贡献者： 零穹
12矢量空间的张量积在微分几何，群表示论．数学物理中有各式各样的作用．
1. 矢量空间的张量积
定义 1 空间的张量积
设 $V_1,V_2,T$ 是域 $\mathbb F$ 上的矢量空间，$\sigma:V_1\times V_2\rightarrow T$ 是由 $V_1,V_2$ 是个双线性映射．若对域 $\mathbb F$ 上任意矢量空间 $U$，任一双线性映射 $\varphi:V_1\times V_2\rightarrow U$，都存在唯一的线性映射 $\psi:T\rightarrow U$ 使
\begin{equation}
\varphi=\psi\sigma
\end{equation}
那么对 $(\sigma,T)$ 就称为 $V_1$ 与 $V_2$ 的
张量积．
引理 1
设 $V_1,V_2$ 是域 $\mathbb F$ 上的矢量空间，$V_1$ 的维数是 $n$，$e_1,\cdots,e_n$ 是 $V_1$ 的一组基．则对 $V_2$ 中任意 $n$ 个元素 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$，存在唯一的线性映射 $f:V_1\rightarrow V_2$ 使
\begin{equation}
f(e_i)=\alpha_i,\quad i=1,\cdots,n
\end{equation}
证明：若有另一线性映射 $f_1$，使得
\begin{equation}
f_1(e_i)=\alpha_i,\quad i=1,\cdots ,n
\end{equation}
那么对任意 $v=\sum\limits_{i}v^ie_i\in V_1$，有
\begin{equation}
f_1(v)=\sum_{i}v^if_1(e_i)=\sum_{i}v^i\alpha_i=\sum_{i}v^if(e_i)=f(v)
\end{equation}
即 $f_1=f$．
证毕！
引理 2
设 $V_1,V_2$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维的矢量空间，$\{\mu^i\}$，$\{\nu^i\}$ 分别是 $V_1^*,V_2^*$ 的基，那么
\begin{equation}
\mu^i\otimes\nu^j,\quad i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots,m
\end{equation}
是 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$
的一组基．
证明：先证明 式 5 之间线性无关：若
\begin{equation}
\sum_{i,j}\lambda_{ij}\mu^i\otimes\nu^j=0
\end{equation}
右边的 $0$ 是矢量空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$
中的零元（注意，由张量积定义 $\mu^i\otimes\nu^j\in \mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$）．于是
\begin{equation}
\lambda_{kl}= \left(\sum_{i,j}\lambda_{ij}\mu^i\otimes\nu^j \right) (\mu_k,\nu_l)=0(\mu_k,\nu_l)=0
\end{equation}
其中，最后的 $0$ 是域 $\mathbb F$ 的零元，$\{\mu_k\},\{\nu_l\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的与 $\{\mu^i\}$，$\{\nu^i\}$ 对偶的基．所以得到
式 5 的线性无关性．
又 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 的维数为 $nm$，由基的定义（定义 2 ），所以式 5 就是它的一组基．
证毕！
由引理 2 ，容易证得下面的推论
推论 1
映射
\begin{equation}
\sigma(f,g):=f\otimes g,\quad f\in V_1^*,g\in V_2^*
\end{equation}
是空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 中的一个矢量，即 $V_1^*,V_2^*$ 上的一双线性型．
注意：上述的引理和推论，将矢量空间和其对偶空间互调仍然成立，因为彼此是对方的对偶空间（对偶空间的对称性）．
定理 1
设 $V_1,V_2$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维矢量空间，则矢量空间 $V_1,V_2$ 的张量积存在，且在同构的意义下是唯一的．
证明：先证明定理前一部分：
由推论 1 ，映射 $\sigma:V_1\times V_2\rightarrow\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F) $：
\begin{equation}
\sigma(v_1,v_2)=v_1\otimes v_2,\quad v_1\in V_1,v_2\in V_2
\end{equation}
是 $\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 中的矢量．
而由 引理 2 ，若 $\{\mu_i\},\{\nu_i\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的基，$n=\dim V_1,m=\dim V_2$．那么
\begin{equation}
\sigma(\mu_i,\nu_j)=\mu_i\otimes \nu_j,\quad i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots,m
\end{equation}
是 $\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 的一组基．
现在证明，对 $(\sigma,\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F))$ 就是 $V_1,V_2$ 的张量积．设 $U$ 是域 $\mathbb F$ 上任一线性空间，
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\varphi:V_1\times V_2\rightarrow U;\\
&\varphi(\mu_i,\nu_j)=\varphi_{ij},\quad i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots m
\end{aligned}
\end{equation}
是任一双线性映射．由
引理 1 ，存在
唯一的线性映射 $\psi:\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)\rightarrow U$，使
\begin{equation}
\psi(\mu_i\otimes \nu_j)=\varphi_{ij},\quad i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots m
\end{equation}
式 10 带入式 12 ，得
\begin{equation}
\psi\sigma(\mu_i,\nu_j)=\varphi_{ij}=\varphi(\mu_i,\nu_j)
\end{equation}
于是对任意 $v_1\in V_1,v_2\in V_2$，由于双线性型，显然
\begin{equation}
