泰勒级数 2

             

预备知识 泰勒级数

1. 泰勒展开与近似

   事实上,泰勒展开可以看成是微分近似的一种高阶拓展.微分近似中,在某点 $x_0$ 附近有

\begin{equation} f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \end{equation}
而这恰好是泰勒展开的前两项.然而,这只是函数曲线在 $x_0$ 处的切线(见图 1 中 $N=1$ 的情况),显然没有高阶的泰勒展开那么精确.如果我们将 $f(x)$ 近似到其泰勒展开的 $x^n$ 项,我们称这个近似精确到第 $n$ 阶,因为它的误差小于或等于 $n + 1$ 阶无穷小 $O(x^{n + 1})$.在近似计算中,可以使用式 18 来精确地估计近似多项式给出的误差.例如,图 1 中画出的正弦函数与其近似多项式的误差即可按此公式计算.

2. 泰勒展开的问题

   尽管泰勒展开式给出了函数在某点处的多项式近似,但这里很可能会产生一些微妙的问题.从余项公式式 18 并不能推出余项一定随着 $N$ 的增大而趋于零,因为函数的 $N$ 阶导数可能会随着 $N$ 的增长而快速增长; 具体来说,有博雷尔(E. Borel)的一个定理:

定理 1 博雷尔定理

   对于任何复数序列 $\{c_n\}$, 都存在一个光滑函数 $f$ 使得其在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$.

   因此,显然不收敛的级数 $\sum_{n=0}^\infty n!x^n$ 实际上也是某个光滑函数的泰勒展开! 这说明由泰勒展开截断得到的多项式仅仅是一个渐近展开, 仅仅在展开点那一处给出了最佳的多项式近似,却并不能说明任何其它性质.也就是说,对于固定的 $N$, 当 $x$ 越来越接近 $x_0$ 时,$f(x)$ 同 $N$ 泰勒多项式之间的差是高于 $N$ 阶的高阶无穷小,但对于固定的 $x$,却不能断言当 $N$ 趋于无穷时 $f(x)$ 同其泰勒多项式的误差趋于零.当然,在许多情况下,这对于近似计算已经足够用.

   进一步,即便泰勒级数收敛,也不一定收敛到展开的函数本身,例如函数 $f(x)=e^{-1/x^2}$ 在点 $x=0$ 处的所有导数都是零,因此它在这点处的泰勒展开是 $0+0x+0x^2+...$,它与函数 $f(x)$ 的误差永远是函数本身!

   由此可见,泰勒级数收敛且收敛到本身的函数实在是非常特殊的.这样的函数称为解析函数(analytic function).详见幂级数

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