拓扑群
贡献者: JierPeter; Giacomo; addis
1. 拓扑群
拓扑群,顾名思义,是一种同时具有群和拓扑结构的数学对象。但是光有两个结构还不够,拓扑群还要求满足拓扑和群运算之间的一个联系。
定义 1 拓扑群
给定一个集合 ,若在 上定义了一个拓扑 和一个群运算 “”,且满足拓扑空间之间的映射 是一个连续映射,其中 ,那么称 是一个拓扑群(topological group)。
要求 是一个连续映射,也就保证了 和 都是连续映射。
更进一步,对于 ,我们还可以定义左平移映射 和右平移映射,其中对于任意 都有 和 。这两个映射也是 的连续映射。
通常,我们也会省略运算符号,而简单把 记为 。
定义 2 拓扑群同态
设 和 是两个拓扑群,它们之间有映射 。如果 在拓扑意义上是连续映射,在代数意义上是群同态,那么称 是一个拓扑群之间的同态。
下面我们看两个简单的例子。
例 1 拓扑群的例子
- 取实数轴 ,定义通常的度量拓扑以及加法群,则 是一个拓扑群。
- 取复平面上的单位圆 ,定义其拓扑为二维欧几里得空间中的子拓扑,群运算为复数乘法,则 是一个拓扑群。
- 定义映射 为 ,则 是一个拓扑群同态。
以上两个例子非常容易想象出来。下面,我们稍微深入一些,讨论一个不那么直观的拓扑群,这对将来理解微分几何富有启发意义。
例 2 一般线性群
给定实数域 和一个正整数 ,则全体 上的 阶矩阵构成一个 维欧氏空间,也就是一个拓扑空间。对于这个空间中的每个点(也就是矩阵),其第 行 列的矩阵元就是该点在第 个坐标轴上的分量。
如上定义的矩阵空间中,所有非退化矩阵构成一个子集,记为 。在 上用子拓扑,则它成为一个拓扑空间。
上,用矩阵乘法作为运算,则它还构成一个群。
通过以上方式,在 上分别定义的拓扑和群结构,合在一起就使得 成为一个拓扑群。
作为拓扑空间可以理解为 空间里挖去了若干孤立点,每个孤立点都代表一个退化矩阵。定义 ,其中 ,那么要让它构成拓扑群就必须满足 是一个连续映射,使得这一点成立的关键在于行列式是矩阵空间的连续函数,以及行列式的积性1。
2. 子拓扑群
定义 3 子拓扑群
给定一个拓扑群 ,若它的一个子集 取了 的群运算和限制拓扑以后形成一个拓扑群,则称 是 的子拓扑群(topological subgroup)。
对于连通的拓扑群,我们有如下性质:
定理 1
设 是一个连通的拓扑群, 是 的开集,且 是 的子群2,那么 。
证明:
由于 是子集,我们就可以将 拆分成彼此不相交的左陪集 ,其中 。
考虑左平移映射,则由左平移的定义得,。
由于 是连续映射,因此 和 一样,也是开集。
这样一来, 就是由彼此不相交的开集 取并集而来。但是 是连通的,因此不可以拆分成不相交的开集之并。因此 只能有一个左陪集,就是 。
证毕。
1. ^ 即矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积。
2. ^ 不要求一定是子拓扑群。
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