贡献者： 零穹
12矢量空间的张量积在微分几何，群表示论。数学物理中有各式各样的作用。
1. 矢量空间的张量积
定义 1 空间的张量积
设 $V_1,V_2,T$ 是域 $\mathbb F$ 上的矢量空间，$\sigma:V_1\times V_2\rightarrow T$ 是由 $V_1,V_2$ 是个双线性映射。若对域 $\mathbb F$ 上任意矢量空间 $U$，任一双线性映射 $\varphi:V_1\times V_2\rightarrow U$，都存在唯一的线性映射 $\psi:T\rightarrow U$ 使
\begin{equation}
\varphi=\psi\sigma
\end{equation}
那么对 $(\sigma,T)$ 就称为 $V_1$ 与 $V_2$ 的
张量积。
引理 1
设 $V_1,V_2$ 是域 $\mathbb F$ 上的矢量空间，$V_1$ 的维数是 $n$，$e_1,\cdots,e_n$ 是 $V_1$ 的一组基。则对 $V_2$ 中任意 $n$ 个元素 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$，存在唯一的线性映射 $f:V_1\rightarrow V_2$ 使
\begin{equation}
f(e_i)=\alpha_i,\quad i=1,\cdots,n
\end{equation}
证明：若有另一线性映射 $f_1$，使得
\begin{equation}
f_1(e_i)=\alpha_i,\quad i=1,\cdots ,n
\end{equation}
那么对任意 $v=\sum\limits_{i}v^ie_i\in V_1$，有
\begin{equation}
f_1(v)=\sum_{i}v^if_1(e_i)=\sum_{i}v^i\alpha_i=\sum_{i}v^if(e_i)=f(v)
\end{equation}
即 $f_1=f$。
证毕！
引理 2
设 $V_1,V_2$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维的矢量空间，$\{\mu^i\}$，$\{\nu^i\}$ 分别是 $V_1^*,V_2^*$ 的基，那么
\begin{equation}
\mu^i\otimes\nu^j,\quad i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots,m
\end{equation}
是 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$
的一组基。
证明：先证明 式 5 之间线性无关：若
\begin{equation}
\sum_{i,j}\lambda_{ij}\mu^i\otimes\nu^j=0
\end{equation}
右边的 $0$ 是矢量空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$
中的零元（注意，由张量积定义 $\mu^i\otimes\nu^j\in \mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$）。于是
\begin{equation}
\lambda_{kl}= \left(\sum_{i,j}\lambda_{ij}\mu^i\otimes\nu^j \right) (\mu_k,\nu_l)=0(\mu_k,\nu_l)=0
\end{equation}
其中，最后的 $0$ 是域 $\mathbb F$ 的零元，$\{\mu_k\},\{\nu_l\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的与 $\{\mu^i\}$，$\{\nu^i\}$ 对偶的基。所以得到
式 5 的线性无关性。
又 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 的维数为 $nm$，由基的定义（定义 2 ），所以式 5 就是它的一组基。
证毕！
由引理 2 ，容易证得下面的推论
推论 1
映射
\begin{equation}
\sigma(f,g):=f\otimes g,\quad f\in V_1^*,g\in V_2^*
\end{equation}
是空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 中的一个矢量，即 $V_1^*,V_2^*$ 上的一双线性型。
注意：上述的引理和推论，将矢量空间和其对偶空间互调仍然成立，因为彼此是对方的对偶空间（对偶空间的对称性）。
定理 1
设 $V_1,V_2$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维矢量空间，则矢量空间 $V_1,V_2$ 的张量积存在，且在同构的意义下是唯一的。
证明：先证明定理前一部分：
由推论 1 ，映射 $\sigma:V_1\times V_2\rightarrow\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F) $：
\begin{equation}
\sigma(v_1,v_2)=v_1\otimes v_2,\quad v_1\in V_1,v_2\in V_2
\end{equation}
是 $\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 中的矢量。
而由 引理 2 ，若 $\{\mu_i\},\{\nu_i\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的基，$n=\dim V_1,m=\dim V_2$。那么
\begin{equation}
\sigma(\mu_i,\nu_j)=\mu_i\otimes \nu_j,\quad i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots,m
\end{equation}
是 $\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 的一组基。
现在证明，对 $(\sigma,\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F))$ 就是 $V_1,V_2$ 的张量积。设 $U$ 是域 $\mathbb F$ 上任一线性空间，
