Tychonoff 定理

贡献者： JierPeter; Patchouli9

1. 定理的描述

　　 紧空间具有仅次于有限空间的优良性质。然而，一个有限空间的无限次积空间通常是无限集（只要这个有限空间的元素数大于 $1$），我们可能会猜想，一个紧空间的无限次积空间可能会失去紧性。然而 Tychonoff 定理表明，对于积拓扑，紧空间的任意次笛卡尔积仍然是紧空间，紧性被保留了。

　　 我们先列出该定理，然后讨论并给出其证明。

2. 一个工具：Alexander 子基定理

　　 考虑最简单的积拓扑：两个紧空间 $(X_1,{\mathcal{T}}_1)$ 和 $(X_2,{\mathcal{T}}_2)$ 的积拓扑。为了方便视觉化理解，我们可以把 $X_1$ 和 $X_2$ 分别画成一根轴，于是它们的积空间就是一个平面。把各 $X_i$ 的开集都想象成一条线段，于是 $X_i$ 的紧致性可以描述为 “任意覆盖了整条轴的线段集合，总存在有限子覆盖”。那么 $X_i$ 的紧致性能继承到 $X_1\times X_2$ 上吗？

　　 乍一看似乎没关联，因为 $X_1\times X_2$ 的开集和 $X_i$ 开集的联系似乎只有投影。如果记 $\{U_{\alpha }\}$ 是 $X_1\times X_2$ 的一族开覆盖，那么投影后的 $\{{\pi }_i(U_{\alpha })\}$ 就是 $X_i$ 的一族开覆盖。由 $X_i$ 的紧致性虽然能得出 $\{{\pi }_i(U_{\alpha })\}$ 存在有限子覆盖 $\{{\pi }_i(U_i){\}}_{i\in I}$（$I$ 是某个有限指标集），但没法保证 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ 是 $X_1\times X_2$ 的覆盖。

　　 不过，稍加优化我们会发现，由于开集都是基本开集的并、基本开集都是开集，可以得到 “任意开覆盖都有有限子覆盖” 等价于 “任意拓扑基覆盖都有有限子覆盖”，这里拓扑基覆盖是指取拓扑基中的基本开集来覆盖。那是不是用拓扑基覆盖可以证明呢？不行，没有解决上述问题。

　　 尽管如此，我们还是把这个结论记下来：

　　 再优化思路：“任意拓扑基覆盖都有有限子覆盖” 可以等价于 “任意子基覆盖都有有限子覆盖” 吗？这里的子基覆盖就是指用子基中的元素紧性覆盖。

　　 答案是肯定的。

　　 证明：

　　 1. $⟹$ 2. 是显然的，因为子基的元素都是拓扑基的元素，从而子基覆盖都是拓扑基覆盖。下证 2. $⟹$1.。

　　 反设存在 $A$ 的拓扑基覆盖，它没有有限子覆盖。

　　 由Zorn 引理，在全体 “没有有限子覆盖” 的拓扑基覆盖构成的集合中，存在 “极大” 的拓扑基覆盖¹。即，如果 $\{B_{\alpha }\}$ 是一个上述的极大拓扑基覆盖，那么对于任意基本开集 $B_0\notin \{B_{\alpha }\}$，覆盖 $\{B_0\}\cup \{B_{\alpha }\}$ 是有有限子覆盖的。

　　 给定子基 $\mathcal{S}$，以及 $A$ 的一个极大的没有有限子覆盖的拓扑基覆盖 $\{B_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}$。

　　 取指标集 $I\subseteq \mathrm{\Lambda }$，定义为：拓扑基的元素 $B_i$ 也是子基的元素，当且仅当 $i\in I$。

　　 由于 $A$ 的子基覆盖都有有限子覆盖，而按定义，上述拓扑基覆盖 $\{B_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}$ 没有有限子覆盖，因此 $\bigcup _{i\in I}{B}_i$ 无法覆盖 $A$。

　　 于是存在 $x\in A-\bigcup _{i\in I}{B}_i$。又因为 $\bigcup _{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}{B}_{\alpha }$ 覆盖 $A$，故存在 ${\alpha }_0\in \mathrm{\Lambda }$ 使得 $x\in B_{{\alpha }_0}$。

