拓扑空间之间的运算

                     

贡献者: Giacomo

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1. 概述

   拓扑空间之间的运算指的是,用给定的一些拓扑空间 $X_1, X_2, \dots$,得到一个唯一确定的新拓扑空间,以及新旧拓扑空间之间的映射.

  

未完成:是否需要加上交换图

2. 拓扑空间之间的运算

   详情见词条商拓扑

  

未完成:将商拓扑词条迁移到此处

   详情见词条积拓扑

  

未完成:将积拓扑词条迁移到此处

不交并

   详情见词条定义 1

  

未完成:将积不交并词条迁移到此处

<待定>

   wiki 链接

  

未完成:拓扑空间的 join 运算

锥化<待定>

定义 1 锥化

   拓扑空间 $X$ 的锥化空间(或者锥空间,记作 $C X$)定义为 $X$ 和一个单点空间的 join,即 \[ C X := X \times [0,1] / \sim \] $(x, 1) \sim (y, 1)$.

   $i: X \hookrightarrow C X, x \mapsto [(x, 0)]$ 被称为锥化函数

  

未完成:需要严格定义一下 “运算”,比如这里到底 $C X$,$i$,$(C X, i)$ 哪个才是 “锥化运算”(答案是都可以)

双角锥化<待定>

   wiki 链接

定义 2 双角锥化

   拓扑空间 $X$ 的双角锥化空间(记作 $S X$)定义为 \[ S X := X \times [0,1] / \sim \] $(x, 1) \sim (y, 1), (x, 0) \sim (y, 0)$.

   $i: X \hookrightarrow S X, x \mapsto [(x, 1/2)]$ 被称为双角锥化函数

定理 1 球面的双角锥化

   $S^n$ 是 $n$ 维球面 \[ S S^n \cong S^{n+1} \]

   这也是为什么使用 $S$ 作为双角锥化的符号的原因了(亦可使用 $\mathbb{S}$,如果你喜欢).

  

未完成:词条:$S^n$,$n$ 维球面

3. 带基点拓扑空间之间的运算

   什么是带基点拓扑空间见定义 3

一点并

   详情见词条定义 4

  

未完成:将一点并词条迁移到此处

压缩积

   详情见词条定义 4

  

未完成:将压缩积词条迁移到此处

约化锥化

   wiki 链接

定义 3 约化锥化

   带基点拓扑空间 $(X, x_0)$ 的约化锥化空间(或者约化锥空间约化锥,记作 $C^* X$)是在 $S$ 的锥的基础上再商去所有的 $(x_0, t)$ 得到的,即 \[ C^* X := X \times [0,1] / \sim \] $(x, 1) \sim (y, 1), (x_0, t) \sim (x_0, s)$.

   $i: X \hookrightarrow C^* X, x \mapsto [(x, 0)]$ 被称为约化锥化函数

约化双角锥化

   wiki 链接

定义 4 约化双角锥化

   带基点拓扑空间 $(X, x_0)$ 的约化锥化双角空间(或者约化双角锥空间约化双角锥,记作 $\Sigma X$)是在 $S$ 的双角锥的基础上再商去所有的 $(x_0, t)$ 得到的,即 \[ \Sigma X := X \times [0,1] / \sim \] $(x, 1) \sim (y, 1), (x, 0) \sim (y, 0), (x_0, t) \sim (x_0, s)$.

   $i: X \hookrightarrow \Sigma X, x \mapsto [(x, 1/2)]$ 被称为约化双角锥化函数


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