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\varphi:V_1\times V_2\rightarrow U;\\
&\varphi(\mu_i,\nu_j)=\varphi_{ij},\quad i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots m
\end{aligned}
\end{equation}
是任一双线性映射。由
引理 1 ，存在
唯一的线性映射 $\psi:\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)\rightarrow U$，使
\begin{equation}
\psi(\mu_i\otimes \nu_j)=\varphi_{ij},\quad i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots m
\end{equation}
式 10 带入式 12 ，得
\begin{equation}
\psi\sigma(\mu_i,\nu_j)=\varphi_{ij}=\varphi(\mu_i,\nu_j)
\end{equation}
于是对任意 $v_1\in V_1,v_2\in V_2$，由于双线性型，显然
\begin{equation}
\psi\sigma(v_1,v_2)=\varphi(v_1,v_2)
\end{equation}
即 $\psi\sigma=\varphi$。
由空间张量基的定义（定义 1 ），证得对 $(\sigma,\mathcal L(V_1^*,V_2^*,\mathbb F))$ 就是 $V_1,V_2$ 的张量积。
定义第二部分的证明：设对 $(\sigma,T),(\sigma', T')$ 是 $V_1,V_2$ 的两个张量积，于是存在唯一的线性映射 $\psi:T\rightarrow T',\psi':T'\rightarrow T$，使得
\begin{equation}
\psi\sigma=\sigma',\quad\psi'\sigma'=\sigma
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\psi'\psi\sigma=\sigma=e_T\sigma
\end{equation}
其中，$e_T$ 是 $T$ 到 $T$ 的恒等映射。
由于 $\psi,\psi'$ 的唯一性
\begin{equation}
\psi'\psi=e_T
\end{equation}
同理
\begin{equation}
\psi\psi'=e_{T'}
\end{equation}
首先，两个线性映射 $\psi,\psi'$ 的复合 $\psi'\psi$ 仍是线性映射，其次，
式 17 ,
式 18 表明 $\psi,\psi'$ 都是双射（因为上两式表明二者都有左逆和右逆，所以必为双射），即 $T,T'$ 同构（矢量空间中的同构映射是线性的双射）。
证毕！
现在容易证明，空间张量积中的映射 $\sigma$ 是个满映射。因为由上面证明知道，$\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 是空间 $V_1,V_2$ 的张量积中的 $T$。而张量积在同构的意义下是唯一的，所以只需证明 $\sigma:V_1\times V_2\rightarrow \mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 是个满映射。由引理 2 ，$\{e_i\otimes e'_j\}$ 是 $\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 的一组基，其中 $\{e_i\},\{e'_j\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的一组基。所以 $\forall t\in \mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$，都可写成
\begin{equation}
t=t^{ij}e_i\otimes e'_j
\end{equation}
那么任意的 $v=v^i e_i\in V_1,v'=v'^j e'_j\in V_2$ 只要满足 $v^iv'^j=t^{ij}$ 就有
\begin{equation}
v\otimes v'=t
\end{equation}
由
式 9 $\sigma(v,v')=t$。故 $\sigma$ 的满射性得证！
由定理 1 证明过程可看出，下面定理成立
定理 2
矢量空间 $V_1,V_2$ 的张量积存在，并且在同构意义下就是 $(\sigma,\mathcal L(V_1^*,V_2^*))$，其中
\begin{equation}
\sigma(v_1,v_2)=v_1\otimes v_2
\end{equation}
因此，将 $V_1,V_2$ 的张量积中的 $T$ 记作 $T=V_1\otimes V_2$ 是恰当的。
定义 2
若 $(\sigma ,T)$ 是 $V_1,V_2$ 的张量积，则记 $T=V_1\otimes V_2$。
2. 空间张量积的同构
由于维数相同的矢量空间必同构，由引理 2 ，$V_1\otimes V_2$ 和 $V_2\otimes V_1$ 的维数相同，同样，$(V_1\otimes V_2)\otimes V_3$ 和 $V_1\otimes( V_2\otimes V_3)$ 维数也相同。那么它们各自必同构，下面定理给出了具体的同构。
定理 3
设 $U,V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维矢量空间。则有同构映射 $\psi_1:(U\otimes V)\otimes W\rightarrow U\otimes(V\otimes W)$ 和 $\psi_2:U\otimes V\rightarrow V\otimes U$，使得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi_1((u\otimes v)\otimes w)&=u\otimes(v\otimes w)\\
