泰勒级数 2

                     

贡献者： addis

1. 泰勒展开与近似

　　 事实上，泰勒展开可以看成是微分近似的一种高阶拓展。微分近似中，在某点 $x_0$ 附近有

而这恰好是泰勒展开的前两项。然而，这只是函数曲线在 $x_0$ 处的切线（见图 1 中 $N=1$ 的情况），显然没有高阶的泰勒展开那么精确。如果我们将 $f(x)$ 近似到其泰勒展开的 $x^n$ 项，我们称这个近似精确到第 $n$ 阶，因为它的误差小于或等于 $n + 1$ 阶无穷小 $O(x^{n + 1})$。在近似计算中，可以使用（？？）来精确地估计近似多项式给出的误差。例如，图 1 中画出的正弦函数与其近似多项式的误差即可按此公式计算。

2. 泰勒展开的问题

　　 尽管泰勒展开式给出了函数在某点处的多项式近似，但这里很可能会产生一些微妙的问题。从余项公式（？？）并不能推出余项一定随着 $N$ 的增大而趋于零，因为函数的 $N$ 阶导数可能会随着 $N$ 的增长而快速增长; 具体来说，有博雷尔（E. Borel）的一个定理：

　　 因此，显然不收敛的级数 $\sum_{n=0}^\infty n!x^n$ 实际上也是某个光滑函数的泰勒展开! 这说明由泰勒展开截断得到的多项式仅仅是一个渐近展开, 仅仅在展开点那一处给出了最佳的多项式近似，却并不能说明任何其它性质。也就是说，对于固定的 $N$, 当 $x$ 越来越接近 $x_0$ 时，$f(x)$ 同 $N$ 泰勒多项式之间的差是高于 $N$ 阶的高阶无穷小，但对于固定的 $x$，却不能断言当 $N$ 趋于无穷时 $f(x)$ 同其泰勒多项式的误差趋于零。当然，在许多情况下，这对于近似计算已经足够用。

　　 进一步，即便泰勒级数收敛，也不一定收敛到展开的函数本身，例如函数 $f(x)=e^{-1/x^2}$ 在点 $x=0$ 处的所有导数都是零，因此它在这点处的泰勒展开是 $0+0x+0x^2+...$，它与函数 $f(x)$ 的误差永远是函数本身！

　　 由此可见，泰勒级数收敛且收敛到本身的函数实在是非常特殊的。这样的函数称为解析函数（analytic function）。详见幂级数。