　　 由于该拓扑基由给定子基 $\mathcal{S}$ 导出，因此 $B_{{\alpha }_0}$ 是有限多个子基的元素的交集。因此存在 $S_1,S_2,\cdots ,S_n\in \mathcal{S}$ 使得

　　 按照 $x$ 的取法，可知 $S_1,S_2,\cdots ,S_n$ 不等于任何 $B_{\alpha }$，因此由于 $\{B_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}$ 的极大性，可知对于任意的 $k\in \{1,2,\cdots n\}$，拓扑基覆盖 $\{B_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}\cup \{S_k\}$ 都有有限子覆盖。

　　 于是存在 $n$ 个有限覆盖

　　 这 $n$ 个有限覆盖的交仍然是覆盖：

　　 联立式 1 和式 3 ，得

　　 式 4 最右边是有限多个 $B_{\alpha }$ 的并，也就是说是 $A$ 的有限子覆盖——这与 “$\{B_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}$ 没有有限子覆盖” 矛盾！

　　 反设不成立。

　　 证毕。

　　 定理 2 的证明中，拓扑基可以替换为全体开集，基本开集全都替换为开集，证明不变。

　　 总之，习题 1 和定理 2 结合，能得到一个好用的工具：

3. Tychonoff 定理的证明

　　 证明思路是利用单个 $X_{\alpha }$ 上开集对投影的逆映射构造子基，得到子基覆盖。此子基若有一系列底面在 $X_{\alpha }$ 上的柱子，其底面覆盖 $X_{\alpha }$，则这一系列柱子就覆盖了整个 $X$，从而 $X_{\alpha }$ 的紧性继承到 $X$ 上。再证明另一种情况不存在，即此子基任意一个面都不能被柱子底面覆盖。

　　 任取一族紧拓扑空间 $\{(X_{\alpha },{\mathcal{T}}_{\alpha }){\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}$，记它们的乘积空间为 $(X,\mathcal{T})$，其中 $X=\prod _{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\alpha }$。记 $\underset{\alpha }{\bigwedge }{x}_{\alpha }$ 为 $X$ 中一点，其中各 $x_{\alpha }$ 都是 $X_{\alpha }$ 中的点。

　　 积拓扑的一个子基为

　　 从 $\mathcal{B}$ 中取 $X$ 的一个覆盖 $\mathcal{S}$，再定义

　　 如果对于某个 $\alpha$，$S_{\alpha }$ 所对应的 $U_{\alpha }$ 之并已经覆盖了 ${\pi }_{\alpha }(X_{\alpha })$，那么由 $X_{\alpha }$ 的紧性知存在有限子覆盖 $\{U_{{\alpha }_i}{\}}_{i=1}^{n_{\alpha }}$，于是 ${\pi }_{\alpha }^{-1}\bigcup _{i=1}^{n_{\alpha }}$ 也覆盖了 ${\pi }_{\alpha }^{-1}({\pi }_{\alpha }(X_{\alpha }))\supseteq X_{\alpha }$。简而言之，底面都在 $X_{\alpha }$ 的一族柱子的底面覆盖 $X_{\alpha }$，则这族柱子覆盖整个空间。

　　 于是接下来应该设，对于任意 $\alpha$，$S_{\alpha }$ 对应的 $U_{\alpha }$ 并不覆盖 $X_{\alpha }$。于是，可以从每个 $X_{\alpha }$ 中选出一个没有被 $S_{\alpha }$ 的底覆盖到的点 $x_{{\alpha }_0}$，构造出点 $\underset{{\alpha }_0}{\bigwedge }{x}_{{\alpha }_0}$。则这个点没有被 $\mathcal{S}$ 覆盖，矛盾。因此假设不成立。

　　 综上得证。

1. ^ 这个集合中的偏序关系 $\le$ 由包含关系定义，即 $\{B_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}\le \{B_{\beta }{\}}_{\beta \in \mathrm{\Gamma }}$ 当且仅当各 $B_{\alpha }\in \{B_{\beta }\}$。