级数（极简微积分）

贡献者： Giacomo; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识 1　数列的极限（极简微积分）

　　对于一个数列 $a_{1}, a_{2}, \dots$ ，形式表达式

\begin{matrix} (1) & \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \end{matrix}

称为以

a_{n}

为一般项的（无穷）级数（series）。其中前

N

项的和

\begin{matrix} (2) & S_{N} := \sum_{n = 1}^{N} a_{n} \end{matrix}

称为级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

的部分和（partial sum）. 如果部分和序列

S_{1}, S_{2}, \dots

有极限，也就是说存在实数

S

使得

\begin{matrix} (3) & lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} a_{n} = S, \end{matrix}

则称级数式 1 收敛到

S

（converges to $S$ ）,

S

称为它的和（sum）。如果部分和序列不存在极限，则称级数不收敛或发散（divergent）。

　　一个简单的收敛的例子是

例 1　几何级数

　　当 $q > 1$ 的时候，几何级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{q^{n}} = 1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^{2}} + \dots,$ 按照等比数列的求和公式，它的部分和为 $\sum_{n = 0}^{N} \frac{1}{q^{n}} = \frac{1 - \frac{1}{q^{N + 1}}}{1 - \frac{1}{q}} .$ 由此可见它收敛到 $\frac{q}{q - 1}$ 。

　　级数收敛的有一个很简单的必要条件：

定理 1　

　　如果级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，那么数列 $a_{1}, a_{2}, \dots$ 收敛到 $0$ 。

　　如果数列 $a_{n}$ 不收敛，或者收敛到一个非零的数字，就会导致它们的部分和 “震荡”。

　　这个定理不是充分的，我们有反例：

例 2　调和级数

　　调和级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$ 不收敛，具体证明可以参考例 1 。

　　另一方面我们也可以给出两个充分条件：

定理 2　

　　如果级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ 收敛，那么级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，而且我们有 $| \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} | \leq \sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | .$

　　这是因为我们有 $| \sum_{n = 1}^{N} a_{n} | \leq \sum_{n = 1}^{N} | a_{n} | .$

　　这个条件不是必要的，反例是 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n}$ 收敛到 $- \ln (2)$ 。

未完成：在分析或者微积分板块证明它。

　　另外一个是

定理 3　

　　已知级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，如果我们有 $| a_{n} | \leq b_{n}$ ，那么级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，而且我们有 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} .$

未完成：可以看看级数（分析）里还有什么东西可以搬过来

1. 级数的应用

预备知识 2　自然对数底（极简微积分）

　　自然常数 $e$ 有一个等价定义为

\begin{matrix} (4) & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots, \end{matrix}

这是一个收敛的级数，因为当

n \geq 4

的时候

\frac{1}{n!} \leq \frac{1}{n^{2}}

根据定理 3

\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} & = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \sum_{n = 4}^{\infty} \frac{1}{n!} \\ \leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \sum_{n = 4}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \end{aligned}

后者是收敛的。

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级数（极简微积分）

例 1 几何级数

定理 1

例 2 调和级数

定理 2

定理 3

1. 级数的应用

例 1　几何级数

定理 1　

例 2　调和级数

定理 2　

定理 3　