变分的基本定理(变分学)

                     

贡献者: 零穹

预备知识 变分的变换

   本节给出的两个定理,将有助于引出欧拉方程.其中一个定理属于拉格朗日,另一个属于黎曼.由拉格朗日推演的欧拉方程是不精确的,这可从拉格朗日变换的定义中看到.而由黎曼推演可精确的推出欧拉方程,并且得到在极值曲线的正规点上,$y''$ 存在,而这是事先并未假定的.本节将证明推演欧拉方程用到的这两个定理.

定理 1 (拉格朗日)

   若对任意的属于 $C_1$ 类(子节 2 )的函数 $\eta(x)$,并且其满足 $\eta(a)=\eta(b)=0$,属于 $C_1$ 类的函数 $M(x)$ 都有

\begin{equation} \int_a^b M(x)\eta(x) \,\mathrm{d}{x} =0 \end{equation}
则对于一切的 $a\leq x\leq b,M(x)=0$.

定理 2 (黎曼)

   若对任意的属于 $C_1$ 类的函数 $\eta(x)$,并且其满足 $\eta(a)=\eta(b)=0$,属于 $C_1$ 类的函数 $M(x)$ 都有

\begin{equation} \int_a^b M(x)\eta'(x) \,\mathrm{d}{x} =0 \end{equation}
则对于一切的 $a\leq x\leq b$,$M(x)$ 为常数.

1. 证明

   以下将用反证法证明.

定理 1 的证明

   设在区间 $[a,b]$ 上某点 $c$,$M(c)\neq0$.例如 $M(c) > 0$,由于 $M(x)$ 的连续性,取充分大的 $n$,可以得到包含在 $[a,b]$ 内的区间 $[x_0,x_0+\frac{\pi}{n}]$,它包含着 $c$ 点,并且在它上面 $M(x)$ 大于某一正数 $m$. 定义

\begin{equation} \eta_0(x)= \left\{\begin{aligned} &\sin^2 [n(x-x_0)], \quad & x\in [x_0,x_0+\frac{\pi}{n}]\\ &0, \quad & other \end{aligned}\right. \end{equation}
则函数 $\eta_0(x)$ 是 $C_1$ 类的,且 $\eta_0(a)=\eta_0(b)=0$.因此,由定理 1 条件,式 1 成立. 但
\begin{equation} \begin{aligned} &\int_a^b M(x)\eta_0(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &=\int_{x_0}^{x_0+\frac{\pi}{n}}M(x)\sin^2[n(x-x_0)] \,\mathrm{d}{x} \\ & > m\int_{x_0}^{x_0+\frac{\pi}{n}}\sin^2[n(x-x_0)] \,\mathrm{d}{x} =\frac{\pi m}{2n} > 0 \end{aligned} \end{equation}
这与式 1 矛盾,故定理 1 得证.

定理 2 的证明

   设 $M(x)$ 不是常数,则在区间 $[a,b]$ 上,至少有两点 $c_1,c_2$,使得 $M(c_1)\neq M(c_2)$,设 $M(c_1) > M(c_2)$.由 $M(x)$ 的连续性,存在 $d_1,d_2$,使得

\begin{equation} M(c_1) > d_1 > d_2 > M(c_2) \end{equation}
并且取充分大的 $n$,可以得到包含在 $[a,b]$ 内的一对区间 $[x_0,x_0+\frac{\pi}{n}]$ 和 $[x_1,x_1+\frac{\pi}{n}]$,它们分别包含着点 $c_1$ 和 $c_2$,并且在前一区间上面 $M(x) > d_1$,而在另一区间上,$M(x) < d_2$.定义函数
\begin{equation} \eta'(x)= \left\{\begin{aligned} &\sin^2[n(x-x_0)],\quad &x\in[x_0,x_0+\frac{\pi}{n}]\\ &-\sin^2[n(x-x_1)],\quad &x\in[x_1,x_1+\frac{\pi}{n}]\\ &0,\quad &other \end{aligned}\right. \end{equation}
显然,$\eta'(x)$ 连续,所以函数 $\eta(x)=\int_a^x\eta'(x) \,\mathrm{d}{x} $ 连续且有连续微商 $\eta'(x)$,并且 $\eta(a)=\eta(b)=0$,由定理 2 条件,式 2 成立,但
\begin{equation} \begin{aligned} &\int_a^b M(x)\eta'(x) \,\mathrm{d}{x} =\\ &\int_{x_0}^{x_0+\frac{\pi}{n}}M(x)\sin^2[n(x-x_0)] \,\mathrm{d}{x} -\int_{x_1}^{x_1+\frac{\pi}{n}}M(x)\sin^2[n(x-x_1)] \,\mathrm{d}{x} \\ & > (d_1-d_2)\int_0^{\frac{\pi}{n}}\sin^2nx \,\mathrm{d}{x} > 0 \end{aligned} \end{equation}
这与式 2 矛盾,故定理 2 得证.


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利