变分

                     

贡献者: 零穹

预备知识 绝对极值与相对极值(变分学)

   泛函是函数概念中自变数用函数替换的推广,而变分则是函数微分在泛函里的推广。简单来说,正如微分为函数改变量的主要线性部分,变分是泛函改变量的主要线性部分。另一方面,若将函数和泛函用参数的形式表示,则函数 ϕ(t)=f(x1+th1,,xn+thn) 的微分是 ϕ(t) 对于 tt=0 上的微商,而泛函 J(y+tη) 的变分是函数 φ(t)=J(y+tη) 对于参变数 tt=0 时的微商。下面来具体讨论!

1. 微分

   先简略复习一下多元函数微分的定义是有必要的。

微分第一定义

   设已给函数 f(x1,,xn) 具有一阶连续偏微商,则有

(1)f(x1+h1,,xn+hn)f(x1,,xn)=i=1nf(x1,,xn)xihi+ϵ ,
其中 ϵ 是相对于 |hi| 中最大者(或 h12+h22++hn2)的 高阶无穷小。而
(2)i=1nf(x1,,xn)xihi 
是改变量 h1,h2,,hn 的线性函数,称为函数 f(x1,,xn)微分

微分第二定义

   n 维空间中,过点 (x1,,xn)(x1+h1,,xn+hn) 的直线为 (x1+th1,,xn+thn)(<t<+)。在这条直线上函数 f 化为参变数 t 的函数

(3)ϕ(t)=f(x1+th1,,xn+thn) ,
则有
(4)ϕ(t)=ddtf(x1+th1,,xn+thn)=i=1nf(x1+th1,,xn+thn)xihi ,ϕ(0)=i=1nf(x1,,xn)xihi ,
这就是说,微分 i=1nf(x1,,xn)xihiϕ(t) 对于 tt=0 上的微商。

2. 变分

变分第一定义

   设已给泛函

(5)J=abF(x,y,y)dx .
这里 F 对于三个变数都有连续的二阶微商,并且 y=y(x) 属于具有连续微商的函数类 C1(若函数 f(x) 在其定义域上直到 n 阶微商都连续,则称 f(x) Cn的)。

   设 y(x),y(x)C1 类的,且

(6)η(x)=y(x)y(x) ,
η(x) 显然是连续的。作
(7)J(y)J(y)=ab[F(x,y+η,y+η)F(x,y,y)]dx .
由拉格朗日微分中值定理定理 2

  • 这里应该是多元函数的拉格朗日中值定理,应完善相关文章插入引用

   式 7 可写为

(8)J(y)J(y)=ab[F~yη(x)+F~yη(x)]dx ,
其中 F~ 表示它的变数 y~,y~ 分别在 y,yy,y 之间。

   因为对 axb,总假设曲线之间的距离是一级的定义 2 。有

(9)|yy|<|η(x)|r(y,y) ,|yy|<|η(x)|r(y,y) .
由于 Fy,Fy 连续,任给 ϵ,当 r(y,y) 充分小时,将有
(10)|F~yFy|<ϵ ,|F~yFy|<ϵ ,
所以
(11)J(y)J(y)=ab[Fyη(x)+Fyη(x)]dx+ab[(F~yFy)η(x)+(F~yFy)η(x)]dx=ab[Fyη(x)+Fyη(x)]dx+ϵ1r(y,y) .
这里根据不等式式 10 ϵ1r(y,y) 而趋于 0。表达式 ab[Fyη(x)+Fyη(x)]dx 与泛函改变量只差一个比 r(y,y) 更高阶的无穷小量,它显然线性的依赖于 η(x),即是泛函 J 改变量的主要线性部分,称为泛函 J变分,记作 δJ
(12)δJ=ab[Fy(x,y,y)η(x)+Fy(x,y,y)η(x)]dx .
可见,变分是依赖于函数 y(x) 和改变量 η(x) 的泛函。

变分第二定义

   考虑一个含参的函数族 y(x)+tη(x),其中 y(x),η(x) 固定,泛函 J(y+tη) 化为 t 的函数

(13)φ(t)=J(y+tη) .
式 11
(14)J(y+tη)J(y)=tab(Fyη+Fyη)dx+ϵt ,
其中,ϵt=ϵ1r(y,y+tη)=ϵ1|t|r(y,y+η),且
(15)limt0ϵtt=0 ,
因而
(16)φ(0)=limt0φ(t)φ(0)t=limt0J(y+tη)J(y)t=ab(Fyη+Fyη)dx ,
于是变分是函数 φ(t)=J(y+tη) 对于 tt=0 时的微商。于是,得到变分的另一定义:变分是函数 φ(t)=J(y+tη) 对于参变数 tt=0 时的微商。

函数的变分

   在泛函的变分 δJ 的表式式 12 中,函数 y(x) 的改变量 η(x) 称为 y(x)变分,记作 δy(x),即

(17)δy(x)=η(x)=y(x)y(x) .

   因此,变分 δJ 式 12 可写为

(18)δJ=ab[Fy(x,y,y)δy+Fy(x,y,y)δy]dx .


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