\psi_2(u\otimes v)&=v\otimes u
\end{aligned}
\end{equation}
证明：设 $\{\epsilon_i\},\{\eta_j\},\{\xi_k\}$ 分别是 $U,V,W$ 的基底，那么 $\psi_1,\psi_2$ 分别将 $(U\otimes V)\otimes W$ 和 $U\otimes V$ 的基矢
\begin{equation}
(\epsilon_i\otimes\eta_j)\otimes\xi_k,\quad \epsilon_i\otimes\eta_j
\end{equation}
映到 $U\otimes (V\otimes W)$ 和 $V\otimes U$ 的基矢
\begin{equation}
\epsilon_i\otimes(\eta_j\otimes\xi_k),\quad \eta_j\otimes\epsilon_i
\end{equation}
那么，如果证明了 $\psi_1,\psi_2$ 的线性性质，就能得到 $\psi_1,\psi_2$ 的同构性。因为从上面容易看出 $\psi_1,\psi_2$ 分别将两空间基底一一对应，如果它们还是线性映射，那么各空间中的矢量在 $\psi_1,\psi_2$ 的作用下坐标和原来相同，这时就容易知道 $\psi_1,\psi_2$ 的双射性。
对
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\forall u=u^i\epsilon_i\in U,\quad v=v^j\eta_j\in V,\quad w=w^k\xi_k\in W\\
&\forall u'=u'^i\epsilon_i\in U,\quad v'=v'^j\eta_j\in V,\quad w'=w'^k\xi_k\in W\\
&\forall \alpha,\beta \in\mathbb F
\end{aligned}
\end{equation}
由纯量与张量积的乘法定律（
定理 2 ），有
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\psi_1(\alpha(u\otimes v)\otimes w+\beta(u'\otimes v')\otimes w')\\
&=\psi_1 \left( \left(\alpha u^iv^jw^k+\beta u'^iv'^jw'^k \right) (\epsilon_i\otimes\eta_j)\otimes\xi_k \right) \\
&= \left(\alpha u^iv^jw^k+\beta u'^iv'^jw'^k \right) \epsilon_i\otimes(\eta_j\otimes\xi_k)\\
&=\alpha u\otimes (v\otimes w)+\beta u'\otimes (v'\otimes w')\\
&=\alpha\psi_1((u\otimes v)\otimes w)+\beta\psi_1((u'\otimes v')\otimes w')\\
\\
&\psi_2 \left(\alpha u\otimes v+\beta u'\otimes v' \right) =\psi_2 \left( \left(\alpha u^iv^j+\beta u'^iv'^j \right) \epsilon_i\otimes\eta_j \right) \\
&= \left(\alpha u^iv^j+\beta u'^iv'^j \right) \eta_j\otimes\epsilon_i\\
&=\alpha v\otimes u+\beta v'\otimes u'\\
&=\alpha\psi_2(u\otimes v)+\beta\psi_2(u'\otimes v')
\end{aligned}
\end{equation}
于是证得 $\psi_1,\psi_2$ 的线性性质。
证毕！
定理 3 给出了空间张量积的结合律，因此对多个空间的张量积，可以不适用括弧。
另外，下面定理也成立：
定理 4
设 $U,V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维矢量空间。则有同构映射
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\psi_1:(U\oplus V)\otimes W\rightarrow (U\otimes W)\oplus (V\otimes W) \\
&\psi_2:U\otimes(V\oplus W)\rightarrow (U\otimes V)\oplus (U\otimes W)
\end{aligned}
\end{equation}
使得
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\psi_1((u+v)\otimes w)=(u\otimes w)+ (v\otimes w)\\
&\psi_2(u\otimes (v+ w))=(u\otimes v)+ (u\otimes w)
\end{aligned}
\end{equation}
证明：由张量积对加法的分配律（定理 2 ），式 28 第一式相当于
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi_1((u+v)\otimes w)&=(u+v)\otimes w\\
\psi_2(u\otimes(v+w))&=u\otimes(v+w)
\end{aligned}
\end{equation}
即 $\psi_1,\psi_2$ 是恒等映射，而空间 $(U\oplus V)\otimes W$ 和空间 $(U\otimes W)\oplus (V\otimes W) $ 基底（在映射 $\sigma(v,w)=v\otimes w$ 下）显然相同，所以这两空间可看成同一空间，那么恒等映射当然是同构映射。
证毕！
1. ^ 聂灵沼，丁石孙。代数学引论，第 2 版，高等教育出版社.1998.
2. ^ 柯斯特利金，代数学引论，卷 2，第 3 版。高等教育出版社.2008.
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。