变分的基本定理（变分学）

贡献者：零穹

预备知识　变分的变换

　　本节给出的两个定理，将有助于引出欧拉方程。其中一个定理属于拉格朗日，另一个属于黎曼。由拉格朗日推演的欧拉方程是不精确的，这可从拉格朗日变换的定义中看到。而由黎曼推演可精确的推出欧拉方程，并且得到在极值曲线的正规点上， $y^{″}$ 存在，而这是事先并未假定的。本节将证明推演欧拉方程用到的这两个定理。

定理 1　（拉格朗日）

　　若对任意的属于 $C_{1}$ 类（子节 2 ）的函数 $η (x)$ ，并且其满足 $η (a) = η (b) = 0$ ，属于 $C_{1}$ 类的函数 $M (x)$ 都有

\begin{matrix} (1) & \int_{a}^{b} M (x) η (x) d x = 0, \end{matrix}

则对于一切的

a \leq x \leq b, M (x) = 0

定理 2　（黎曼）

　　若对任意的属于 $C_{1}$ 类的函数 $η (x)$ ，并且其满足 $η (a) = η (b) = 0$ ，属于 $C_{1}$ 类的函数 $M (x)$ 都有

\begin{matrix} (2) & \int_{a}^{b} M (x) η^{'} (x) d x = 0, \end{matrix}

则对于一切的

a \leq x \leq b

，

M (x)

为常数。

1. 证明

　　以下将用反证法证明。

定理 1 的证明

　　设在区间 $[a, b]$ 上某点 $c$ ， $M (c) \neq 0$ 。例如 $M (c) > 0$ ，由于 $M (x)$ 的连续性，取充分大的 $n$ ，可以得到包含在 $[a, b]$ 内的区间 $[x_{0}, x_{0} + \frac{π}{n}]$ ，它包含着 $c$ 点，并且在它上面 $M (x)$ 大于某一正数 $m$ 。定义

\begin{matrix} (3) & η_{0} (x) = {\begin{aligned} \sin^{2} [n (x - x_{0})] & (x \in [x_{0}, x_{0} + \frac{π}{n}]) \\ 0 & (o t h e r) . \end{aligned} \end{matrix}

则函数

η_{0} (x)

是

C_{1}

类的，且

η_{0} (a) = η_{0} (b) = 0

。因此，由定理 1 条件，式 1 成立。但

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \int_{a}^{b} M (x) η_{0} (x) d x \\ = \int_{x_{0}}^{x_{0} + \frac{π}{n}} M (x) \sin^{2} [n (x - x_{0})] d x \\ > m \int_{x_{0}}^{x_{0} + \frac{π}{n}} \sin^{2} [n (x - x_{0})] d x = \frac{π m}{2 n} > 0 . \end{aligned} \end{matrix}

这与式 1 矛盾，故定理 1 得证。

定理 2 的证明

　　设 $M (x)$ 不是常数，则在区间 $[a, b]$ 上，至少有两点 $c_{1}, c_{2}$ ，使得 $M (c_{1}) \neq M (c_{2})$ ，设 $M (c_{1}) > M (c_{2})$ 。由 $M (x)$ 的连续性，存在 $d_{1}, d_{2}$ ，使得

\begin{matrix} (5) & M (c_{1}) > d_{1} > d_{2} > M (c_{2}) . \end{matrix}

并且取充分大的

n

，可以得到包含在

[a, b]

内的一对区间

[x_{0}, x_{0} + \frac{π}{n}]

和

[x_{1}, x_{1} + \frac{π}{n}]

，它们分别包含着点

c_{1}

和

c_{2}

，并且在前一区间上面

M (x) > d_{1}

，而在另一区间上，

M (x) < d_{2}

。定义函数

\begin{matrix} (6) & η^{'} (x) = {\begin{aligned} \sin^{2} [n (x - x_{0})] & (x \in [x_{0}, x_{0} + \frac{π}{n}]) \\ - \sin^{2} [n (x - x_{1})] & (x \in [x_{1}, x_{1} + \frac{π}{n}]) \\ 0 & (o t h e r) . \end{aligned} \end{matrix}

显然，

η^{'} (x)

连续，所以函数

η (x) = \int_{a}^{x} η^{'} (x) d x

连续且有连续微商

η^{'} (x)

，并且

η (a) = η (b) = 0

，由定理 2 条件，式 2 成立，但

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} \int_{a}^{b} M (x) η^{'} (x) d x = \\ \int_{x_{0}}^{x_{0} + \frac{π}{n}} M (x) \sin^{2} [n (x - x_{0})] d x - \int_{x_{1}}^{x_{1} + \frac{π}{n}} M (x) \sin^{2} [n (x - x_{1})] d x \\ > (d_{1} - d_{2}) \int_{0}^{\frac{π}{n}} \sin^{2} n x d x > 0 . \end{aligned} \end{matrix}

这与式 2 矛盾，故定理 2 得证。

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