纤维丛

定义 1　纤维丛

　　 纤维丛(fiber bundle)是一四元组 $(E,B,\pi ,F)$，其中 $E,B$ 与 $F$ 都是拓扑空间，称 $B$ 为底空间(base space) 而 $E$ 为全空间(total space)，称 $F$ 是纤维型(fiber type)。称 $\pi$ 是一个投影映射(projection map, bundle projection)，但要求 $\pi :E\to B$ 是一个连续满射，满足下述的局部平凡条件(local triviality condition)。

　　 下面我们假设 $B$ 是连通的。要求 $\mathrm{\forall }b\in B$，存在一个在 $B$ 中的包含 $b$ 的开邻域 $U$，且有同胚映射 $\phi :{\pi }^{-1}(U)\to (U\times F)$，显然 $U\times F$ 是一个乘积拓扑。 这样 $\pi$ 与第一个因子一致，即有 $\pi ={\mathrm{proj}}_1\circ \phi$，有交换图:

　　 其中 ${\mathrm{proj}}_1:(U\times F)\to U$ 是自然映射，其考虑为笛卡尔积的投影，或者说 $\mathrm{\forall }(u,f)\in (U\times F)$ 其给出 $u$。

　　 对于开覆盖 $\{(U_i,{\phi }_i)\}$ 称为这个丛的局部平凡化(local trivialization)，又称局部平凡化卡(local trivialization chart)。局部平凡也译为局部平庸。

定义 2　纤维丛上的纤维

　　 考虑纤维丛 $(E,B,\pi ,F)$，对于其底空间上的任意点 $b\in B$，原像 ${\pi }^{-1}(\{b\})$ 称为点 $b$ 处的一根纤维。

推论 1　纤维性质

　　 根据纤维的定义，不难发现纤维丛 $(E,B,\pi ,F)$ 上任意一点处长出的纤维是同胚于 $F$ 的。

定义 3　纤维丛的态射

　　 设 $(E_1,F_1,B_1,f_1)$ 和 $(E_2,F_2,B_2,f_2)$ 是两个纤维丛，

定义 4　切丛

　　 给定 $n$ 维光滑实流形 $M$，记 $p\in M$ 处的切空间为 ${\mathrm{T}}_{p}M$，取线性拓扑²使之构成拓扑空间。显然，各 ${\mathrm{T}}_{p}M$ 都线性同构于 $n$ 维实线性空间，且同胚于 $n$ 维欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^n$。

　　 记³

定义 5　向量丛

　　 给定拓扑空间 $B$ 和 $q$ 维线性空间 $V$，如果存在一个拓扑空间 $E$，一个连续满射 $\pi :E\to B$，$B$ 的一族开覆盖 $\{U_{\alpha }\}$ 和一族映射 $\phi =\{{\phi }_{\alpha }:U_{\alpha }\times V\to {\pi }^{-1}(U_{\alpha })\}$，满足下列相容条件（compatibility）：

1. 各 ${\phi }_{\alpha }$ 是同胚映射，且对于任意 $v\in V,p\in U_{\alpha }$ 有 $\pi \circ {\phi }_{\alpha }(p,v)=p$；
2. 对于固定的$p\in U_{\alpha }$，记 ${\varphi }_{\alpha }(v)={\phi }_{\alpha }(p,v)$。要求 ${\varphi }_{\alpha }(v)$ 是 $V\to {\pi }^{-1}(p)$ 的同胚映射；且当 $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\ne \varnothing$ 时，${\varphi }_{\beta }^{-1}\circ {\varphi }_{\alpha }$ 是 $V$ 上的线性自同构，

　　 则称 $(E,B,\pi ,\phi )$ 是 $B$ 上的 $q$ 阶向量丛（vector bundle）。

定义 6　丛映射

　　 给定向量丛 $(E,V_E,M,{\pi }_E)$ 和 $(F,V_F,N,{\pi }_F])$，其中 $M$ 和 $N$ 是实流形。我们定义一个 “光滑丛映射（$C^{\mathrm{\infty }}$ bundle map）” 为 $E\to F$ 的映射偶 $\phi :E\to F$ 和 $\bar{\phi }:M\to N$，使得：