贡献者: JierPeter; Giacomo; addis
拓扑群,顾名思义,是一种同时具有群和拓扑结构的数学对象。但是光有两个结构还不够,拓扑群还要求满足拓扑和群运算之间的一个联系。
要求 $f(g_1, g_2)=g_1\cdot g_2^{-1}$ 是一个连续映射,也就保证了 $f_1(g_1, g_2)=g_1\cdot g_2$ 和 $f_2(g)=g^{-1}$ 都是连续映射。
更进一步,对于 $h\in G$,我们还可以定义左平移映射$l_h: G\to G$ 和右平移映射$r_h: G\to G$,其中对于任意 $g\in G$ 都有 $l_h(g)=hg$ 和 $r_h(g)=gh$。这两个映射也是 $G\to G$ 的连续映射。
通常,我们也会省略运算符号,而简单把 $g_1\cdot g_2$ 记为 $g_1g_2$。
下面我们看两个简单的例子。
以上两个例子非常容易想象出来。下面,我们稍微深入一些,讨论一个不那么直观的拓扑群,这对将来理解微分几何富有启发意义。
$ \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})$ 作为拓扑空间可以理解为 $\mathbb{R}^{k^2}$ 空间里挖去了若干孤立点,每个孤立点都代表一个退化矩阵。定义 $f: \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})\times \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})\to \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})$,其中 $f(g_1, g_2)=g_1\cdot g_2^{-1}$,那么要让它构成拓扑群就必须满足 $f$ 是一个连续映射,使得这一点成立的关键在于行列式是矩阵空间的连续函数,以及行列式的积性1。
对于连通的拓扑群,我们有如下性质:
证明:
由于 $H$ 是子集,我们就可以将 $G$ 拆分成彼此不相交的左陪集 $aH$,其中 $a\in G$。
考虑左平移映射$l_a:G\to G$,则由左平移的定义得,$l_a(H)=aH$。
由于 $l_a$ 是连续映射,因此 $aH=l_a(H)$ 和 $H$ 一样,也是开集。
这样一来,$G$ 就是由彼此不相交的开集 $aH$ 取并集而来。但是 $G$ 是联通的,因此不可以拆分成不相交的开集之并。因此 $H$ 只能有一个左陪集,就是 $H=G$。
证毕。
1. ^ 即矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积。
2. ^ 不要求一定是子拓扑群。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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