曲率（向量丛）

贡献者： addis; DTSIo

　　 本节采用爱因斯坦求和约定。

　　 设 $M$ 是 $n$ 维微分流形，$E$ 是其上秩为 $k$ 的光滑向量丛。设给定了 $E$ 上的联络 $D$。

1. 定义

　　 给定截面 $\xi\in\Gamma(E)$ 和切向量场 $X,Y$，联络 $D$ 的沿着 $X,Y$ 作用在 $\xi$ 上的曲率算子（curvature operator） 定义为 $$ R(X,Y)\xi=-D_XD_Y\xi+D_YD_X\xi+D_{[X,Y]}\xi~. $$ 直观来说，曲率算子是量度导数算子的可对易性的：如果取 $X,Y$ 为坐标向量 $\partial_i,\partial_j$，那么 $[X,Y]=0$，从而 $R(\partial_i,\partial_j)\xi$ 就是沿着坐标方向的二阶导数之差。

2. 曲率方阵

　　 为计算 $R(X,Y)\xi$，设 $\{s_\alpha\}_{\alpha=1}^k$ 是 $E$ 的局部标架，$\xi=\xi^\alpha s_\alpha$ 为 $\xi$ 在此标架下的局部表达式，$\omega$ 是此标架下的联络 1-形式矩阵。从而 $$ \begin{aligned} D_X\xi=X(\xi^\alpha)\xi_\alpha+\xi^\beta\omega_\beta^\alpha(X) s_\alpha~, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} D_YD_X\xi&=Y[X(\xi^\alpha)]s_\alpha+Y[\xi^\beta\omega_\beta^\alpha(X)] s_\alpha +[X(\xi^\beta)+\xi^\gamma\omega_\gamma^\beta(X)]\omega_\beta^\alpha(Y) s_\alpha \\ &=Y[X(\xi^\alpha)]s_\alpha+Y(\xi^\beta)\omega_\beta^\alpha(X)s_\alpha+\xi^\beta Y[\omega_\beta^\alpha(X)]s_\alpha\\ &\quad+[X(\xi^\beta)+\xi^\gamma\omega_\gamma^\beta(X)]\omega_\beta^\alpha(Y) s_\alpha ~, \end{aligned} $$ 于是 $$ \begin{aligned} (-&D_XD_Y+D_YD_X)\xi\\ &=[Y,X](\xi^\alpha)s_\alpha +[Y(\xi^\beta)\omega_\beta^\alpha(X)-X(\xi^\beta)\omega_\beta^\alpha(Y)]s_\alpha+\left(\xi^\beta Y[\omega_\beta^\alpha(X)]-\xi^\beta X[\omega_\beta^\alpha(Y)]\right)s_\alpha\\ &\quad+\left(X(\xi^\beta)\omega_\beta^\alpha(Y)-Y(\xi^\beta)\omega_\beta^\alpha(X)+\xi^\gamma\omega_\gamma^\beta(X)\omega_\beta^\alpha(Y)-\xi^\gamma\omega_\gamma^\beta(Y)\omega_\beta^\alpha(X) \right)s_\alpha\\ &=[Y,X](\xi^\alpha)s_\alpha+\left(\xi^\beta Y[\omega_\beta^\alpha(X)]-\xi^\beta X[\omega_\beta^\alpha(Y)]\right)s_\alpha\\ &\quad+\left(\xi^\gamma\omega_\gamma^\beta(X)\omega_\beta^\alpha(Y)-\xi^\gamma\omega_\gamma^\beta(Y)\omega_\beta^\alpha(X) \right)s_\alpha\\ &=\left([Y,X](\xi^\alpha)+\xi^\beta\omega_\beta^\alpha[Y,X]\right)s_\alpha +\left(\xi^\beta Y[\omega_\beta^\alpha(X)]-\xi^\beta X[\omega_\beta^\alpha(Y)]-\xi^\beta\omega_\beta^\alpha[Y,X]\right)s_\alpha\\ &\quad+\left(\xi^\gamma\omega_\gamma^\beta(X)\omega_\beta^\alpha(Y)-\xi^\gamma\omega_\gamma^\beta(Y)\omega_\beta^\alpha(X) \right)s_\alpha\\ &=D_{[Y,X]}\xi-(d\omega_\beta^\alpha-\omega_\beta^\gamma\wedge\omega_\gamma^\alpha)(X,Y)\xi^\beta s_\alpha~. \end{aligned} $$ 故 $$ R(X,Y)\xi=-(d\omega_\beta^\alpha-\omega_\beta^\gamma\wedge\omega_\gamma^\alpha)(X,Y)\xi~. $$ 由 $$ \Omega_\beta^\alpha=d\omega_\beta^\alpha-\omega_\beta^\gamma\wedge\omega_\gamma^\alpha~ $$ 给出的 1-形式的矩阵 $\Omega=(\Omega_\beta^\alpha)$ 称为联络 $D$ 的曲率方阵（curvature matrix）。

3. 张量运算

　　 对于任何截面，$\xi\in\Gamma(E)$，都有 $$ R(X,Y)\xi=-\Omega(X,Y)\xi~. $$ 容易验证在新的局部标架 $\{s_\alpha'\}$ 之下，如果它与原来的标架之间的转换公式为 $s_\alpha=b_\alpha^\beta s_\beta$，则有 $$ \Omega'=b\cdot\Omega \cdot b^{-1}~, $$ 因此 $(X,Y,\xi)\to R(X,Y)\xi$ 是张量运算：它对于 $X,Y,\xi$ 都是线性的，而且只依赖于它们在某一点处的值。

　　 给定切丛的局部标架 $\{e_i\}_{i=1}^n$ 后，可写 $R(X,Y)\xi=R^\alpha_{ij\beta}X^iY^js_\alpha$。这个张量运算对于 $X,Y$ 是反对称的，而且可写（注意负号！） $$ \Omega_\beta^\alpha=-\frac{1}{2}R^\alpha_{ij\beta}\theta^i\wedge\theta^j~. $$ 这里 $\{\theta^i\}_{i=1}^n$ 是同 $\{e_i\}_{i=1}^n$ 对偶的局部标架。

　　 有些文献中 $R(X,Y)\xi$ 的定义比上文定义多一个负号，这样在曲率方阵的定义中就不必出现负号。

4. 第二毕安基恒等式

　　 将等式 $\Omega_\beta^\alpha=d\omega_\beta^\alpha-\omega_\beta^\gamma\wedge\omega_\gamma^\alpha$ 微分，得到 $$ \begin{aligned} d\Omega_\beta^\alpha&=-d\omega_\beta^\gamma\wedge\omega_\gamma^\alpha+\omega_\beta^\gamma\wedge d\omega_\gamma^\alpha\\ &=-(\Omega_\beta^\gamma+\omega_\beta^\lambda\wedge\omega_\lambda^\gamma)\wedge\omega_\gamma^\alpha +\omega_\beta^\gamma\wedge(\Omega_\gamma^\alpha+\omega_\gamma^\lambda\wedge\omega_\lambda^\alpha)\\ &=\omega_\beta^\gamma\wedge\Omega_\gamma^\alpha-\Omega_\beta^\gamma\wedge\omega_\gamma^\alpha~. \end{aligned} $$ 这称为第二毕安基恒等式（second Bianchi identity）。