乘积拓扑

             

预备知识 拓扑空间

1. 有限维乘积拓扑

   给定两个拓扑空间 $(X_1, \mathcal{T}_1)$ 和 $(X_2, \mathcal{T}_2)$,那么我们可以在乘积集合 $X=X_1\times X_2$ 中定义一个拓扑 $\mathcal{T}$,其拓扑基为 $\{O_1\times O_2|O_1\in\mathcal{T_1}, O_2\in\mathcal{T_2}\}$.就是说,乘积集合的拓扑基,是两个空间中开集的笛卡尔积的集合.

图
图 1:二维乘积拓扑的拓扑基中每个元素都是如图所示的一个“矩形”.

   由拓扑基生成拓扑的方式(取任意并),容易发现,如果上述 $O_1$ 和 $O_2$ 取的只是 $X_1$ 和 $X_2$ 空间的某两个拓扑基,也能得到一样的定义.

   一般地,$N$ 个拓扑空间的集合做笛卡尔积,这个笛卡尔积集合上的乘积拓扑定义为:

定义 1 有限维乘积拓扑

   设 $(X_n, \mathcal{T}_n)$ 是若干拓扑空间,$n$ 取值范围为 $[1, N]\cap\mathbb{Z}$.那么乘积空间 $X_1\times X_2\times X_3\times\cdots\times X_N=\prod\limits_{n=1,2,\cdots,N}X_n=X$ 中的拓扑由拓扑基 $\mathcal{B}$ 生成,其中 $\mathcal{B}=\{\prod\limits_{n=1,2,\cdots,N}O_n|\forall n, O_n\in\mathcal{T}_n\}$.

2. 任意维乘积拓扑

   如果用于进行笛卡尔积的拓扑空间数量大于等于 $\aleph_0$,那么我们常用的乘积拓扑定义会和有限维情况的说法略有不同.在这里,我们使用子基(sub-basis)来定义乘积拓扑:

定义 2 任意维乘积拓扑

   设 $(X_\alpha, \mathcal{T}_\alpha)$ 是若干拓扑空间,$\alpha$ 不再是整数指标,而是用一个集合 $\Lambda$ 中的元素来表达的指标:$\alpha\in\Lambda$.这样的集合 $\Lambda$ 称为一个指标集(set of indexes)

   空间 $X=\prod\limits_{\alpha\in\Lambda}X_\alpha$ 的拓扑 $\mathcal{T}$ 由子基$\mathcal{S}$ 生成,其中 $\mathcal{S}=\{O_{\alpha_0}\times\prod\limits_{\alpha\in\Lambda-\{\alpha_0\}}X_\alpha|\alpha_0\in\Lambda, O_{\alpha_0}\in\mathcal{T}_{\alpha_0}\}$.就是说,$\mathcal{S}$ 中的每一个元素,都是某个 $X_{\alpha_0}$ 的开集 $O_{\alpha_0}$ 和其它所有 $X_\alpha$ 乘积的结果.

图
图 2:子基 $\mathcal{S}$ 中的一个元素,类似一个“柱形”(类比 $\mathbb{R}$ 空间之间的乘积).

   其中,各 $X_\alpha$ 空间称作 $X$ 的一个分量(component),类比向量空间的称呼.

   任意维乘积拓扑也可以用拓扑基定义,只不过拓扑基中的元素不再是各分量空间的开集之乘积,而是有限个分量空间的开集和其它全体分量空间本身的乘积.

   任意维乘积拓扑的定义是包含了有限维的定义的,因为当进行乘积的空间是有限个(即 $|\Lambda| < \aleph_0$)的时候,任意维乘积拓扑的定义就和有限维乘积拓扑的定义一致了.

3. 乘积映射

   给定集合间的映射 $f:A\rightarrow X$ 和 $g:B\rightarrow Y$,可以定义映射 $f\times g:A\times B\rightarrow X\times Y$.其中 $\forall a\in A, b\in B$,有 $f\times g(a, b)=(f(a), g(b))$.

习题 1 

   证明:如果上述集合是拓扑空间,并且 $f$ 和 $g$ 都是连续映射,那么 $f\times g$ 也是乘积空间之间的连续映射.

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