积拓扑

定义 1　有限维积拓扑

　　 设 $(X_n, \mathcal{T}_n)$ 是若干拓扑空间，$n$ 取值范围为 $[1, N]\cap\mathbb{Z}$。那么积空间 $X_1\times X_2\times X_3\times\cdots\times X_N=\prod\limits_{n=1,2,\cdots,N}X_n=X$ 中的拓扑由拓扑基 $\mathcal{B}$ 生成，其中 $\mathcal{B}=\{\prod\limits_{n=1,2,\cdots,N}O_n|\forall n, O_n\in\mathcal{T}_n\}$。 称这个拓扑为各 $\mathcal{T}_n$ 的乘积拓扑（product topology），或译作积拓扑。

定义 2　任意维积拓扑

　　 设 $(X_\alpha, \mathcal{T}_\alpha)$ 是若干拓扑空间，$\alpha$ 不再是整数指标，而是用一个集合 $\Lambda$ 中的元素来表达的指标：$\alpha\in\Lambda$。这样的集合 $\Lambda$ 称为一个指标集（set of indexes）。

　　 空间 $X=\prod\limits_{\alpha\in\Lambda}X_\alpha$ 的拓扑 $\mathcal{T}$ 由子基$\mathcal{S}$ 生成，其中 $\mathcal{S}=\{O_{\alpha_0}\times\prod\limits_{\alpha\in\Lambda-\{\alpha_0\}}X_\alpha|\alpha_0\in\Lambda, O_{\alpha_0}\in\mathcal{T}_{\alpha_0}\}$。就是说，$\mathcal{S}$ 中的每一个元素，都是某个 $X_{\alpha_0}$ 的开集 $O_{\alpha_0}$ 和其它所有 $X_\alpha$ 乘积的结果。

　　 其中，各 $X_\alpha$ 空间称作 $X$ 的一个分量（component），类比向量空间的称呼。