拓扑群

             

预备知识 连续映射,自由群

1. 拓扑群

   拓扑群,顾名思义,是一种同时具有群和拓扑结构的数学对象.但是光有两个结构还不够,拓扑群还要求满足拓扑和群运算之间的一个联系.

定义 1 拓扑群

   给定一个集合 $G$,若在 $G$ 上定义了一个拓扑 $\mathcal{T}$ 和一个群运算 “$\cdot$”,且满足拓扑空间之间的映射 $f:G\times G\rightarrow G$ 是一个连续映射,其中 $f(g_1, g_2)=g_1\cdot g_2^{-1}$,那么称 $G$ 是一个拓扑群(topological group)

   要求 $f(g_1, g_2)=g_1\cdot g_2^{-1}$ 是一个连续映射,也就保证了 $f_1(g_1, g_2)=g_1\cdot g_2$ 和 $f_2(g)=g^{-1}$ 都是连续映射.

   更进一步,对于 $h\in G$,我们还可以定义左平移映射$l_h: G\to G$ 和右平移映射$r_h: G\to G$,其中对于任意 $g\in G$ 都有 $l_h(g)=hg$ 和 $r_h(g)=gh$.这两个映射也是 $G\to G$ 的连续映射.

   通常,我们也会省略运算符号,而简单把 $g_1\cdot g_2$ 记为 $g_1g_2$.

定义 2 拓扑群同态

   设 $G$ 和 $H$ 是两个拓扑群,它们之间有映射 $f:G\rightarrow H$.如果 $f$ 在拓扑意义上是连续映射,在代数意义上是群同态,那么称 $f$ 是一个拓扑群之间的同态.

   下面我们看两个简单的例子.

例 1 拓扑群的例子

  

  • 取实数轴 $\mathbb{R}$,定义通常的度量拓扑以及加法群,则 $\mathbb{R}$ 是一个拓扑群.
  • 取复平面上的单位圆 $S^1=\{\mathrm{e}^{\theta \mathrm{i} }|\theta\in\mathbb{R}\}$,定义其拓扑为二维欧几里得空间中的子拓扑,群运算为复数乘法,则 $S^1$ 是一个拓扑群.
  • 定义映射 $f:\mathbb{R}\rightarrow S^1$ 为 $f(t)=\mathrm{e}^{2\pi t \mathrm{i} }$,则 $f$ 是一个拓扑群同态.

   以上两个例子非常容易想象出来.下面,我们稍微深入一些,讨论一个不那么直观的拓扑群,这对将来理解微分几何富有启发意义.

例 2 一般线性群

   给定实数域 $\mathbb{R}$ 和一个正整数 $k$,则全体 $\mathbb{R}$ 上的 $k$ 阶矩阵构成一个 $k^2$ 维欧氏空间,也就是一个拓扑空间.对于这个空间中的每个点(也就是矩阵),其第 $i$ 行 $j$ 列的矩阵元就是该点在第 $k(i-1)+j$ 个坐标轴上的分量.

   如上定义的矩阵空间中,所有非退化矩阵构成一个子集,记为 $ \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})$.在 $ \operatorname {GL}(k,\mathbb{R})$ 上用子拓扑,则它成为一个拓扑空间

   $ \operatorname {GL}(k,\mathbb{R})$ 上,用矩阵乘法作为运算,则它还构成一个

   通过以上方式,在 $ \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})$ 上分别定义的拓扑和群结构,合在一起就使得 $ \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})$ 成为一个拓扑群

   $ \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})$ 作为拓扑空间可以理解为 $\mathbb{R}^{k^2}$ 空间里挖去了若干孤立点,每个孤立点都代表一个退化矩阵.定义 $f: \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})\times \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})\to \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})$,其中 $f(g_1, g_2)=g_1\cdot g_2^{-1}$,那么要让它构成拓扑群就必须满足 $f$ 是一个连续映射,使得这一点成立的关键在于行列式是矩阵空间的连续函数,以及行列式的积性1

2. 子拓扑群

定义 3 子拓扑群

   给定一个拓扑群 $G$,若它的一个子集 $H$ 取了 $G$ 的群运算和限制拓扑以后形成一个拓扑群,则称 $H$ 是 $G$ 的子拓扑群(topological subgroup)

   对于连通的拓扑群,我们有如下性质:

定理 1 

   设 $G$ 是一个连通的拓扑群,$H$ 是 $G$ 的开集,且 $H$ 是 $G$ 的子群2,那么 $H=G$.

   证明

   由于 $H$ 是子集,我们就可以将 $G$ 拆分成彼此不相交的左陪集 $aH$,其中 $a\in G$.

   考虑左平移映射$l_a:G\to G$,则由左平移的定义得,$l_a(H)=aH$.

   由于 $l_a$ 是连续映射,因此 $aH=l_a(H)$ 和 $H$ 一样,也是开集

   这样一来,$G$ 就是由彼此不相交的开集 $aH$ 取并集而来.但是 $G$ 是联通的,因此不可以拆分成不相交的开集之并.因此 $H$ 只能有一个左陪集,就是 $H=G$.

   证毕


1. ^ 即矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积.
2. ^ 不要求一定是子拓扑群.

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