贡献者： JierPeter
1. 定义
直观来说，纤维丛是指在一个拓扑空间 $B$ 的每一个点都长出来另一个拓扑空间 $F$ 所得到的一个空间。每一个点 $x\in B$ 上的 $F$ 被称为一根纤维（fibre），这些纤维所在的 $B$ 称为底空间（base space），而整个结构 $(B, F)$ 就是一个纤维丛（fibre bundle）。
准确的定义如下所述，其中 $E$ 就是 “$B$ 上每个点都长出一个 $F$ 的丛空间”：
定义 1 纤维丛
给定拓扑空间 $B$ 和 $F$，如果存在一个拓扑空间 $E$ 和一个连续满射 $\pi:E\rightarrow B$，使得对于任意的 $x\in B$，都有 $\pi^{-1}(x)$ 同胚于 $F$，那么称这个结构 $(E, F, B, \pi)$ 为一个纤维丛（fibre bundle），称 $E$ 是这个纤维丛的全空间（total space），$F$ 是其纤维（fibre），$B$ 是其底空间（base space），有时也译作基空间。
如果把 $B$ 想象成一块土地，$F$ 想象成一棵草，那么 $E$ 就是 “土地上长了一片草” 这一概念，$E$ 的每个元素就是某棵草上的一个点。定义中的连续满射 $f$ 的作用是把这样的一个点映射到相应的草所在的地点。
要注意的是，$E$ 不完全等同于 $B\times F$。对于 $B\times F$ 来说，任意给定两个 $x_1, x_2\in B$，我们自然可以找到 $x_1\times F$ 和 $x_2\times F$ 上的一一对应关系，这是由集合笛卡尔积的定义决定的。但是纤维丛 $E$ 上，如果上述 $x_1\not=x_2$，那么两个地方长出来的纤维是没有天然的双射对应的的1。这就是 “纤维丛” 这一名称的深意，而乘积空间应该被想象纤维被粘在一起的情况，只是纤维丛的一个定义了额外联系的特例。
两个纤维丛之间可以有映射偶：
定义 2 纤维丛的态射
设 $(E_1, F_1, B_1, f_1)$ 和 $(E_2, F_2, B_2, f_2)$ 是两个纤维丛，
2. 纤维丛的例子
向量丛
向量丛是纤维丛的特例，即纤维都是向量空间的情况。
定义 3 向量丛
给定拓扑空间 $B$ 和线性空间 $V$，如果存在一个拓扑空间 $E$ 和一个连续满射 $\pi:E\rightarrow B$，使得对于任意的 $x\in B$，都有 $\pi^{-1}(x)\cong V$，那么称这个结构 $(E, V, B, \pi)$ 为一个向量丛（vector bundle）。
向量丛之间也有丛映射：
定义 4 丛映射
给定向量丛 $(E, V_E, M, \pi_E)$ 和 $(F, V_F, N, \pi_F])$，其中 $M$ 和 $N$ 是实流形。我们定义一个 “光滑丛映射（$C^\infty$ bundle map）” 为 $E\rightarrow F$ 的映射偶 $\varphi: E\rightarrow F$ 和 $\overline{\varphi}: M\rightarrow N$，使得：
\begin{equation}
\overline{\varphi}\circ\pi_E=\pi_F\circ\varphi~.
\end{equation}
且在任意 $p\in M$ 处，$\varphi|_p$
2是从 $p\times V_E$ 到 $\overline{\varphi}(p)\times V_F$ 的映射，并且是一个线性映射。
虽然，一个向量丛 $(E, V, B, \phi)$ 不能简单等同于 $B\times V$，不过 $B\times V$ 本身也是一个纤维丛，称之为平凡（trivial）的纤维丛。
1. ^ 在微分几何中，我们研究的切丛是纤维丛的一种，而所谓的 “联络” 实际上就是指定了不同纤维间的双射。
2. ^ 即只考虑 $p$ 处纤维的映射 $\varphi$。
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