变分的基本定理(变分学)

                     

贡献者: 零穹

预备知识 变分的变换

   本节给出的两个定理,将有助于引出欧拉方程。其中一个定理属于拉格朗日,另一个属于黎曼。由拉格朗日推演的欧拉方程是不精确的,这可从拉格朗日变换的定义中看到。而由黎曼推演可精确的推出欧拉方程,并且得到在极值曲线的正规点上,$y''$ 存在,而这是事先并未假定的。本节将证明推演欧拉方程用到的这两个定理。

定理 1 (拉格朗日)

   若对任意的属于 $C_1$ 类(子节 2 )的函数 $\eta(x)$,并且其满足 $\eta(a)=\eta(b)=0$,属于 $C_1$ 类的函数 $M(x)$ 都有

\begin{equation} \int_a^b M(x)\eta(x) \,\mathrm{d}{x} =0~, \end{equation}
则对于一切的 $a\leq x\leq b,M(x)=0$.

定理 2 (黎曼)

   若对任意的属于 $C_1$ 类的函数 $\eta(x)$,并且其满足 $\eta(a)=\eta(b)=0$,属于 $C_1$ 类的函数 $M(x)$ 都有

\begin{equation} \int_a^b M(x)\eta'(x) \,\mathrm{d}{x} =0~, \end{equation}
则对于一切的 $a\leq x\leq b$,$M(x)$ 为常数。

1. 证明

   以下将用反证法证明。

定理 1 的证明

   设在区间 $[a,b]$ 上某点 $c$,$M(c)\neq0$。例如 $M(c)>0$,由于 $M(x)$ 的连续性,取充分大的 $n$,可以得到包含在 $[a,b]$ 内的区间 $[x_0,x_0+\frac{\pi}{n}]$,它包含着 $c$ 点,并且在它上面 $M(x)$ 大于某一正数 $m$。 定义

\begin{equation} \eta_0(x)= \left\{\begin{aligned} &\sin^2 [n(x-x_0)] \quad && (x\in [x_0,x_0+\frac{\pi}{n}])\\ &0 \quad &&(other)~. \end{aligned}\right. \end{equation}
则函数 $\eta_0(x)$ 是 $C_1$ 类的,且 $\eta_0(a)=\eta_0(b)=0$。因此,由定理 1 条件,式 1 成立。 但
\begin{equation} \begin{aligned} &\int_a^b M(x)\eta_0(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &=\int_{x_0}^{x_0+\frac{\pi}{n}}M(x)\sin^2[n(x-x_0)] \,\mathrm{d}{x} \\ &>m\int_{x_0}^{x_0+\frac{\pi}{n}}\sin^2[n(x-x_0)] \,\mathrm{d}{x} =\frac{\pi m}{2n}>0~. \end{aligned} \end{equation}
这与式 1 矛盾,故定理 1 得证。

定理 2 的证明

   设 $M(x)$ 不是常数,则在区间 $[a,b]$ 上,至少有两点 $c_1,c_2$,使得 $M(c_1)\neq M(c_2)$,设 $M(c_1)>M(c_2)$。由 $M(x)$ 的连续性,存在 $d_1,d_2$,使得

\begin{equation} M(c_1)>d_1>d_2>M(c_2)~. \end{equation}
并且取充分大的 $n$,可以得到包含在 $[a,b]$ 内的一对区间 $[x_0,x_0+\frac{\pi}{n}]$ 和 $[x_1,x_1+\frac{\pi}{n}]$,它们分别包含着点 $c_1$ 和 $c_2$,并且在前一区间上面 $M(x)>d_1$,而在另一区间上,$M(x)< d_2$。定义函数
\begin{equation} \eta'(x)= \left\{\begin{aligned} &\sin^2[n(x-x_0)]\quad &&(x\in[x_0,x_0+\frac{\pi}{n}])\\ &-\sin^2[n(x-x_1)]\quad &&(x\in[x_1,x_1+\frac{\pi}{n}])\\ &0\quad &&(other)~. \end{aligned}\right. \end{equation}
显然,$\eta'(x)$ 连续,所以函数 $\eta(x)=\int_a^x\eta'(x) \,\mathrm{d}{x} $ 连续且有连续微商 $\eta'(x)$,并且 $\eta(a)=\eta(b)=0$,由定理 2 条件,式 2 成立,但
\begin{equation} \begin{aligned} &\int_a^b M(x)\eta'(x) \,\mathrm{d}{x} =\\ &\int_{x_0}^{x_0+\frac{\pi}{n}}M(x)\sin^2[n(x-x_0)] \,\mathrm{d}{x} -\int_{x_1}^{x_1+\frac{\pi}{n}}M(x)\sin^2[n(x-x_1)] \,\mathrm{d}{x} \\ &>(d_1-d_2)\int_0^{\frac{\pi}{n}}\sin^2nx \,\mathrm{d}{x} >0~. \end{aligned} \end{equation}
这与式 2 矛盾,故定理 2 得证。


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