变分

                     

贡献者： 零穹

　　 泛函是函数概念中自变数用函数替换的推广，而变分则是函数微分在泛函里的推广。简单来说，正如微分为函数改变量的主要线性部分，变分是泛函改变量的主要线性部分。另一方面，若将函数和泛函用参数的形式表示，则函数 $\phi(t)=f(x_1+th_1,\cdots,x_n+th_n) $ 的微分是 $\phi(t)$ 对于 $t$ 在 $t=0$ 上的微商，而泛函 $J(y+t\eta)$ 的变分是函数 $\varphi(t)=J(y+t\eta)$ 对于参变数 $t$ 在 $t=0$ 时的微商。下面来具体讨论！

1. 微分

　　 先简略复习一下多元函数微分的定义是有必要的。

微分第一定义

　　 设已给函数 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 具有一阶连续偏微商，则有

其中 $\epsilon$ 是相对于 $ \left\lvert h_i \right\rvert $ 中最大者（或 $\sqrt{h_1^2+h_2^2+\cdots+h_n^2}$）的 高阶无穷小。而 是改变量 $h_1,h_2,\cdots,h_n$ 的线性函数，称为函数 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 的微分。

微分第二定义

　　 $n$ 维空间中，过点 $(x_1,\cdots,x_n)$ 和 $(x_1+h_1,\cdots,x_n+h_n)$ 的直线为 $(x_1+th_1,\cdots,x_n+th_n)\;(-\infty< t<+\infty)$。在这条直线上函数 $f$ 化为参变数 $t$ 的函数

则有 这就是说，微分 $\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f(x_1,\cdots,x_n)}{\partial x_i} h_i$ 是 $\phi(t)$ 对于 $t$ 在 $t=0$ 上的微商。

2. 变分

变分第一定义

　　 设已给泛函

这里 $F$ 对于三个变数都有连续的二阶微商，并且 $y=y(x)$ 属于具有连续微商的函数类 $C_1$（若函数 $f(x)$ 在其定义域上直到 $n$ 阶微商都连续，则称 $f(x)$ 是 $C_n$ 类的）。

　　 设 $y(x),\overline{y}(x)$ 是 $C_1$ 类的，且

则 $\eta'(x)$ 显然是连续的。作 由拉格朗日微分中值定理定理 2

　　 式 7 可写为

其中 $\tilde{F}$ 表示它的变数 $\tilde{y},\tilde{y}'$ 分别在 $y,\overline{y}$ 和 $y',\overline{y}'$ 之间。

　　 因为对 $a\leq x\leq b$，总假设曲线之间的距离是一级的定义 2 。有

由于 $F_y,F_{y'}$ 连续，任给 $\epsilon$，当 $r(y,\overline{y})$ 充分小时，将有 所以 这里根据不等式式 10 ，$\epsilon_1$ 随 $r(y,\overline{y})$ 而趋于 0。表达式 $\int_a^b \left[F'_y\eta(x)+F'_{y'}\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} $ 与泛函改变量只差一个比 $r(y,\overline{y})$ 更高阶的无穷小量，它显然线性的依赖于 $\eta(x)$，即是泛函 $J$ 改变量的主要线性部分，称为泛函 $J$ 的变分，记作 $\delta{J}$： 可见，变分是依赖于函数 $y(x)$ 和改变量 $\eta(x)$ 的泛函。

变分第二定义

　　 考虑一个含参的函数族 $y(x)+t\eta(x)$，其中 $y(x),\eta(x)$ 固定，泛函 $J(y+t\eta)$ 化为 $t$ 的函数

由式 11 其中，$\epsilon_t=\epsilon_1r(y,y+t\eta)=\epsilon_1 \left\lvert t \right\rvert r(y,y+\eta)$，且 因而 于是变分是函数 $\varphi(t)=J(y+t\eta)$ 对于 $t$ 在 $t=0$ 时的微商。于是，得到变分的另一定义：变分是函数 $\varphi(t)=J(y+t\eta)$ 对于参变数 $t$ 当 $t=0$ 时的微商。

函数的变分

　　 在泛函的变分 $\delta J$ 的表式式 12 中，函数 $y(x)$ 的改变量 $\eta(x)$ 称为 $y(x)$ 的变分，记作 $\delta y(x)$，即

　　 因此，变分 $\delta J$ 式 12 可写为