向量丛

贡献者： JierPeter; addis

未完成：需补充引用，GTM 275 第 7 章。

未完成：与 “纤维丛” 文章内容重复

预备知识　纤维丛，流形

　　向量丛是纤维丛的特例，即纤维都是向量空间的情况。

定义 1　向量丛

　　给定拓扑空间 $B$ 和线性空间 $V$ ，如果存在一个拓扑空间 $E$ 和一个连续满射 $π : E \to B$ ，使得对于任意的 $x \in B$ ，都有 $π^{- 1} (x) ≅ V$ ，那么称这个结构 $(E, V, B, π)$ 为一个向量丛（vector bundle）。

　　向量丛之间也有丛映射：

定义 2　丛映射

　　给定向量丛 $(E, V_{E}, M, π_{E})$ 和 $(F, V_{F}, N, π_{F})$ ，其中 $M$ 和 $N$ 是实流形。我们定义一个 “光滑丛映射（ $C^{\infty}$ bundle map）” 为 $E \to F$ 的映射偶 $φ : E \to F$ 和 $\overset{―}{φ} : M \to N$ ，使得：

\begin{matrix} (1) & \overset{―}{φ} \circ π_{E} = π_{F} \circ φ . \end{matrix}

且在任意

p \in M

处，

φ |_{p}

¹是从

p \times V_{E}

到

\overset{―}{φ} (p) \times V_{F}

的映射，并且是一个线性映射。

　　在纤维丛文章中我们强调过，一个向量丛 $(E, V, B, ϕ)$ 不能简单等同于 $B \times V$ ，不过 $B \times V$ 本身也是一个纤维丛，称之为平凡（trivial）的纤维丛。

1. ^ 即只考虑 $p$ 处纤维的映射 $φ$ 。

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向量丛

定义 1 向量丛

定义 2 丛映射

定义 1　向量丛

定义 2　丛映射