拓扑群

                     

贡献者: JierPeter; Giacomo; addis

预备知识 连续映射,自由群

1. 拓扑群

   拓扑群,顾名思义,是一种同时具有群和拓扑结构的数学对象。但是光有两个结构还不够,拓扑群还要求满足拓扑和群运算之间的一个联系。

定义 1 拓扑群

   给定一个集合 G,若在 G 上定义了一个拓扑 T 和一个群运算 “”,且满足拓扑空间之间的映射 f:G×GG 是一个连续映射,其中 f(g1,g2)=g1g21,那么称 G 是一个拓扑群(topological group)

   要求 f(g1,g2)=g1g21 是一个连续映射,也就保证了 f1(g1,g2)=g1g2f2(g)=g1 都是连续映射。

   更进一步,对于 hG,我们还可以定义左平移映射lh:GG右平移映射rh:GG,其中对于任意 gG 都有 lh(g)=hgrh(g)=gh。这两个映射也是 GG 的连续映射。

   通常,我们也会省略运算符号,而简单把 g1g2 记为 g1g2

定义 2 拓扑群同态

   设 GH 是两个拓扑群,它们之间有映射 f:GH。如果 f 在拓扑意义上是连续映射,在代数意义上是群同态,那么称 f 是一个拓扑群之间的同态。

   下面我们看两个简单的例子。

例 1 拓扑群的例子

  

  • 取实数轴 R,定义通常的度量拓扑以及加法群,则 R 是一个拓扑群。
  • 取复平面上的单位圆 S1={eθi|θR},定义其拓扑为二维欧几里得空间中的子拓扑,群运算为复数乘法,则 S1 是一个拓扑群。
  • 定义映射 f:RS1f(t)=e2πti,则 f 是一个拓扑群同态。

   以上两个例子非常容易想象出来。下面,我们稍微深入一些,讨论一个不那么直观的拓扑群,这对将来理解微分几何富有启发意义。

  

未完成:修改该例子,引用改到文章一般线性群

例 2 一般线性群

   给定实数域 R 和一个正整数 k,则全体 R 上的 k 阶矩阵构成一个 k2 维欧氏空间,也就是一个拓扑空间。对于这个空间中的每个点(也就是矩阵),其第 ij 列的矩阵元就是该点在第 k(i1)+j 个坐标轴上的分量。

   如上定义的矩阵空间中,所有非退化矩阵构成一个子集,记为 GL(k,R)。在 GL(k,R) 上用子拓扑,则它成为一个拓扑空间

   GL(k,R) 上,用矩阵乘法作为运算,则它还构成一个

   通过以上方式,在 GL(k,R) 上分别定义的拓扑和群结构,合在一起就使得 GL(k,R) 成为一个拓扑群

   GL(k,R) 作为拓扑空间可以理解为 Rk2 空间里挖去了若干孤立点,每个孤立点都代表一个退化矩阵。定义 f:GL(k,R)×GL(k,R)GL(k,R),其中 f(g1,g2)=g1g21,那么要让它构成拓扑群就必须满足 f 是一个连续映射,使得这一点成立的关键在于行列式是矩阵空间的连续函数,以及行列式的积性1

2. 子拓扑群

定义 3 子拓扑群

   给定一个拓扑群 G,若它的一个子集 H 取了 G 的群运算和限制拓扑以后形成一个拓扑群,则称 HG子拓扑群(topological subgroup)

   对于连通的拓扑群,我们有如下性质:

定理 1 

   设 G 是一个连通的拓扑群,HG开集,且 HG子群2,那么 H=G

   证明

   由于 H 是子集,我们就可以将 G 拆分成彼此不相交的左陪集 aH,其中 aG

   考虑左平移映射la:GG,则由左平移的定义得,la(H)=aH

   由于 la 是连续映射,因此 aH=la(H)H 一样,也是开集

   这样一来,G 就是由彼此不相交的开集 aH 取并集而来。但是 G 是连通的,因此不可以拆分成不相交的开集之并。因此 H 只能有一个左陪集,就是 H=G

   证毕


1. ^ 即矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积。
2. ^ 不要求一定是子拓扑群。


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