空间的张量积

                     

贡献者: 零穹

预备知识 张量积

  12矢量空间的张量积在微分几何,群表示论.数学物理中有各式各样的作用.

1. 矢量空间的张量积

定义 1 空间的张量积

   设 $V_1,V_2,T$ 是域 $\mathbb F$ 上的矢量空间,$\sigma:V_1\times V_2\rightarrow T$ 是由 $V_1,V_2$ 是个双线性映射.若对域 $\mathbb F$ 上任意矢量空间 $U$,任一双线性映射 $\varphi:V_1\times V_2\rightarrow U$,都存在唯一的线性映射 $\psi:T\rightarrow U$ 使

\begin{equation} \varphi=\psi\sigma \end{equation}
那么对 $(\sigma,T)$ 就称为 $V_1$ 与 $V_2$ 的张量积

引理 1 

   设 $V_1,V_2$ 是域 $\mathbb F$ 上的矢量空间,$V_1$ 的维数是 $n$,$e_1,\cdots,e_n$ 是 $V_1$ 的一组基.则对 $V_2$ 中任意 $n$ 个元素 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$,存在唯一的线性映射 $f:V_1\rightarrow V_2$ 使

\begin{equation} f(e_i)=\alpha_i,\quad i=1,\cdots,n \end{equation}

   证明:若有另一线性映射 $f_1$,使得

\begin{equation} f_1(e_i)=\alpha_i,\quad i=1,\cdots ,n \end{equation}
那么对任意 $v=\sum\limits_{i}v^ie_i\in V_1$,有
\begin{equation} f_1(v)=\sum_{i}v^if_1(e_i)=\sum_{i}v^i\alpha_i=\sum_{i}v^if(e_i)=f(v) \end{equation}
即 $f_1=f$.

   证毕!

引理 2 

   设 $V_1,V_2$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维的矢量空间,$\{\mu^i\}$,$\{\nu^i\}$ 分别是 $V_1^*,V_2^*$ 的基,那么

\begin{equation} \mu^i\otimes\nu^j,\quad i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots,m \end{equation}
是 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 的一组基.

   证明:先证明 式 5 之间线性无关:若

\begin{equation} \sum_{i,j}\lambda_{ij}\mu^i\otimes\nu^j=0 \end{equation}
右边的 $0$ 是矢量空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 中的零元(注意,由张量积定义 $\mu^i\otimes\nu^j\in \mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$).于是
\begin{equation} \lambda_{kl}= \left(\sum_{i,j}\lambda_{ij}\mu^i\otimes\nu^j \right) (\mu_k,\nu_l)=0(\mu_k,\nu_l)=0 \end{equation}
其中,最后的 $0$ 是域 $\mathbb F$ 的零元,$\{\mu_k\},\{\nu_l\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的与 $\{\mu^i\}$,$\{\nu^i\}$ 对偶的基.所以得到式 5 的线性无关性.

   又 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 的维数为 $nm$,由基的定义(定义 2 ),所以式 5 就是它的一组基.

   证毕!

   由引理 2 ,容易证得下面的推论

推论 1 

   映射

\begin{equation} \sigma(f,g):=f\otimes g,\quad f\in V_1^*,g\in V_2^* \end{equation}
是空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 中的一个矢量,即 $V_1^*,V_2^*$ 上的一双线性型.

   注意:上述的引理和推论,将矢量空间和其对偶空间互调仍然成立,因为彼此是对方的对偶空间(对偶空间的对称性).

定理 1 

   设 $V_1,V_2$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维矢量空间,则矢量空间 $V_1,V_2$ 的张量积存在,且在同构的意义下是唯一的.

   证明:先证明定理前一部分:

   由推论 1 ,映射 $\sigma:V_1\times V_2\rightarrow\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F) $:

\begin{equation} \sigma(v_1,v_2)=v_1\otimes v_2,\quad v_1\in V_1,v_2\in V_2 \end{equation}
是 $\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 中的矢量.

   而由 引理 2 ,若 $\{\mu_i\},\{\nu_i\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的基,$n=\dim V_1,m=\dim V_2$.那么

\begin{equation} \sigma(\mu_i,\nu_j)=\mu_i\otimes \nu_j,\quad i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots,m \end{equation}
是 $\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 的一组基.

