拓扑空间之间的运算

定义 1　锥化

　　 拓扑空间 $X$ 的锥化空间（或者锥空间、锥，记作 $CX$）定义为 $X$ 和一个单点空间的 join，即 $$CX:=X\times [0,1]/\sim .$$ $(x,1)\sim (y,1)$。

　　 $i:X\hookrightarrow CX,x\mapsto [(x,0)]$ 被称为锥化函数。

定义 2　双角锥化

　　 拓扑空间 $X$ 的双角锥化空间（记作 $SX$）定义为 $$SX:=X\times [0,1]/\sim .$$ $(x,1)\sim (y,1),(x,0)\sim (y,0)$。

　　 $i:X\hookrightarrow SX,x\mapsto [(x,1/2)]$ 被称为双角锥化函数。

定理 1　球面的双角锥化

　　 $S^n$ 是 $n$ 维球面 $$S{S}^n\cong S^{n+1}.$$

定义 3　约化锥化

　　 带基点拓扑空间 $(X,x_0)$ 的约化锥化空间（或者约化锥空间、约化锥，记作 $C^{\ast }X$）是在 $S$ 的锥的基础上再商去所有的 $(x_0,t)$ 得到的，即 $$C^{\ast }X:=X\times [0,1]/\sim .$$ $(x,1)\sim (y,1),(x_0,t)\sim (x_0,s)$。

　　 $i:X\hookrightarrow C^{\ast }X,x\mapsto [(x,0)]$ 被称为约化锥化函数。

定义 4　约化双角锥化

　　 带基点拓扑空间 $(X,x_0)$ 的约化锥化双角空间（或者约化双角锥空间、约化双角锥，记作 $\mathrm{\Sigma }X$）是在 $S$ 的双角锥的基础上再商去所有的 $(x_0,t)$ 得到的，即 $$\mathrm{\Sigma }X:=X\times [0,1]/\sim .$$ $(x,1)\sim (y,1),(x,0)\sim (y,0),(x_0,t)\sim (x_0,s)$。

　　 $i:X\hookrightarrow \mathrm{\Sigma }X,x\mapsto [(x,1/2)]$ 被称为约化双角锥化函数。