变分
贡献者: 零穹
泛函是函数概念中自变数用函数替换的推广,而变分则是函数微分在泛函里的推广。简单来说,正如微分为函数改变量的主要线性部分,变分是泛函改变量的主要线性部分。另一方面,若将函数和泛函用参数的形式表示,则函数 的微分是 对于 在 上的微商,而泛函 的变分是函数 对于参变数 在 时的微商。下面来具体讨论!
1. 微分
先简略复习一下多元函数微分的定义是有必要的。
微分第一定义
设已给函数 具有一阶连续偏微商,则有
其中 是相对于 中最大者(或 )的 高阶无穷小。而
是改变量 的线性函数,称为函数 的
微分。
微分第二定义
维空间中,过点 和 的直线为 。在这条直线上函数 化为参变数 的函数
则有
这就是说,微分 是 对于 在 上的微商。
2. 变分
变分第一定义
设已给泛函
这里 对于三个变数都有连续的二阶微商,并且 属于具有连续微商的函数类 (若函数 在其定义域上直到 阶微商都连续,则称 是
类的)。
设 是 类的,且
则 显然是连续的。作
由拉格朗日微分中值定理
定理 2
- 这里应该是多元函数的拉格朗日中值定理,应完善相关文章插入引用
式 7 可写为
其中 表示它的变数 分别在 和 之间。
因为对 ,总假设曲线之间的距离是一级的定义 2 。有
由于 连续,任给 ,当 充分小时,将有
所以
这里根据不等式
式 10 , 随 而趋于 0。表达式 与泛函改变量只差一个比 更高阶的无穷小量,它显然线性的依赖于 ,即是泛函 改变量的主要线性部分,称为泛函 的
变分,记作 :
可见,变分是依赖于函数 和改变量 的泛函。
变分第二定义
考虑一个含参的函数族 ,其中 固定,泛函 化为 的函数
由
式 11
其中,,且
因而
于是变分是函数 对于 在 时的微商。于是,得到变分的另一定义:变分是函数 对于参变数 当 时的微商。
函数的变分
在泛函的变分 的表式式 12 中,函数 的改变量 称为 的变分,记作 ,即
因此,变分 式 12 可写为
致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者
热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。