变分

                     

贡献者: 零穹

预备知识 绝对极值与相对极值(变分学)

   泛函是函数概念中自变数用函数替换的推广,而变分则是函数微分在泛函里的推广.简单来说,正如微分为函数改变量的主要线性部分,变分是泛函改变量的主要线性部分.另一方面,若将函数和泛函用参数的形式表示,则函数 $\phi(t)=f(x_1+th_1,\cdots,x_n+th_n) $ 的微分是 $\phi(t)$ 对于 $t$ 在 $t=0$ 上的微商,而泛函 $J(y+t\eta)$ 的变分是函数 $\varphi(t)=J(y+t\eta)$ 对于参变数 $t$ 在 $t=0$ 时的微商.下面来具体讨论!

1. 微分

   先简略复习一下多元函数微分的定义是有必要的.

微分第一定义

   设已给函数 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 具有一阶连续偏微商,则有

\begin{equation} \begin{aligned} &f(x_1+h_1,\cdots,x_n+h_n)-f(x_1,\cdots,x_n)\\ &=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f(x_1,\cdots,x_n)}{\partial x_i} h_i+\epsilon \end{aligned} \end{equation}
其中 $\epsilon$ 是相对于 $ \left\lvert h_i \right\rvert $ 中最大者(或 $\sqrt{h_1^2+h_2^2+\cdots+h_n^2}$)的 高阶无穷小.而
\begin{equation} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f(x_1,\cdots,x_n)}{\partial x_i} h_i \end{equation}
是改变量 $h_1,h_2,\cdots,h_n$ 的线性函数,称为函数 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 的微分

微分第二定义

   $n$ 维空间中,过点 $(x_1,\cdots,x_n)$ 和 $(x_1+h_1,\cdots,x_n+h_n)$ 的直线为 $(x_1+th_1,\cdots,x_n+th_n)\;(-\infty < t < +\infty)$.在这条直线上函数 $f$ 化为参变数 $t$ 的函数

\begin{equation} \phi(t)=f(x_1+th_1,\cdots,x_n+th_n) \end{equation}
则有
\begin{equation} \begin{aligned} \phi'(t)&= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} f(x_1+th_1,\cdots,x_n+th_n) \\ &=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f(x_1+th_1,\cdots,x_n+th_n)}{\partial x_i} h_i \\ \Downarrow \\ \phi'(0)&=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f(x_1,\cdots,x_n)}{\partial x_i} h_i \end{aligned} \end{equation}
这就是说,微分 $\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f(x_1,\cdots,x_n)}{\partial x_i} h_i$ 是 $\phi(t)$ 对于 $t$ 在 $t=0$ 上的微商.

2. 变分

变分第一定义

   设已给泛函

\begin{equation} J=\int_a^b F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
这里 $F$ 对于三个变数都有连续的二阶微商,并且 $y=y(x)$ 属于具有连续微商的函数类 $C_1$(若函数 $f(x)$ 在其定义域上直到 $n$ 阶微商都连续,则称 $f(x)$ 是 $C_n$ 类的).

   设 $y(x),\overline{y}(x)$ 是 $C_1$ 类的,且

\begin{equation} \eta(x)=\overline{y}(x)-y(x) \end{equation}
则 $\eta'(x)$ 显然是连续的.作
\begin{equation} J(\overline{y})-J(y)=\int_a^b \left[F(x,y+\eta,y'+\eta')-F(x,y,y') \right] \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
由拉格朗日微分中值定理定理 2

  • 这里应该是多元函数的拉格朗日中值定理,应完善相关词条插入引用

   式 7 可写为

\begin{equation} J(\overline{y})-J(y)=\int_a^b \left[\tilde{F}'_y\eta(x)+\tilde{F}'_{y'}\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
其中 $\tilde{F}$ 表示它的变数 $\tilde{y},\tilde{y}'$ 分别在 $y,\overline{y}$ 和 $y',\overline{y}'$ 之间.