   现在证明,对 $(\sigma,\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F))$ 就是 $V_1,V_2$ 的张量积.设 $U$ 是域 $\mathbb F$ 上任一线性空间,

\begin{equation} \begin{aligned} &\varphi:V_1\times V_2\rightarrow U;\\ &\varphi(\mu_i,\nu_j)=\varphi_{ij},\quad i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots m \end{aligned} \end{equation}
是任一双线性映射.由引理 1 ,存在唯一的线性映射 $\psi:\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)\rightarrow U$,使
\begin{equation} \psi(\mu_i\otimes \nu_j)=\varphi_{ij},\quad i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots m \end{equation}

   式 10 带入式 12 ,得

\begin{equation} \psi\sigma(\mu_i,\nu_j)=\varphi_{ij}=\varphi(\mu_i,\nu_j) \end{equation}
于是对任意 $v_1\in V_1,v_2\in V_2$,由于双线性型,显然
\begin{equation} \psi\sigma(v_1,v_2)=\varphi(v_1,v_2) \end{equation}
即 $\psi\sigma=\varphi$.

   由空间张量基的定义(定义 1 ),证得对 $(\sigma,\mathcal L(V_1^*,V_2^*,\mathbb F))$ 就是 $V_1,V_2$ 的张量积.

   定义第二部分的证明:设对 $(\sigma,T),(\sigma', T')$ 是 $V_1,V_2$ 的两个张量积,于是存在唯一的线性映射 $\psi:T\rightarrow T',\psi':T'\rightarrow T$,使得

\begin{equation} \psi\sigma=\sigma',\quad\psi'\sigma'=\sigma \end{equation}
于是
\begin{equation} \psi'\psi\sigma=\sigma=e_T\sigma \end{equation}
其中,$e_T$ 是 $T$ 到 $T$ 的恒等映射.

   由于 $\psi,\psi'$ 的唯一性

\begin{equation} \psi'\psi=e_T \end{equation}
同理
\begin{equation} \psi\psi'=e_{T'} \end{equation}
首先,两个线性映射 $\psi,\psi'$ 的复合 $\psi'\psi$ 仍是线性映射,其次,式 17 ,式 18 表明 $\psi,\psi'$ 都是双射(因为上两式表明二者都有左逆和右逆,所以必为双射),即 $T,T'$ 同构(矢量空间中的同构映射是线性的双射).

   证毕!

   现在容易证明,空间张量积中的映射 $\sigma$ 是个满映射.因为由上面证明知道,$\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 是空间 $V_1,V_2$ 的张量积中的 $T$.而张量积在同构的意义下是唯一的,所以只需证明 $\sigma:V_1\times V_2\rightarrow \mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 是个满映射.由引理 2 ,$\{e_i\otimes e'_j\}$ 是 $\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 的一组基,其中 $\{e_i\},\{e'_j\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的一组基.所以 $\forall t\in \mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$,都可写成

\begin{equation} t=t^{ij}e_i\otimes e'_j \end{equation}
那么任意的 $v=v^i e_i\in V_1,v'=v'^j e'_j\in V_2$ 只要满足 $v^iv'^j=t^{ij}$ 就有
\begin{equation} v\otimes v'=t \end{equation}
式 9 $\sigma(v,v')=t$.故 $\sigma$ 的满射性得证!

   由定理 1 证明过程可看出,下面定理成立

定理 2 

   矢量空间 $V_1,V_2$ 的张量积存在,并且在同构意义下就是 $(\sigma,\mathcal L(V_1^*,V_2^*))$,其中

\begin{equation} \sigma(v_1,v_2)=v_1\otimes v_2 \end{equation}

   因此,将 $V_1,V_2$ 的张量积中的 $T$ 记作 $T=V_1\otimes V_2$ 是恰当的.

定义 2 

   若 $(\sigma ,T)$ 是 $V_1,V_2$ 的张量积,则记 $T=V_1\otimes V_2$.

2. 空间张量积的同构

   由于维数相同的矢量空间必同构,由引理 2 ,$V_1\otimes V_2$ 和 $V_2\otimes V_1$ 的维数相同,同样,$(V_1\otimes V_2)\otimes V_3$ 和 $V_1\otimes( V_2\otimes V_3)$ 维数也相同.那么它们各自必同构,下面定理给出了具体的同构.

