平行性（向量丛）

贡献者： addis; DTSIo

　　 本文使用爱因斯坦求和约定。设 $M$ 是 $n$ 维微分流形，$E$ 是其上秩为 $k$ 的光滑向量丛。设给定了 $E$ 上的联络 $D$。

1. 平行截面

　　 向量丛 $E$ 的截面 $\xi\in\Gamma(E)$ 称为在联络 $D$ 之下平行的（parallel），如果 $$D\xi=0~$$ 在局部标架 $\{s_\alpha\}_{\alpha=1}^k$ 之下，如果 $\xi=\xi^\alpha s_\alpha$，$\omega$ 是此标架下的联络 1-形式矩阵，则 $D\xi=0$ 等价于 $$ d\xi^\alpha+\xi^\beta\omega^\alpha_\beta=0 \quad(1\leq \alpha\leq k)~. $$ 进一步给定切丛和余切丛的局部标架 $\{e_i\},\{\theta_j\}$ (二者为对偶) 之后，就有了克氏符 $\Gamma_{\beta i}^\alpha$，因此上式进一步等价于方程组 $$ e_i(\xi^\alpha)+\xi^\beta\Gamma^\alpha_{\beta i}=0\quad (1\leq \alpha\leq k,\,1\leq i\leq n)~. $$ 这是普法夫系。在局部上，根据费罗贝尼乌斯定理，这方程组可解（局部上相当于有 $k$ 个函数 $\{\xi^\alpha\}_{\alpha=1}^k$ 满足上面的偏微分方程组）当且仅当 $$ 0=d(\omega^\alpha_\beta\xi^\beta)=d\xi^\beta\wedge\omega^\alpha_\beta+\xi^\beta d\omega^\alpha_\beta=\xi^\beta\wedge\Omega_\beta^\alpha~. $$ 这里 $\Omega$ 是 $D$ 的曲率方阵。这也就表示这个方程组可解当且仅当 $$ \xi^\beta\wedge\Omega_\beta^\alpha=0~. $$ 因此如果 $D$ 的曲率在某个开集上等于零，则上述普法夫系在此开集上是局部可积的，于是此开集上存在 $E$ 的局部平行截面。

　　 这样看来，曲率是平行截面存在的障碍。

　　 $\mathbb{R}^n$ 上平凡丛 $\mathbb{R\times}^n\mathbb{R}^k$ 上的平凡联络就是通常的微分运算，因此当然是可交换的，曲率算子为零。设 $\partial_\alpha$ 是 $\mathbb{R}^k$ 上的一个仿射坐标向量，则它在此联络下就是平行的。这很符合"平行"的直观意义。

2. 平行移动

　　 向量丛在区域上的平行截面很可能不存在，但却可以定义沿着某条道路平行的截面。

　　 设 $\gamma:[0,a]\to M$ 是 Lipschitz 连续的道路，$\xi_0\in E_{\gamma(0)}$ 是沿着道路的截面。它的严格定义是一个映射：$\xi:[0,a]\to E$，使得 $\xi(t)\in E_{\gamma(t)}$。称此截面是沿着道路 $\gamma$ 平行的（parallel along $\gamma$），如果 $D_{\gamma'}\xi(t)=0$。此时称 $\xi(a)$ 是 $\xi(0)$ 沿着 $\gamma$ 的平行移动（parallel transport）。

　　 在 $M$ 的局部坐标系 $\{x^i\}_{i=1}^n$ 和 $E$ 的局部标架 $\{s_{\alpha}\}_{\alpha=1}^k$ 之下，可写 $\gamma(t)=(\gamma^i(t))$，$\xi=\xi^\alpha s_\alpha$，则 $D_{\gamma'}\xi=0$ 等价于 $$ \frac{d\xi^\alpha}{dt}+\Gamma_{\beta i}^\alpha(\gamma(t))\frac{d\gamma^i}{dt}(t)\xi^\beta=0~. $$ 这是 $k$ 个函数 $\xi^\alpha$ 的齐次线性常微分方程组，系数是有界的，所以给定初值之后它有唯一的 Lipschitz 连续的解。

　　 这就给出了一个线性变换 $P_{\gamma}:E_{\gamma(0)}\to E_{\gamma(a)}$，将任何一个 $\xi(0)\in E_{\gamma(0)}$ 通过平行移动变为 $\xi(a)\in E_{\gamma(a)}$。从微分方程本身可得出终值与 $\gamma$ 重参数化的方法无关。简单计算给出 $P_\gamma^{-1}$ 实为沿着反向道路 $\gamma^{-1}$ 的平行移动。

　　 若命 $P_\gamma^{\tau,t}$ 表示从 $E_{\gamma(\tau)}$ 到 $E_{\gamma(t)}$ 的沿着 $\gamma$ 的平行移动，则简单地计算给出：对于任何截面 $\xi\in\Gamma(E)$ 和任何使得 $\gamma'(t)$ 存在的 $t$，皆有 $$ D_{\gamma'(t)}\xi(\gamma(t))=\lim_{\tau\to t}\frac{P_\gamma^{\tau,t}\xi(\gamma(\tau))-\xi(\gamma(t))}{\tau-t}~. $$ 这样看来，沿着道路的平行移动实则决定了整个联络本身的取值。

　　 对于 $\mathbb{R}^n$ 上平凡丛 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^k$ 上的平凡联络，沿着两条有同样起终点的道路的平行移动给出同样的结果：它就是通常意义下实数空间中的平行移动，移动的结果显然跟移动的路径无关。然而对于一般的联络来说这是不对的。这种现象是因为一般的联络曲率不为零。这是和乐定理要讨论的内容。