商拓扑

             

预备知识 二元关系,映射,拓扑空间

1. 商集

   拓扑空间本身作为一个集合,可以在其上定义某种等价关系,由此可以得到等价类所构成的商集.我们可以将同一个等价类中的点看成是同一个点,把商集看成是原集合中部分点相互粘合所得到的集合.

例 1 烟卷

   在 $\mathbb{R}^2$ 中取一个矩形的闭子集:$A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\in[-1,1],y\in[0,1]\}$.在这个闭子集上定义一个等价关系 $\sim$ 如下:对于 $y\in[0,1]$,有 $(1, y)\sim(-1, y)$;其它点都只和自己等价.如果把 $A$ 看成一个矩形纸条,那么商集 $A/\sim$ 可以看成是这个纸条的两边对应点粘在一起,卷成一个烟卷的样子.

图
图 1:卷纸条的过程示意.左边是矩形纸条 $A$,右边是模去等价关系 $\sim$(或者说把等价的点粘在一起)以后得到的集合.

   我们给出纸条 $A$ 的准确坐标只是为了方便描述上述等价关系.实际上,在 $\mathbb{R}^2$ 中选择任意的有界连通闭子集,都可以找到这个闭子集和 $A$ 的同胚映射,在拓扑意义下它们就是相同的集合.取一个任意的四边形、三角形或者不规则图形都可以,你可以直观地想象成揉捏一个橡皮泥,只要不撕裂它,不把本来分开的点粘在一起,那揉出来的任何形状都是同胚的.当然,用矩形纸条描述以上商集最为方便.

例 2 甜甜圈

   还是利用例 1 中的 $A$,这次等价关系 $\sim$ 为:对于 $x\in[-1,1], y\in[0,1]$,有 $(x,0)\sim(x,1), (1, y)\sim(-1, y)$,其它点只和自己等价.这一次,商集 $A/\sim$ 可以看成把纸条的左右两边粘合,上下两边也粘合.先粘合哪些点并没有要求,所以可以先粘合成烟卷,再粘合成甜甜圈或者说轮胎的形状.

   这种粘合若干边的商集很常见,我们可以定义一种图形化的表示方法,来表示等价关系.以烟卷为例,我们把待粘合的边表示为一个箭头,取名为 $x$,然后把两个 $x$ 箭头按照 “头对头,尾对胃” 的方向粘在一起,如图所示:

图
图 2:名称相同的箭头视为同一个,把它们粘连在一起.图示两个形状是相同的,左边的有两个同为 $x$ 的箭头,要把它们粘连起来,结果是烟卷形状;右边只有一个箭头,不用进行粘连操作了,它本身也就是烟卷形状.

   用这种箭头表示法,也可以通过在矩形上标注箭头 $x$ 和 $y$ 来表示一个甜甜圈:

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图 3:甜甜圈的四种箭头表示方法.这四种方法是完全等价的.

例 3 莫比乌斯环

   用箭头表示法可以很轻松地表示一个莫比乌斯环(Mobius).考虑到莫比乌斯环是把纸条的一边翻转以后再和对边粘连而成的,我们可以如图 4 画出莫比乌斯环的箭头表示法.如果只涉及一组边的粘合,我们可以在不引起混淆的情况下省去对箭头的命名.

图
图 4:一个莫比乌斯环.将两个未命名的箭头粘在一起

例 4 克莱因瓶

   用箭头表示法来表示一个克莱因瓶(Klein's Bottle)

图
图 5:克莱因瓶的一种表示.我们可以把克莱因瓶看成先把 $x$ 粘起来,再把 $y$ 粘起来的操作,同样也可以看成先粘连 $y$ 再粘连 $x$,只是后一种思路复杂得多,更难想象.

   注意克莱因瓶的定义中,两个 $y$ 箭头的朝向相反.如果先粘连 $y$ 箭头的话,所得到的就是一个莫比乌斯环,由此可以看出莫比乌斯环和克莱因瓶的相似性.