定理 3 

   设 $U,V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维矢量空间.则有同构映射 $\psi_1:(U\otimes V)\otimes W\rightarrow U\otimes(V\otimes W)$ 和 $\psi_2:U\otimes V\rightarrow V\otimes U$,使得

\begin{equation} \begin{aligned} \psi_1((u\otimes v)\otimes w)&=u\otimes(v\otimes w)\\ \psi_2(u\otimes v)&=v\otimes u \end{aligned} \end{equation}

   证明:设 $\{\epsilon_i\},\{\eta_j\},\{\xi_k\}$ 分别是 $U,V,W$ 的基底,那么 $\psi_1,\psi_2$ 分别将 $(U\otimes V)\otimes W$ 和 $U\otimes V$ 的基矢

\begin{equation} (\epsilon_i\otimes\eta_j)\otimes\xi_k,\quad \epsilon_i\otimes\eta_j \end{equation}

   映到 $U\otimes (V\otimes W)$ 和 $V\otimes U$ 的基矢

\begin{equation} \epsilon_i\otimes(\eta_j\otimes\xi_k),\quad \eta_j\otimes\epsilon_i \end{equation}

   那么,如果证明了 $\psi_1,\psi_2$ 的线性性质,就能得到 $\psi_1,\psi_2$ 的同构性.因为从上面容易看出 $\psi_1,\psi_2$ 分别将两空间基底一一对应,如果它们还是线性映射,那么各空间中的矢量在 $\psi_1,\psi_2$ 的作用下坐标和原来相同,这时就容易知道 $\psi_1,\psi_2$ 的双射性.

   对

\begin{equation} \begin{aligned} &\forall u=u^i\epsilon_i\in U,\quad v=v^j\eta_j\in V,\quad w=w^k\xi_k\in W\\ &\forall u'=u'^i\epsilon_i\in U,\quad v'=v'^j\eta_j\in V,\quad w'=w'^k\xi_k\in W\\ &\forall \alpha,\beta \in\mathbb F \end{aligned} \end{equation}
由纯量与张量积的乘法定律(定理 2 ),有
\begin{equation} \begin{aligned} &\psi_1(\alpha(u\otimes v)\otimes w+\beta(u'\otimes v')\otimes w')\\ &=\psi_1 \left( \left(\alpha u^iv^jw^k+\beta u'^iv'^jw'^k \right) (\epsilon_i\otimes\eta_j)\otimes\xi_k \right) \\ &= \left(\alpha u^iv^jw^k+\beta u'^iv'^jw'^k \right) \epsilon_i\otimes(\eta_j\otimes\xi_k)\\ &=\alpha u\otimes (v\otimes w)+\beta u'\otimes (v'\otimes w')\\ &=\alpha\psi_1((u\otimes v)\otimes w)+\beta\psi_1((u'\otimes v')\otimes w')\\ \\ &\psi_2 \left(\alpha u\otimes v+\beta u'\otimes v' \right) =\psi_2 \left( \left(\alpha u^iv^j+\beta u'^iv'^j \right) \epsilon_i\otimes\eta_j \right) \\ &= \left(\alpha u^iv^j+\beta u'^iv'^j \right) \eta_j\otimes\epsilon_i\\ &=\alpha v\otimes u+\beta v'\otimes u'\\ &=\alpha\psi_2(u\otimes v)+\beta\psi_2(u'\otimes v') \end{aligned} \end{equation}
于是证得 $\psi_1,\psi_2$ 的线性性质.

   证毕!

   定理 3 给出了空间张量积的结合律,因此对多个空间的张量积,可以不适用括弧.

   另外,下面定理也成立:

定理 4 

   设 $U,V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维矢量空间.则有同构映射

\begin{equation} \begin{aligned} &\psi_1:(U\oplus V)\otimes W\rightarrow (U\otimes W)\oplus (V\otimes W) \\ &\psi_2:U\otimes(V\oplus W)\rightarrow (U\otimes V)\oplus (U\otimes W) \end{aligned} \end{equation}
使得
\begin{equation} \begin{aligned} &\psi_1((u+v)\otimes w)=(u\otimes w)+ (v\otimes w)\\ &\psi_2(u\otimes (v+ w))=(u\otimes v)+ (u\otimes w) \end{aligned} \end{equation}

   证明:由张量积对加法的分配律(定理 2 ),式 28 第一式相当于

\begin{equation} \begin{aligned} \psi_1((u+v)\otimes w)&=(u+v)\otimes w\\ \psi_2(u\otimes(v+w))&=u\otimes(v+w) \end{aligned} \end{equation}
即 $\psi_1,\psi_2$ 是恒等映射,而空间 $(U\oplus V)\otimes W$ 和空间 $(U\otimes W)\oplus (V\otimes W) $ 基底(在映射 $\sigma(v,w)=v\otimes w$ 下)显然相同,所以这两空间可看成同一空间,那么恒等映射当然是同构映射.

   证毕!


1. ^ 聂灵沼,丁石孙.代数学引论,第 2 版,高等教育出版社.1998.
2. ^ 柯斯特利金,代数学引论,卷 2,第 3 版.高等教育出版社.2008.


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