有限维度下张量积的存在性

贡献者：零穹; Giacomo; addis

预备知识　向量空间的张量积，对偶空间，张量的张量积

1. 张量积的存在性

　　对于有限维度向量空间来说，对偶对偶空间同构于原空间（定理 3 ），因此我们可以用对偶空间 $V^{*}$ 和多线性映射空间 $L (V_{1}, V_{2}; F)$ 来定义来定义它们之间的张量积。

引理 1　

　　设 $V_{1}, V_{2}$ 是域 $F$ 上的向量空间， $V_{1}$ 的维数是 $n$ ， $e_{1}, \dots, e_{n}$ 是 $V_{1}$ 的一组基。则对 $V_{2}$ 中任意 $k$ 个元素 $α_{1}, \dots, α_{n}$ ，存在唯一的线性映射 $f : V_{1} \to V_{2}$ 使

\begin{matrix} (1) & f (e_{i}) = α_{i}, i = 1, \dots, n . \end{matrix}

　　 证明：存在性由线性保证；要证明唯一性，若有另一满足条件的线性映射 $f_{1}$ ，那么对任意 $v = \sum_{i} v^{i} e_{i} \in V_{1}$ ，有

\begin{matrix} (2) & f_{1} (v) = \sum_{i} v^{i} f_{1} (e_{i}) = \sum_{i} v^{i} α_{i} = \sum_{i} v^{i} f (e_{i}) = f (v), \end{matrix}

即

f_{1} = f

。

　　 证毕！

　　在张量的张量积中我们已经定义过线性映射（对偶向量）的张量积了：考虑 $f \in V_{1}^{*}, g \in V_{2}^{*}$ ，我们有 $(f \otimes g) (v_{1}, v_{2}) = f (v_{1}) f (v_{2})$ ，其中 $f \otimes g \in L (V_{1}, V_{2}; F)$ 是双线性映射。

引理 2　

　　设 $V_{1}, V_{2}$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维的向量空间， ${μ^{i}}$ ， ${ν^{i}}$ 分别是对偶空间 $V_{1}^{*}, V_{2}^{*}$ 的基，那么

\begin{matrix} (3) & {μ^{i} \otimes ν^{j} ∣ i = 1, \dots, n, j = 1, \dots, m} \end{matrix}

是双线性映射空间

L (V_{1}, V_{2}; F)

的一组基。

　　 证明：先证明式 3 之间线性无关：如果

\begin{matrix} (4) & \sum_{i, j} λ_{i j} μ^{i} \otimes ν^{j} = 0, \end{matrix}

其中，右边的

0

是向量空间

L (V_{1}, V_{2}; F)

中的零向量，那么

\begin{matrix} (5) & λ_{k l} = (\sum_{i, j} λ_{i j} μ^{i} \otimes ν^{j}) (μ_{k}, ν_{l}) = 0 (μ_{k}, ν_{l}) = 0 . \end{matrix}

其中，最后的

0

是域

F

的零元，

{μ_{k}}, {ν_{l}}

分别是

V_{1}, V_{2}

的与

{μ^{i}}

，

{ν^{i}}

对偶的基。所以得到式 3 的线性无关性。

　　又因为 $L (V_{1}, V_{2}; F)$ 的维数为 $n m$ ，由基的定义（定义 4 ）可得式 3 就是它的一组基。

　　 证毕！

　　由引理 2 ，容易证得下面的推论

推论 1　

　　取 $f \in V_{1}^{*}, g \in V_{2}^{*}$ ，元素 $f \otimes g$ 是空间 $L (V_{1}, V_{2}; F)$ 中的一个向量，即 $V_{1} \times V_{2}$ 上的一个双线性函数；因此定义了映射 $σ : V_{1}^{*} \times V_{2}^{*} \to L (V_{1}, V_{2}; F)$ 。

未完成：这不应该单独写一个推论，应当并入引理 2

　　注意：上述的引理和推论，将向量空间和其对偶空间互调仍然成立，因为彼此是对方的对偶空间（参考对偶空间），因此我们可以定义

\begin{matrix} (6) & σ : V_{1} \times V_{2} \to L (V_{1}^{*}, V_{2}^{*}; F) . \end{matrix}

定理 1　

　　设 $V_{1}, V_{2}$ 是域 $F$ 上有限维向量空间，则向量空间 $V_{1}, V_{2}$ 的张量积存在，且在同构的意义下是唯一的。

　　 证明：先证明定理前一部分：

　　由推论 1 ，映射 $σ : V_{1} \times V_{2} \to L (V_{1}^{*}, V_{2}^{*}; F)$ ：

\begin{matrix} (7) & σ (v_{1}, v_{2}) = v_{1} \otimes v_{2} (v_{1} \in V_{1}, v_{2} \in V_{2}) \end{matrix}

是

L (V_{1}^{*}, V_{2}^{*}; F)

