自由群

             

预备知识 群同态

1. 字母和词

定义 1 字母

   没有赋予任何运算关系的元素,被称为一个字母(letter)

   给定没有赋予任何运算结构的任意集合 $S$,它的每个元素都可以作为一个字母.

例 1 字母的例子

  • 随便取一个元素,取名为 $x$,那么 $x$ 可以看成一个字母.
  • 取 $52$ 个英文字母构成的集合,则每个元素都可以当作字母.

   字母就是纯粹的符号,除了 “指代一个元素” 以外没有更多的结构.没有更多结构当然没有研究的意义不过,所以我们考虑拓展字母的用途,比如把若干字母按顺序排列起来,得到新的元素.这种元素不同于字母,我们把它叫做 “词”.

定义 2 词

   有限个字按照一定顺序排列构成的元素,称作一个词(word).在计算机理论中,也称为字符串

例 2 词的例子

  • 单元素集合的元素 $x$,可以构成词 $x$,$xx$,$xxxxxxx$ 等.
  • $52$ 个英文字母构成集合 $S$,那么 $S$ 中的元素 $l, e, t, r$ 都是字母,它们可以进行有限排列,得到词 $letter$.

   单个字母也可以看成是特殊的词,这样一来,就可以把字的排列拓展成词之间的一种运算.两个词首尾相连,可以构成一个更大的排列,仍然是有限个字的排列,因此得到的还是词.

定义 3 词的运算:首尾相连

   给定集合 $S$.用 $S$ 中的元素作为字母所排出的词,构成一个 “词集合”,记为 $W(S)$.在集合 $W(S)$ 上可以定义一个运算 “$\cdot$” 如下:设 $a, b\in W(S)$,那么 $a\cdot b=c$,其中 $c$ 是 $a$ 和 $b$ 首尾相连的结果.

例 3 词的运算

   还是用英文字母构成的集合 $S$.$lov$ 是一个词,$ely$ 也是一个词,$lov\cdot ely=lovely$ 是这两个词进行首尾相连运算的结果.

   我们也常常省略运算符号 “$\cdot$”,这时 $lov$ 和 $ely$ 的连接运算就直接写成 $lovely$ 了,和运算的结果形式上一样,非常简练.

2. 自由生成群

   我们希望改进一下词集合和词运算,构造出一个群.为了做到这一点,我们首先需要扩展一下词集合.

定义 4 字母的逆

   给定集合 $S$.给 $S$ 中的每一个元素 $x$ 都赋予一个 “逆字母”,记为 $x^{-1}$.

   字母的逆是用来满足群的 “逆元存在性” 的.如果一个词中出现某个字母和对应的逆字母相连接,那么它们就必须被 “消除”.比如说,$lsdd^{-1}l^{-1}m^{-1}m$ 被认为和 $lsl^{-1}$ 是相同的.特别地,对于任何字母 $x, y$,我们认为 $xx^{-1}$,$x^{-1}x$,$yy^{-1}$,$y^{-1}y$ 都是同一个词,称为空词(empty word)空字

   有了这个规则,我们就可以构造出一个群了:

定理 1 自由生成群

   给定集合 $S$,用它的元素作为字母.$S$ 中的全体字母和它们的逆字母可构成词,并且构词过程中把相邻的互逆字母消除,这样得到的词所构成的集合记为 $F(S)$.在 $F(S)$ 中定义运算为词的首尾相连,那么 $F(S)$ 配合该运算构成一个群,称为由集合 $S$ 生成的自由群(free group),或自由生成群

   自由群的单位元就是空词.一个词的字母都取逆以后反序排列,就得到了这个词的逆元.比如说,$le^{-1}tter$ 的逆元素就是 $r^{-1}e^{-1}t^{-1}t^{-1}r^{-1}el^{-1}$.

   自由群是结构复杂度最高的群,这是因为所有的群都可以看成某个自由群的商群,而商群是把原来的群中一些细节特征忽略掉的结果.这个结论是由以下定理保证的:

定理 2 自由群的一般性质

   给定任意的集合 $S$ 和群 $G$.如果 $f:S\rightarrow G$ 是两个集合间的任意映射,那么总可以把 $f$ 拓展成群同态 $\varphi:F(S)\rightarrow G$,并且这种拓展是唯一的.

   证明见例 4

   考虑集合 $G$ 到群 $G$ 上的映射 $f:f(g)=g, \forall g\in G$,那么由 $f$ 拓展而来的同态 $\varphi$ 就是 $F(G)$ 到 $G$ 的满射.结合群同态基本定理习题 1 )可推知,这意味着 $G$ 是 $f(G)$ 的商群.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利