纤维丛

             

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预备知识 乘积拓扑,矢量空间

1. 定义

   直观来说,纤维丛是指在一个拓扑空间 $B$ 的每一个点都长出来另一个拓扑空间 $F$ 所得到的一个空间.每一个点 $x\in B$ 上的 $F$ 被称为一根纤维(fibre),这些纤维所在的 $B$ 称为底空间(base space),而整个结构 $(B, F)$ 就是一个纤维丛(fibre bundle)

   准确的定义如下所述,其中 $E$ 就是 “$B$ 上每个点都长出一个 $F$ 的丛空间”:

定义 1 纤维丛

   给定拓扑空间 $B$ 和 $F$,如果存在一个拓扑空间 $E$ 和一个连续满射 $\pi:E\rightarrow B$,使得对于任意的 $x\in B$,都有 $\pi^{-1}(x)\cong F$,那么称这个结构 $(E, F, B, \pi)$ 为一个纤维丛(fibre bundle),称 $E$ 是这个纤维丛的全空间(total space),$F$ 是其纤维(fibre),$B$ 是其底空间(base space),有时也译作基空间

   如果把 $B$ 想象成一块土地,$F$ 想象成一棵草,那么 $E$ 就是 “土地上长了一片草” 这一概念,$E$ 的每个元素就是某棵草上的一个点.定义中的连续满射 $f$ 的作用是把这样的一个点映射到相应的草所在的地点.

   要注意的是,$E$ 不完全等同于 $B\times F$.对于 $B\times F$ 来说,任意给定两个 $x_1, x_2\in B$,我们自然可以找到 $x_1\times F$ 和 $x_2\times F$ 上的一一对应关系,这是由集合笛卡尔积的定义决定的.但是纤维丛 $E$ 上,如果上述 $x_1\not=x_2$,那么两个地方长出来的纤维是没有天然的双射对应的的1.这就是 “纤维丛” 这一名称的深意,而乘积空间应该被想象纤维被粘在一起的情况,只是纤维丛的一个定义了额外联系的特例.

   两个纤维丛之间可以有映射偶:

定义 2 纤维丛的态射

   设 $(E_1, F_1, B_1, f_1)$ 和 $(E_2, F_2, B_2, f_2)$ 是两个纤维丛,

2. 纤维丛的例子

向量丛

   向量丛是纤维丛的特例,即纤维都是向量空间的情况.

定义 3 向量丛

   给定拓扑空间 $B$ 和线性空间 $V$,如果存在一个拓扑空间 $E$ 和一个连续满射 $\pi:E\rightarrow B$,使得对于任意的 $x\in B$,都有 $\pi^{-1}(x)\cong V$,那么称这个结构 $(E, V, B, \pi)$ 为一个向量丛(vector bundle)

   向量丛之间也有丛映射:

定义 4 丛映射

   给定向量丛 $(E, V_E, M, \pi_E)$ 和 $(F, V_F, N, \pi_F])$,其中 $M$ 和 $N$ 是实流形.我们定义一个 “光滑丛映射($C^\infty$ bundle map)” 为 $E\rightarrow F$ 的映射偶 $\varphi: E\rightarrow F$ 和 $\overline{\varphi}: M\rightarrow N$,使得:

\begin{equation} \overline{\varphi}\circ\pi_E=\varphi\circ\pi_F \end{equation}
且在任意 $p\in M$ 处,$\varphi|_p$2是从 $p\times V_E$ 到 $\overline{\varphi}(p)\times V_F$ 的映射,并且是一个线性映射.

   虽然,一个向量丛 $(E, V, B, \phi)$ 不能简单等同于 $B\times V$,不过 $B\times V$ 本身也是一个纤维丛,称之为平凡(trivial)的纤维丛.


1. ^ 在微分几何中,我们研究的切丛是纤维丛的一种,而所谓的 “联络” 实际上就是指定了不同纤维间的双射.
2. ^ 即只考虑 $p$ 处纤维的映射 $\varphi$.

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