拓扑群

贡献者： JierPeter; Giacomo; addis

预备知识　连续映射，自由群

1. 拓扑群

　　拓扑群，顾名思义，是一种同时具有群和拓扑结构的数学对象。但是光有两个结构还不够，拓扑群还要求满足拓扑和群运算之间的一个联系。

定义 1　拓扑群

　　给定一个集合 $G$ ，若在 $G$ 上定义了一个拓扑 $T$ 和一个群运算 “ $\cdot$ ”，且满足拓扑空间之间的映射 $f : G \times G \to G$ 是一个连续映射，其中 $f (g_{1}, g_{2}) = g_{1} \cdot g_{2}^{- 1}$ ，那么称 $G$ 是一个拓扑群（topological group）。

　　要求 $f (g_{1}, g_{2}) = g_{1} \cdot g_{2}^{- 1}$ 是一个连续映射，也就保证了 $f_{1} (g_{1}, g_{2}) = g_{1} \cdot g_{2}$ 和 $f_{2} (g) = g^{- 1}$ 都是连续映射。

　　更进一步，对于 $h \in G$ ，我们还可以定义左平移映射 $l_{h} : G \to G$ 和右平移映射 $r_{h} : G \to G$ ，其中对于任意 $g \in G$ 都有 $l_{h} (g) = h g$ 和 $r_{h} (g) = g h$ 。这两个映射也是 $G \to G$ 的连续映射。

　　通常，我们也会省略运算符号，而简单把 $g_{1} \cdot g_{2}$ 记为 $g_{1} g_{2}$ 。

定义 2　拓扑群同态

　　设 $G$ 和 $H$ 是两个拓扑群，它们之间有映射 $f : G \to H$ 。如果 $f$ 在拓扑意义上是连续映射，在代数意义上是群同态，那么称 $f$ 是一个拓扑群之间的同态。

　　下面我们看两个简单的例子。

例 1　拓扑群的例子

取实数轴 $R$ ，定义通常的度量拓扑以及加法群，则 $R$ 是一个拓扑群。
取复平面上的单位圆 $S^{1} = {e^{θ i} | θ \in R}$ ，定义其拓扑为二维欧几里得空间中的子拓扑，群运算为复数乘法，则 $S^{1}$ 是一个拓扑群。
定义映射 $f : R \to S^{1}$ 为 $f (t) = e^{2 π t i}$ ，则 $f$ 是一个拓扑群同态。

　　以上两个例子非常容易想象出来。下面，我们稍微深入一些，讨论一个不那么直观的拓扑群，这对将来理解微分几何富有启发意义。

未完成：修改该例子，引用改到文章一般线性群

例 2　一般线性群

　　给定实数域 $R$ 和一个正整数 $k$ ，则全体 $R$ 上的 $k$ 阶矩阵构成一个 $k^{2}$ 维欧氏空间，也就是一个拓扑空间。对于这个空间中的每个点（也就是矩阵），其第 $i$ 行 $j$ 列的矩阵元就是该点在第 $k (i - 1) + j$ 个坐标轴上的分量。

　　如上定义的矩阵空间中，所有非退化矩阵构成一个子集，记为 $GL (k, R)$ 。在 $GL (k, R)$ 上用子拓扑，则它成为一个拓扑空间。

　　 $GL (k, R)$ 上，用矩阵乘法作为运算，则它还构成一个群。

　　通过以上方式，在 $GL (k, R)$ 上分别定义的拓扑和群结构，合在一起就使得 $GL (k, R)$ 成为一个拓扑群。

　　 $GL (k, R)$ 作为拓扑空间可以理解为 $R^{k^{2}}$ 空间里挖去了若干孤立点，每个孤立点都代表一个退化矩阵。定义 $f : GL (k, R) \times GL (k, R) \to GL (k, R)$ ，其中 $f (g_{1}, g_{2}) = g_{1} \cdot g_{2}^{- 1}$ ，那么要让它构成拓扑群就必须满足 $f$ 是一个连续映射，使得这一点成立的关键在于行列式是矩阵空间的连续函数，以及行列式的积性¹。

2. 子拓扑群

定义 3　子拓扑群

　　给定一个拓扑群 $G$ ，若它的一个子集 $H$ 取了 $G$ 的群运算和限制拓扑以后形成一个拓扑群，则称 $H$ 是 $G$ 的子拓扑群（topological subgroup）。

　　对于连通的拓扑群，我们有如下性质：

定理 1　

　　设 $G$ 是一个连通的拓扑群， $H$ 是 $G$ 的开集，且 $H$ 是 $G$ 的子群²，那么 $H = G$ 。

　　证明：

　　由于 $H$ 是子集，我们就可以将 $G$ 拆分成彼此不相交的左陪集 $a H$ ，其中 $a \in G$ 。

　　考虑左平移映射 $l_{a} : G \to G$ ，则由左平移的定义得， $l_{a} (H) = a H$ 。

　　由于 $l_{a}$ 是连续映射，因此 $a H = l_{a} (H)$ 和 $H$ 一样，也是开集。

　　这样一来， $G$ 就是由彼此不相交的开集 $a H$ 取并集而来。但是 $G$ 是连通的，因此不可以拆分成不相交的开集之并。因此 $H$ 只能有一个左陪集，就是 $H = G$ 。

　　证毕。

1. ^ 即矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积。
2. ^ 不要求一定是子拓扑群。

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拓扑群

1. 拓扑群

定义 1 拓扑群

定义 2 拓扑群同态

例 1 拓扑群的例子

例 2 一般线性群

2. 子拓扑群

定义 3 子拓扑群

定理 1

定义 1　拓扑群

定义 2　拓扑群同态

例 1　拓扑群的例子

例 2　一般线性群

定义 3　子拓扑群

定理 1　