平行性(向量丛)

                     

贡献者: addis; DTSIo

预备知识 曲率(向量丛),费罗贝尼乌斯定理

   本文使用爱因斯坦求和约定。设 $M$ 是 $n$ 维微分流形,$E$ 是其上秩为 $k$ 的光滑向量丛。设给定了 $E$ 上的联络 $D$。

1. 平行截面

   向量丛 $E$ 的截面 $\xi\in\Gamma(E)$ 称为在联络 $D$ 之下平行的(parallel),如果 $$D\xi=0~$$ 在局部标架 $\{s_\alpha\}_{\alpha=1}^k$ 之下,如果 $\xi=\xi^\alpha s_\alpha$,$\omega$ 是此标架下的联络 1-形式矩阵,则 $D\xi=0$ 等价于 $$ d\xi^\alpha+\xi^\beta\omega^\alpha_\beta=0 \quad(1\leq \alpha\leq k)~. $$ 进一步给定切丛和余切丛的局部标架 $\{e_i\},\{\theta_j\}$ (二者为对偶) 之后,就有了克氏符 $\Gamma_{\beta i}^\alpha$,因此上式进一步等价于方程组 $$ e_i(\xi^\alpha)+\xi^\beta\Gamma^\alpha_{\beta i}=0\quad (1\leq \alpha\leq k,\,1\leq i\leq n)~. $$ 这是普法夫系。在局部上,根据费罗贝尼乌斯定理,这方程组可解(局部上相当于有 $k$ 个函数 $\{\xi^\alpha\}_{\alpha=1}^k$ 满足上面的偏微分方程组)当且仅当 $$ 0=d(\omega^\alpha_\beta\xi^\beta)=d\xi^\beta\wedge\omega^\alpha_\beta+\xi^\beta d\omega^\alpha_\beta=\xi^\beta\wedge\Omega_\beta^\alpha~. $$ 这里 $\Omega$ 是 $D$ 的曲率方阵。这也就表示这个方程组可解当且仅当 $$ \xi^\beta\wedge\Omega_\beta^\alpha=0~. $$ 因此如果 $D$ 的曲率在某个开集上等于零,则上述普法夫系在此开集上是局部可积的,于是此开集上存在 $E$ 的局部平行截面。

   这样看来,曲率是平行截面存在的障碍。

   $\mathbb{R}^n$ 上平凡丛 $\mathbb{R\times}^n\mathbb{R}^k$ 上的平凡联络就是通常的微分运算,因此当然是可交换的,曲率算子为零。设 $\partial_\alpha$ 是 $\mathbb{R}^k$ 上的一个仿射坐标向量,则它在此联络下就是平行的。这很符合"平行"的直观意义。

2. 平行移动

   向量丛在区域上的平行截面很可能不存在,但却可以定义沿着某条道路平行的截面。

   设 $\gamma:[0,a]\to M$ 是 Lipschitz 连续的道路,$\xi_0\in E_{\gamma(0)}$ 是沿着道路的截面。它的严格定义是一个映射:$\xi:[0,a]\to E$,使得 $\xi(t)\in E_{\gamma(t)}$。称此截面是沿着道路 $\gamma$ 平行的(parallel along $\gamma$),如果 $D_{\gamma'}\xi(t)=0$。此时称 $\xi(a)$ 是 $\xi(0)$ 沿着 $\gamma$ 的平行移动(parallel transport)

   在 $M$ 的局部坐标系 $\{x^i\}_{i=1}^n$ 和 $E$ 的局部标架 $\{s_{\alpha}\}_{\alpha=1}^k$ 之下,可写 $\gamma(t)=(\gamma^i(t))$,$\xi=\xi^\alpha s_\alpha$,则 $D_{\gamma'}\xi=0$ 等价于 $$ \frac{d\xi^\alpha}{dt}+\Gamma_{\beta i}^\alpha(\gamma(t))\frac{d\gamma^i}{dt}(t)\xi^\beta=0~. $$ 这是 $k$ 个函数 $\xi^\alpha$ 的齐次线性常微分方程组,系数是有界的,所以给定初值之后它有唯一的 Lipschitz 连续的解。

   这就给出了一个线性变换 $P_{\gamma}:E_{\gamma(0)}\to E_{\gamma(a)}$,将任何一个 $\xi(0)\in E_{\gamma(0)}$ 通过平行移动变为 $\xi(a)\in E_{\gamma(a)}$。从微分方程本身可得出终值与 $\gamma$ 重参数化的方法无关。简单计算给出 $P_\gamma^{-1}$ 实为沿着反向道路 $\gamma^{-1}$ 的平行移动。

   若命 $P_\gamma^{\tau,t}$ 表示从 $E_{\gamma(\tau)}$ 到 $E_{\gamma(t)}$ 的沿着 $\gamma$ 的平行移动,则简单地计算给出:对于任何截面 $\xi\in\Gamma(E)$ 和任何使得 $\gamma'(t)$ 存在的 $t$,皆有 $$ D_{\gamma'(t)}\xi(\gamma(t))=\lim_{\tau\to t}\frac{P_\gamma^{\tau,t}\xi(\gamma(\tau))-\xi(\gamma(t))}{\tau-t}~. $$ 这样看来,沿着道路的平行移动实则决定了整个联络本身的取值。

   对于 $\mathbb{R}^n$ 上平凡丛 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^k$ 上的平凡联络,沿着两条有同样起终点的道路的平行移动给出同样的结果:它就是通常意义下实数空间中的平行移动,移动的结果显然跟移动的路径无关。然而对于一般的联络来说这是不对的。这种现象是因为一般的联络曲率不为零。这是和乐定理要讨论的内容。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利