^{\alpha }(X)]s_{\alpha }+[X({\xi }^{\beta })+{\xi }^{\gamma }{\omega }_{\gamma }^{\beta }(X)]{\omega }_{\beta }^{\alpha }(Y)s_{\alpha }\\ & =Y[X({\xi }^{\alpha })]s_{\alpha }+Y({\xi }^{\beta }){\omega }_{\beta }^{\alpha }(X)s_{\alpha }+{\xi }^{\beta }Y[{\omega }_{\beta }^{\alpha }(X)]s_{\alpha }\\ & +[X({\xi }^{\beta })+{\xi }^{\gamma }{\omega }_{\gamma }^{\beta }(X)]{\omega }_{\beta }^{\alpha }(Y)s_{\alpha },\end{array}$$ 于是 $$\begin{array}{rl}(-& D_X{D}_Y+D_Y{D}_X)\xi \\ & =[Y,X]({\xi }^{\alpha })s_{\alpha }+[Y({\xi }^{\beta }){\omega }_{\beta }^{\alpha }(X)-X({\xi }^{\beta }){\omega }_{\beta }^{\alpha }(Y)]s_{\alpha }+({\xi }^{\beta }Y[{\omega }_{\beta }^{\alpha }(X)]-{\xi }^{\beta }X[{\omega }_{\beta }^{\alpha }(Y)])s_{\alpha }\\ & +(X({\xi }^{\beta }){\omega }_{\beta }^{\alpha }(Y)-Y({\xi }^{\beta }){\omega }_{\beta }^{\alpha }(X)+{\xi }^{\gamma }{\omega }_{\gamma }^{\beta }(X){\omega }_{\beta }^{\alpha }(Y)-{\xi }^{\gamma }{\omega }_{\gamma }^{\beta }(Y){\omega }_{\beta }^{\alpha }(X))s_{\alpha }\\ & =[Y,X]({\xi }^{\alpha })s_{\alpha }+({\xi }^{\beta }Y[{\omega }_{\beta }^{\alpha }(X)]-{\xi }^{\beta }X[{\omega }_{\beta }^{\alpha }(Y)])s_{\alpha }\\ & +({\xi }^{\gamma }{\omega }_{\gamma }^{\beta }(X){\omega }_{\beta }^{\alpha }(Y)-{\xi }^{\gamma }{\omega }_{\gamma }^{\beta }(Y){\omega }_{\beta }^{\alpha }(X))s_{\alpha }\\ & =([Y,X]({\xi }^{\alpha })+{\xi }^{\beta }{\omega }_{\beta }^{\alpha }[Y,X])s_{\alpha }+({\xi }^{\beta }Y[{\omega }_{\beta }^{\alpha }(X)]-{\xi }^{\beta }X[{\omega }_{\beta }^{\alpha }(Y)]-{\xi }^{\beta }{\omega }_{\beta }^{\alpha }[Y,X])s_{\alpha }\\ & +({\xi }^{\gamma }{\omega }_{\gamma }^{\beta }(X){\omega }_{\beta }^{\alpha }(Y)-{\xi }^{\gamma }{\omega }_{\gamma }^{\beta }(Y){\omega }_{\beta }^{\alpha }(X))s_{\alpha }\\ & =D_{[Y,X]}\xi -(d{\omega }_{\beta }^{\alpha }-{\omega }_{\beta }^{\gamma }\wedge {\omega }_{\gamma }^{\alpha })(X,Y){\xi }^{\beta }{s}_{\alpha }.\end{array}$$ 故 $$R(X,Y)\xi =-(d{\omega }_{\beta }^{\alpha }-{\omega }_{\beta }^{\gamma }\wedge {\omega }_{\gamma }^{\alpha })(X,Y)\xi .$$ 由 $${\mathrm{\Omega }}_{\beta }^{\alpha }=d{\omega }_{\beta }^{\alpha }-{\omega }_{\beta }^{\gamma }\wedge {\omega }_{\gamma }^{\alpha }$$ 给出的 1-形式的矩阵 $\mathrm{\Omega }=({\mathrm{\Omega }}_{\beta }^{\alpha })$ 称为联络 $D$ 的曲率方阵（curvature matrix）。

3. 张量运算

　　 对于任何截面，$\xi \in \mathrm{\Gamma }(E)$，都有 $$R(X,Y)\xi =-\mathrm{\Omega }(X,Y)\xi .$$ 容易验证在新的局部标架 $\{s_{\alpha }^{\prime }\}$ 之下，如果它与原来的标架之间的转换公式为 $s_{\alpha }=b_{\alpha }^{\beta }{s}_{\beta }$，则有 $${\mathrm{\Omega }}^{\prime }=b\cdot \mathrm{\Omega }\cdot b^{-1},$$ 因此 $(X,Y,\xi )\to R(X,Y)\xi$ 是张量运算：它对于 $X,Y,\xi$ 都是线性的，而且只依赖于它们在某一点处的值。

　　 给定切丛的局部标架 $\{e_i{\}}_{i=1}^n$ 后，可写 $R(X,Y)\xi =R_{ij\beta }^{\alpha }{X}^i{Y}^j{s}_{\alpha }$。这个张量运算对于 $X,Y$ 是反对称的，而且可写（注意负号！） $${\mathrm{\Omega }}_{\beta }^{\alpha }=-\frac{1}{2}{R}_{ij\beta }^{\alpha }{\theta }^i\wedge {\theta }^j.$$ 这里 $\{{\theta }^i{\}}_{i=1}^n$ 是同 $\{e_i{\}}_{i=1}^n$ 对偶的局部标架。

　　 有些文献中 $R(X,Y)\xi$ 的定义比上文定义多一个负号，这样在曲率方阵的定义中就不必出现负号。

4. 第二毕安基恒等式

　　 将等式 ${\mathrm{\Omega }}_{\beta }^{\alpha }=d{\omega }_{\beta }^{\alpha }-{\omega }_{\beta }^{\gamma }\wedge {\omega }_{\gamma }^{\alpha }$ 微分，得到 $$\begin{array}{rl}d{\mathrm{\Omega }}_{\beta }^{\alpha }& =-d{\omega }_{\beta }^{\gamma }\wedge {\omega }_{\gamma }^{\alpha }+{\omega }_{\beta }^{\gamma }\wedge d{\omega }_{\gamma }^{\alpha }\\ & =-({\mathrm{\Omega }}_{\beta }^{\gamma }+{\omega }_{\beta }^{\lambda }\wedge {\omega }_{\lambda }^{\gamma })\wedge {\omega }_{\gamma }^{\alpha }+{\omega }_{\beta }^{\gamma }\wedge ({\mathrm{\Omega }}_{\gamma }^{\alpha }+{\omega }_{\gamma }^{\lambda }\wedge {\omega }_{\lambda }^{\alpha })\\ & ={\omega }_{\beta }^{\gamma }\wedge {\mathrm{\Omega }}_{\gamma }^{\alpha }-{\mathrm{\Omega }}_{\beta }^{\gamma }\wedge {\omega }_{\gamma }^{\alpha }.\end{array}$$ 这称为第二毕安基恒等式（second Bianchi identity）。