   因为对 $a\leq x\leq b$,总假设曲线之间的距离是一级的定义 2 .有

\begin{equation} \begin{aligned} & \left\lvert \overline{y}-y \right\rvert < \left\lvert \eta(x) \right\rvert \leq r(y,\overline{y})\\ & \left\lvert \overline{y}'-y \right\rvert < \left\lvert \eta'(x) \right\rvert \leq r(y,\overline{y}) \end{aligned} \end{equation}
由于 $F_y,F_{y'}$ 连续,任给 $\epsilon$,当 $r(y,\overline{y})$ 充分小时,将有
\begin{equation} \left\lvert \tilde{F}'_y-F'_y \right\rvert < \epsilon,\quad \left\lvert \tilde{F}'_{y'}-F'_{y'} \right\rvert < \epsilon \end{equation}
所以
\begin{equation} \begin{aligned} &J(\overline{y})-J(y)\\ &=\int_a^b \left[F'_y\eta(x)+F'_{y'}\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} +\int_a^b \left[(\tilde{F}'_y-F'_y)\eta(x)+(\tilde{F}'_{y'}-F'_{y'})\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} \\ &=\int_a^b \left[F'_y\eta(x)+F'_{y'}\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} +\epsilon_1r(y,\overline{y}) \end{aligned} \end{equation}
这里根据不等式式 10 ,$\epsilon_1$ 随 $r(y,\overline{y})$ 而趋于 0.表达式 $\int_a^b \left[F'_y\eta(x)+F'_{y'}\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} $ 与泛函改变量只差一个比 $r(y,\overline{y})$ 更高阶的无穷小量,它显然线性的依赖于 $\eta(x)$,即是泛函 $J$ 改变量的主要线性部分,称为泛函 $J$ 的变分,记作 $\delta{J}$:
\begin{equation} \delta J=\int_a^b \left[F'_y(x,y,y')\eta(x)+F'_{y'}(x,y,y')\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
可见,变分是依赖于函数 $y(x)$ 和改变量 $\eta(x)$ 的泛函.

变分第二定义

   考虑一个含参的函数族 $y(x)+t\eta(x)$,其中 $y(x),\eta(x)$ 固定,泛函 $J(y+t\eta)$ 化为 $t$ 的函数

\begin{equation} \varphi(t)=J(y+t\eta) \end{equation}
式 11
\begin{equation} J(y+t\eta)-J(y)=t\int_a^b \left(F'_y\eta+F'_{y'}\eta' \right) \,\mathrm{d}{x} +\epsilon_t \end{equation}
其中,$\epsilon_t=\epsilon_1r(y,y+t\eta)=\epsilon_1 \left\lvert t \right\rvert r(y,y+\eta)$,且
\begin{equation} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\epsilon_t}{t}=0 \end{equation}
因而
\begin{equation} \varphi'(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{J(y+t\eta)-J(y)}{t}=\int_a^b \left(F'_y\eta+F'_{y'}\eta' \right) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
于是变分是函数 $\varphi(t)=J(y+t\eta)$ 对于 $t$ 在 $t=0$ 时的微商.于是,得到变分的另一定义:变分是函数 $\varphi(t)=J(y+t\eta)$ 对于参变数 $t$ 当 $t=0$ 时的微商.

函数的变分

   在泛函的变分 $\delta J$ 的表式式 12 中,函数 $y(x)$ 的改变量 $\eta(x)$ 称为 $y(x)$ 的变分,记作 $\delta y(x)$,即

\begin{equation} \delta y(x)=\eta(x)=\overline{y}(x)-y(x) \end{equation}

   因此,变分 $\delta J$ 式 12 可写为

\begin{equation} \delta J=\int_a^b \left[F'_y(x,y,y')\delta y+F'_{y'}(x,y,y')\delta y' \right] \,\mathrm{d}{x} \end{equation}


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