贡献者： JierPeter
1. 定义
直观来说，纤维丛是指在一个拓扑空间 $B$ 的每一个点都长出来另一个拓扑空间 $F$ 所得到的一个空间。每一个点 $x\in B$ 上的 $F$ 被称为一根纤维（fibre），这些纤维所在的 $B$ 称为底空间（base space），而整个结构 $(B, F)$ 就是一个纤维丛（fibre bundle）。
准确的定义如下所述，其中 $E$ 就是 “$B$ 上每个点都长出一个 $F$ 的丛空间”：
定义 1 纤维丛
给定拓扑空间 $B$ 和 $F$，如果存在一个拓扑空间 $E$ 和一个连续满射 $\pi:E\rightarrow B$，使得对于任意的 $x\in B$，都有 $\pi^{-1}(x)$ 同胚于 $F$，那么称这个结构 $(E, F, B, \pi)$ 为一个纤维丛（fibre bundle）。
称 $E$ 是这个纤维丛的全空间（total space），$F$ 是其纤维型（fibre type），$\pi^{-1}(p)$ 是其在 $p\in B$ 处的纤维（fibre），$B$ 是其底空间（base space），有时也译作基空间。
如果把 $B$ 想象成一块土地，$F$ 想象成一棵草，那么 $E$ 就是 “土地上长了一片草” 这一概念，$E$ 的每个元素就是某棵草上的一个点。定义中的连续满射 $f$ 的作用是把这样的一个点映射到相应的草所在的地点。
每根纤维都是同胚的，即拓扑意义上都等价于纤维型。也就是说，纤维型是描述纤维的拓扑结构的，但不同点处的纤维不是同一个空间。
要注意的是，$E$ 不完全等同于 $B\times F$。对于 $B\times F$ 来说，任意给定两个 $x_1, x_2\in B$，我们自然可以找到 $x_1\times F$ 和 $x_2\times F$ 上的一一对应关系，这是由集合笛卡尔积的定义决定的。但是纤维丛 $E$ 上，如果上述 $x_1\not=x_2$，那么两个地方长出来的纤维是没有天然的双射对应的的1。这就是 “纤维丛” 这一名称的深意，而乘积空间应该被想象纤维被粘在一起的情况，只是纤维丛的一个定义了额外联系的特例。
两个纤维丛之间可以有映射偶：
定义 2 纤维丛的态射
设 $(E_1, F_1, B_1, f_1)$ 和 $(E_2, F_2, B_2, f_2)$ 是两个纤维丛，
2. 纤维丛的例子
平凡丛
给定两个拓扑空间 $X, Y$，则它们的积空间 $X\times Y$ 可以看成纤维丛，称为平凡丛（trivial bundle）。$X\times Y$ 可以用 $X$ 作底空间、$Y$ 作纤维型，取关于 $X$ 的投影映射 $\pi_X$ 构成纤维丛
\begin{equation}
(X\times Y, Y, X, \pi_X)~,
\end{equation}
也可以反过来，用 $Y$ 作底空间、$X$ 作纤维型，取关于 $Y$ 的投影映射 $\pi_Y$ 构成纤维丛
\begin{equation}
(X\times Y, X, Y, \pi_Y)~.
\end{equation}
如上一小节所说，平凡丛的特点是，任意两根纤维之间都存在一个天然的同胚映射。下面所说的切丛则不存在这样的天然同胚。
切丛
给定光滑实流形 $M$，在其上每一点 $p$ 处的全体切向量构成了一个线性空间，称为 $p$ 处的切空间。所有点处的切空间维度相等，从而线性同构，从而同胚。这样，我们可以以各线性空间为纤维，构造流形上的纤维丛。
定义 3 切丛
给定 $n$ 维光滑实流形 $M$，记 $p\in M$ 处的切空间为 $ \operatorname {T}_p M$，取线性拓扑2使之构成拓扑空间。显然，各 $ \operatorname {T}_pM$ 都线性同构于 $n$ 维实线性空间，且同胚于 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$。
记3
\begin{equation}
\operatorname {T}M= \coprod_{p\in M} \operatorname {T}_p M~,
\end{equation}
定义连续满射 $\pi: \operatorname {T}M\to M$ 为：对于任意 $v\in \operatorname {T}_p M$，$\pi(v)=p$。则可以得到一个纤维丛 $( \operatorname {T}M, \mathbb{R}^n, M, \pi)$，称为 $M$ 上的
切丛（tangent bundle）。
向量丛
向量丛是纤维丛的特例，即纤维都是向量空间的情况。显然，切丛是一种向量丛，但向量丛不止切丛这一种。
定义 4 向量丛
给定拓扑空间 $B$ 和 $q$ 维线性空间 $V$，如果存在一个拓扑空间 $E$，一个连续满射 $\pi:E\rightarrow B$，$B$ 的一族开覆盖 $\{U_\alpha\}$ 和一族映射 $\varphi=\{\varphi_\alpha: U_\alpha\times V\to \pi^{-1}(U_\alpha)\}$，满足下列相容条件（compatibility）：
- 各 $\varphi_\alpha$ 是同胚映射，且对于任意 $v\in V, p\in U_\alpha$ 有 $\pi\circ\varphi_\alpha(p, v)=p$；
- 对于固定的$p\in U_\alpha$，记 $\phi_\alpha(v)=\varphi_\alpha(p, v)$。要求 $\phi_\alpha(v)$ 是 $V\to \pi^{-1}(p)$ 的同胚映射；且当 $U_\alpha\cap U_\beta\not=\varnothing$ 时，$\phi_\beta^{-1}\circ\phi_\alpha$ 是 $V$ 上的线性自同构，
则称 $(E, B, \pi, \varphi)$ 是 $B$ 上的 $q$ 阶向量丛（vector bundle）。
例 1 经典力学
经典力学中，可以把单个自由粒子的相空间看作是一维实流形上的三维实向量丛。作为底空间的一维实流形表示时间坐标，作为纤维的线性空间表示空间坐标。
更多讨论请参见从分析力学到场论。
向量丛之间也有丛映射：
定义 5 丛映射
给定向量丛 $(E, V_E, M, \pi_E)$ 和 $(F, V_F, N, \pi_F])$，其中 $M$ 和 $N$ 是实流形。我们定义一个 “光滑丛映射（$C^\infty$ bundle map）” 为 $E\rightarrow F$ 的映射偶 $\varphi: E\rightarrow F$ 和 $\overline{\varphi}: M\rightarrow N$，使得：
\begin{equation}
\overline{\varphi}\circ\pi_E=\pi_F\circ\varphi~.
\end{equation}
且在任意 $p\in M$ 处，$\varphi|_p$
4是从 $p\times V_E$ 到 $\overline{\varphi}(p)\times V_F$ 的映射，并且是一个线性映射。
1. ^ 在微分几何中，我们研究的切丛是纤维丛的一种，而所谓的 “联络” 实际上就是指定了不同纤维间的双射。
2. ^ 线性空间的拓扑取线性拓扑，即任意定义一个内积，取关于这个内积的度量拓扑。不同的内积定义的度量拓扑是等价的。
3. ^ $\amalg$ 和 $\coprod$ 都表示不交并。这里的 $E$ 就是说把所有切空间都取不交并。
4. ^ 即只考虑 $p$ 处纤维的映射 $\varphi$。
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