中的向量。

　　而由引理 2 ，若 ${μ_{i}}, {ν_{i}}$ 分别是 $V_{1}, V_{2}$ 的基， $n = \dim V_{1}, m = \dim V_{2}$ 。那么

\begin{matrix} (8) & σ (μ_{i}, ν_{j}) = μ_{i} \otimes ν_{j} (i = 1, \dots, n, j = 1, \dots, m) \end{matrix}

是

L (V_{1}^{*}, V_{2}^{*}; F)

的一组基。

　　现在证明，对 $(σ, L (V_{1}^{*}, V_{2}^{*}; F))$ 就是 $V_{1}, V_{2}$ 的张量积。设 $U$ 是域 $F$ 上任一线性空间，

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} φ : V_{1} \times V_{2} \to U, \\ φ (μ_{i}, ν_{j}) = φ_{i j} (i = 1, \dots, n, j = 1, \dots m) . \end{aligned} \end{matrix}

是任一双线性映射。由引理 1 ，存在唯一的线性映射

ψ : L (V_{1}^{*}, V_{2}^{*}; F) \to U

，使

\begin{matrix} (10) & ψ (μ_{i} \otimes ν_{j}) = φ_{i j} (i = 1, \dots, n, j = 1, \dots m) . \end{matrix}

　　式 8 带入式 10 ，得

\begin{matrix} (11) & ψ σ (μ_{i}, ν_{j}) = φ_{i j} = φ (μ_{i}, ν_{j}) . \end{matrix}

于是对任意

v_{1} \in V_{1}, v_{2} \in V_{2}

，由于双线性型，显然

\begin{matrix} (12) & ψ σ (v_{1}, v_{2}) = φ (v_{1}, v_{2}), \end{matrix}

即

ψ σ = φ

。

　　由向量空间张量积的定义（定义 1 ），证得对 $(σ, L (V_{1}^{*}, V_{2}^{*}, F))$ 就是 $V_{1}, V_{2}$ 的张量积。

　　定义第二部分的证明：设对 $(σ, T), (σ^{'}, T^{'})$ 是 $V_{1}, V_{2}$ 的两个张量积，于是存在唯一的线性映射 $ψ : T \to T^{'}, ψ^{'} : T^{'} \to T$ ，使得

\begin{matrix} (13) & ψ σ = σ^{'}, ψ^{'} σ^{'} = σ, \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (14) & ψ^{'} ψ σ = σ = e_{T} σ . \end{matrix}

其中，

e_{T}

是

T

到

T

的恒等映射。

　　由于 $ψ, ψ^{'}$ 的唯一性

\begin{matrix} (15) & ψ^{'} ψ = e_{T}, \end{matrix}

同理

\begin{matrix} (16) & ψ ψ^{'} = e_{T^{'}} . \end{matrix}

首先，两个线性映射

ψ, ψ^{'}

的复合

ψ^{'} ψ

仍是线性映射，其次，式 15 ,式 16 表明

ψ, ψ^{'}

都是双射（因为上两式表明二者都有左逆和右逆，所以必为双射），即

T, T^{'}

同构（向量空间中的同构映射是线性的双射）。

　　 证毕！

　　现在容易证明，空间张量积中的映射 $σ$ 是个满映射。因为由上面证明知道， $L (V_{1}^{*}, V_{2}^{*}; F)$ 是空间 $V_{1}, V_{2}$ 的张量积中的 $T$ 。而张量积在同构的意义下是唯一的，所以只需证明 $σ : V_{1} \times V_{2} \to L (V_{1}^{*}, V_{2}^{*}; F)$ 是个满映射。由引理 2 ， ${e_{i} \otimes e_{j}^{'}}$ 是 $L (V_{1}^{*}, V_{2}^{*}; F)$ 的一组基，其中 ${e_{i}}, {e_{j}^{'}}$ 分别是 $V_{1}, V_{2}$ 的一组基。所以 $\forall t \in L (V_{1}^{*}, V_{2}^{*}; F)$ ，都可写成

\begin{matrix} (17) & t = t^{i j} e_{i} \otimes e_{j}^{'} . \end{matrix}

那么任意的

v = v^{i} e_{i} \in V_{1}, v^{'} = v^{' j} e_{j}^{'} \in V_{2}

只要满足

v^{i} v^{' j} = t^{i j}

就有

\begin{matrix} (18) & v \otimes v^{'} = t, \end{matrix}

由式 7

σ (v, v^{'}) = t

。故

σ

的满射性得证！

2. 张量积的结合性

　　由于维数相同的向量空间必同构，由引理 2 ， $V_{1} \otimes V_{2}$ 和 $V_{2} \otimes V_{1}$ 的维数相同，同样， $(V_{1} \otimes V_{2}) \otimes V_{3}$ 和 $V_{1} \otimes (V_{2} \otimes V_{3})$ 维数也相同，因此它们各自同构。下面定理给出了它们的自然同构，即无关基的选取的同构。

定理 2　

　　设 $U, V, W$ 是域 $F$ 上有限维向量空间。则有同构映射 $ψ_{1} : (U \otimes V) \otimes W \to U \otimes (V \otimes W)$ 和 $ψ_{2} : U \otimes V \to V \otimes U$ ，使得

\begin{matrix} (19) & \begin{aligned} ψ_{1} ((u \otimes v) \otimes w) & = u \otimes (v \otimes w), \\ ψ_{2} (u \otimes v) & = v \otimes u . \end{aligned} \end{matrix}