例 5 射影平面

   射影平面和克莱因瓶、莫比乌斯带一样,如果一只蚂蚁在射影平面上爬行并且不离开平面也不触及边缘,它总能爬到出发点的对面.用箭头表示法来表示射影平面如下:

图
图 6:射影平面示意图.矩形和圆形的示意图是等价的.射影平面很难直观地画出来,多数情况下只能这样表示.

   如果在射影平面的中间挖去一个洞,那么我们就得到了莫比乌斯带.射影平面实际上是莫比乌斯带将边缘粘连起来的结果.

   如何看出射影平面挖去一个洞之后就变成莫比乌斯带呢?我们需要反其道而行之,把平面 “暂时” 剪开,之后再粘连起来.如图 7 所示.

图
图 7:从射影平面中间挖去一个洞得到莫比乌斯带示意图.第一步是标注出两个箭头 $z$ 和 $y$,第二步沿着 $z$ 和 $y$ 箭头将图形剪开,第三步是将 $x$ 箭头粘连起来,第四步是将粘连起来的 $x$ 擦掉,并将 $y$ 和 $z$ 合并,省略名称.可见这就是一个莫比乌斯环.

2. 商拓扑

   给定拓扑空间 $(X, \mathcal{T})$,以及集合 $X$ 上任意一个等价关系 $\sim$,定义集合间的映射 $f:X\rightarrow X/\sim$,把 $X$ 中的每一个点 $P$ 都映射到 $P$ 所属的等价类上.那么商集 $X/\sim$ 上可以定义一个新的拓扑 $\mathcal{T}_\sim=\{U\in X/\sim: f^{-1}(U)\in\mathcal{T}\}$.将这个新的拓扑称为商拓扑(quotient topology)

   注意,商集中某个点的逆映射,不是 $X$ 中对应的这个点,而是这个点所属的整个等价类.

例 6 

  

   还是使用例 1 中的 $A$,这次把等价关系 $\sim$ 定义为:矩形的底部 $\{(x,0)|x\in[-1,1]\}$ 所有点都是等价的,其它部分只和自己等价.映射 $f:A\rightarrow A/\sim$ 把 $A$ 中的点映射到其等价类上.

   假设 $A$ 的底部在 $A/\sim$ 中对应的一个点叫 $P$,那么 $X/\sim$ 中任何包含 $P$ 的开集,其逆映射都是 $X$ 中包含整个底部的开集.如果记 $R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\in(-1/2,1/2),y\in[0,1]\}$,并记底部为 $B$,那么 $f^{-1}(f(R))\not=R$,而是 $f^{-1}(f(R))=R\cup B$,而这不是一个开集,所以 $f(B)$ 不是 $X/\sim$ 的开集.

图
图 8:$A$,$R$,$B$,$A/\sim$,$f(R)$ 和 $f^{-1}(f(R))$ 的示意图.图中阴影部分表示 $R$ 或 $f(R)$.可见 $f^{-1}(f(R))$ 和 $R$ 相比,底边两端突出了,不再是 $X$ 的开集,因此 $f(R)$ 不是 $X/\sim$ 的开集.

   由例 6 可见,$X$ 和 $X/\sim$ 的开集不一定都会一一对应.

3. 锥空间

   给定任意拓扑空间 $X$,再取 $\mathbb{R}$ 的一个子空间 $I=[0,1]$,那么 $X\times I/\{(x,0)|x\in X\}$ 就是 $X\times I$ 中把全体 $(x, 0)$(底部)粘成一个点的商空间,称作 $X$ 的锥空间,记为 $\widetilde{C}X$.如果再把锥空间的顶部也粘连起来,得到的 $\widetilde{C}X/\{(x,1)|x\in X\}$ 称为 $X$ 的双角锥空间,记为 $\widetilde{S}X$.

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