积拓扑

贡献者： JierPeter; addis

1. 有限维积拓扑

　　 给定两个拓扑空间 $(X_1,{\mathcal{T}}_1)$ 和 $(X_2,{\mathcal{T}}_2)$，那么我们可以在笛卡尔积 $X=X_1\times X_2$ 中定义一个拓扑 $\mathcal{T}$，其拓扑基为 $\{O_1\times O_2|O_1\in {\mathcal{T}}_{\mathcal{1}},O_2\in {\mathcal{T}}_{\mathcal{2}}\}$。就是说，两个拓扑空间的笛卡尔积的拓扑基，是两个空间中开集的笛卡尔积的集合。

　　 由拓扑基生成拓扑的方式（取任意并），容易发现，如果上述 $O_1$ 和 $O_2$ 取的只是 $X_1$ 和 $X_2$ 空间的某两个拓扑基，也能得到一样的定义。

　　 一般地，$N$ 个拓扑空间的集合做笛卡尔积，这个笛卡尔积集合上的积拓扑定义为：

2. 任意维积拓扑

　　 如果用于进行笛卡尔积的拓扑空间数量大于等于 ${\mathrm{\aleph }}_0$，那么我们常用的乘积拓扑定义会和有限维情况的说法略有不同。在这里，我们使用子基（sub-basis）来定义积拓扑：

定义 2　任意维积拓扑

　　 设 $(X_{\alpha },{\mathcal{T}}_{\alpha })$ 是若干拓扑空间，$\alpha$ 不再是整数指标，而是用一个集合 $\mathrm{\Lambda }$ 中的元素来表达的指标：$\alpha \in \mathrm{\Lambda }$。这样的集合 $\mathrm{\Lambda }$ 称为一个指标集（set of indexes）。

　　 空间 $X=\prod _{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\alpha }$ 的拓扑 $\mathcal{T}$ 由子基$\mathcal{S}$ 生成，其中 $\mathcal{S}=\{O_{{\alpha }_0}\times \prod _{\alpha \in \mathrm{\Lambda }-\{{\alpha }_0\}}{X}_{\alpha }|{\alpha }_0\in \mathrm{\Lambda },O_{{\alpha }_0}\in {\mathcal{T}}_{{\alpha }_0}\}$。就是说，$\mathcal{S}$ 中的每一个元素，都是某个 $X_{{\alpha }_0}$ 的开集 $O_{{\alpha }_0}$ 和其它所有 $X_{\alpha }$ 乘积的结果。

图 2：子基 $\mathcal{S}$ 中的一个元素，类似一个“柱形”（类比 $\mathbb{R}$ 空间之间的乘积）。

　　 其中，各 $X_{\alpha }$ 空间称作 $X$ 的一个分量（component），类比向量空间的称呼。

　　 任意维积拓扑也可以用拓扑基定义，只不过拓扑基中的元素不再是各分量空间的开集之乘积，而是有限个分量空间的开集和其它全体分量空间本身的乘积。

　　 任意维积拓扑的定义是包含了有限维的定义的，因为当进行乘积的空间是有限个（即 $|\mathrm{\Lambda }|<{\mathrm{\aleph }}_0$）的时候，任意维积拓扑的定义就和有限维积拓扑的定义一致了。

3. 积映射

　　 给定集合间的映射 $f:A\to X$ 和 $g:B\to Y$，可以定义映射 $f\times g:A\times B\to X\times Y$。其中 $\mathrm{\forall }a\in A,b\in B$，有 $f\times g(a,b)=(f(a),g(b))$。