　　证明：设 ${ϵ_{i}}, {η_{j}}, {ξ_{k}}$ 分别是 $U, V, W$ 的基底，那么 $ψ_{1}, ψ_{2}$ 分别将 $(U \otimes V) \otimes W$ 和 $U \otimes V$ 的基矢

\begin{matrix} (20) & (ϵ_{i} \otimes η_{j}) \otimes ξ_{k}, ϵ_{i} \otimes η_{j}, \end{matrix}

　　映到 $U \otimes (V \otimes W)$ 和 $V \otimes U$ 的基矢

\begin{matrix} (21) & ϵ_{i} \otimes (η_{j} \otimes ξ_{k}), η_{j} \otimes ϵ_{i} . \end{matrix}

　　那么，如果证明了 $ψ_{1}, ψ_{2}$ 的线性性质，就能得到 $ψ_{1}, ψ_{2}$ 的同构性。因为从上面容易看出 $ψ_{1}, ψ_{2}$ 分别将两空间基底一一对应，如果它们还是线性映射，那么各空间中的向量在 $ψ_{1}, ψ_{2}$ 的作用下坐标和原来相同，这时就容易知道 $ψ_{1}, ψ_{2}$ 的双射性。

　　对

\begin{matrix} (22) & \begin{aligned} \forall u = u^{i} ϵ_{i} \in U, v = v^{j} η_{j} \in V, w = w^{k} ξ_{k} \in W, \\ \forall u^{'} = u^{' i} ϵ_{i} \in U, v^{'} = v^{' j} η_{j} \in V, w^{'} = w^{' k} ξ_{k} \in W, \\ \forall α, β \in F . \end{aligned} \end{matrix}

由纯量与张量积的乘法定律（定理 2 ），有

\begin{matrix} (23) & \begin{aligned} ψ_{1} (α (u \otimes v) \otimes w + β (u^{'} \otimes v^{'}) \otimes w^{'}) \\ = ψ_{1} ((α u^{i} v^{j} w^{k} + β u^{' i} v^{' j} w^{' k}) (ϵ_{i} \otimes η_{j}) \otimes ξ_{k}) \\ = (α u^{i} v^{j} w^{k} + β u^{' i} v^{' j} w^{' k}) ϵ_{i} \otimes (η_{j} \otimes ξ_{k}) \\ = α u \otimes (v \otimes w) + β u^{'} \otimes (v^{'} \otimes w^{'}) \\ = α ψ_{1} ((u \otimes v) \otimes w) + β ψ_{1} ((u^{'} \otimes v^{'}) \otimes w^{'}), \\ ψ_{2} (α u \otimes v + β u^{'} \otimes v^{'}) = ψ_{2} ((α u^{i} v^{j} + β u^{' i} v^{' j}) ϵ_{i} \otimes η_{j}) \\ = (α u^{i} v^{j} + β u^{' i} v^{' j}) η_{j} \otimes ϵ_{i} \\ = α v \otimes u + β v^{'} \otimes u^{'} \\ = α ψ_{2} (u \otimes v) + β ψ_{2} (u^{'} \otimes v^{'}), \end{aligned} \end{matrix}

于是证得

ψ_{1}, ψ_{2}

的线性性质。

　　 证毕！

　　定理 2 给出了空间张量积的结合律，因此对多个空间的张量积，可以不使用括弧。

未完成：这里没有分清楚内直和和外直和导致了符号混乱

另外，下面定理也成立：

定理 3　

　　设 $U, V, W$ 是域 $F$ 上有限维向量空间。则有同构映射

\begin{matrix} (24) & \begin{aligned} ψ_{1} : (U \oplus V) \otimes W \to (U \otimes W) \oplus (V \otimes W), \\ ψ_{2} : U \otimes (V \oplus W) \to (U \otimes V) \oplus (U \otimes W), \end{aligned} \end{matrix}

使得

\begin{matrix} (25) & \begin{aligned} ψ_{1} ((u + v) \otimes w) = (u \otimes w) + (v \otimes w), \\ ψ_{2} (u \otimes (v + w)) = (u \otimes v) + (u \otimes w) . \end{aligned} \end{matrix}

　　 证明：由张量积对加法的分配律（定理 2 ），式 25 第一式相当于

\begin{matrix} (26) & \begin{aligned} ψ_{1} ((u + v) \otimes w) & = (u + v) \otimes w, \\ ψ_{2} (u \otimes (v + w)) & = u \otimes (v + w) . \end{aligned} \end{matrix}

即

ψ_{1}, ψ_{2}

是恒等映射，而空间

(U \oplus V) \otimes W

和空间

(U \otimes W) \oplus (V \otimes W)

基底（在映射

σ (v, w) = v \otimes w

下）显然相同，所以这两空间可看成同一空间，那么恒等映射当然是同构映射。

　　 证毕！

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