\psi\sigma(v_1,v_2)=\varphi(v_1,v_2)
\end{equation}
即 $\psi\sigma=\varphi$．
由空间张量基的定义（定义 1 ），证得对 $(\sigma,\mathcal L(V_1^*,V_2^*,\mathbb F))$ 就是 $V_1,V_2$ 的张量积．
定义第二部分的证明：设对 $(\sigma,T),(\sigma', T')$ 是 $V_1,V_2$ 的两个张量积，于是存在唯一的线性映射 $\psi:T\rightarrow T',\psi':T'\rightarrow T$，使得
\begin{equation}
\psi\sigma=\sigma',\quad\psi'\sigma'=\sigma
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\psi'\psi\sigma=\sigma=e_T\sigma
\end{equation}
其中，$e_T$ 是 $T$ 到 $T$ 的恒等映射．
由于 $\psi,\psi'$ 的唯一性
\begin{equation}
\psi'\psi=e_T
\end{equation}
同理
\begin{equation}
\psi\psi'=e_{T'}
\end{equation}
首先，两个线性映射 $\psi,\psi'$ 的复合 $\psi'\psi$ 仍是线性映射，其次，
式 17 ,
式 18 表明 $\psi,\psi'$ 都是双射（因为上两式表明二者都有左逆和右逆，所以必为双射），即 $T,T'$ 同构（矢量空间中的同构映射是线性的双射）．
证毕！
现在容易证明，空间张量积中的映射 $\sigma$ 是个满映射．因为由上面证明知道，$\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 是空间 $V_1,V_2$ 的张量积中的 $T$．而张量积在同构的意义下是唯一的，所以只需证明 $\sigma:V_1\times V_2\rightarrow \mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 是个满映射．由引理 2 ，$\{e_i\otimes e'_j\}$ 是 $\mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$ 的一组基，其中 $\{e_i\},\{e'_j\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的一组基．所以 $\forall t\in \mathcal L(V_1^*,V_2^*;\mathbb F)$，都可写成
\begin{equation}
t=t^{ij}e_i\otimes e'_j
\end{equation}
那么任意的 $v=v^i e_i\in V_1,v'=v'^j e'_j\in V_2$ 只要满足 $v^iv'^j=t^{ij}$ 就有
\begin{equation}
v\otimes v'=t
\end{equation}
由
式 9 $\sigma(v,v')=t$．故 $\sigma$ 的满射性得证！
由定理 1 证明过程可看出，下面定理成立
定理 2
矢量空间 $V_1,V_2$ 的张量积存在，并且在同构意义下就是 $(\sigma,\mathcal L(V_1^*,V_2^*))$，其中
\begin{equation}
\sigma(v_1,v_2)=v_1\otimes v_2
\end{equation}
因此，将 $V_1,V_2$ 的张量积中的 $T$ 记作 $T=V_1\otimes V_2$ 是恰当的．
定义 2
若 $(\sigma ,T)$ 是 $V_1,V_2$ 的张量积，则记 $T=V_1\otimes V_2$．
2. 空间张量积的同构
由于维数相同的矢量空间必同构，由引理 2 ，$V_1\otimes V_2$ 和 $V_2\otimes V_1$ 的维数相同，同样，$(V_1\otimes V_2)\otimes V_3$ 和 $V_1\otimes( V_2\otimes V_3)$ 维数也相同．那么它们各自必同构，下面定理给出了具体的同构．
定理 3
设 $U,V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维矢量空间．则有同构映射 $\psi_1:(U\otimes V)\otimes W\rightarrow U\otimes(V\otimes W)$ 和 $\psi_2:U\otimes V\rightarrow V\otimes U$，使得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi_1((u\otimes v)\otimes w)&=u\otimes(v\otimes w)\\
\psi_2(u\otimes v)&=v\otimes u
\end{aligned}
\end{equation}
证明：设 $\{\epsilon_i\},\{\eta_j\},\{\xi_k\}$ 分别是 $U,V,W$ 的基底，那么 $\psi_1,\psi_2$ 分别将 $(U\otimes V)\otimes W$ 和 $U\otimes V$ 的基矢
\begin{equation}
(\epsilon_i\otimes\eta_j)\otimes\xi_k,\quad \epsilon_i\otimes\eta_j
\end{equation}
映到 $U\otimes (V\otimes W)$ 和 $V\otimes U$ 的基矢
\begin{equation}
\epsilon_i\otimes(\eta_j\otimes\xi_k),\quad \eta_j\otimes\epsilon_i
\end{equation}
那么，如果证明了 $\psi_1,\psi_2$ 的线性性质，就能得到 $\psi_1,\psi_2$ 的同构性．因为从上面容易看出 $\psi_1,\psi_2$ 分别将两空间基底一一对应，如果它们还是线性映射，那么各空间中的矢量在 $\psi_1,\psi_2$ 的作用下坐标和原来相同，这时就容易知道 $\psi_1,\psi_2$ 的双射性．
对
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\forall u=u^i\epsilon_i\in U,\quad v=v^j\eta_j\in V,\quad w=w^k\xi_k\in W\\
&\forall u'=u'^i\epsilon_i\in U,\quad v'=v'^j\eta_j\in V,\quad w'=w'^k\xi_k\in W\\
&\forall \alpha,\beta \in\mathbb F
\end{aligned}
\end{equation}
由纯量与张量积的乘法定律（
定理 2 ），有
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\psi_1(\alpha(u\otimes v)\otimes w+\beta(u'\otimes v')\otimes w')\\
&=\psi_1 \left( \left(\alpha u^iv^jw^k+\beta u'^iv'^jw'^k \right) (\epsilon_i\otimes\eta_j)\otimes\xi_k \right) \\
&= \left(\alpha u^iv^jw^k+\beta u'^iv'^jw'^k \right) \epsilon_i\otimes(\eta_j\otimes\xi_k)\\
&=\alpha u\otimes (v\otimes w)+\beta u'\otimes (v'\otimes w')\\
&=\alpha\psi_1((u\otimes v)\otimes w)+\beta\psi_1((u'\otimes v')\otimes w')\\
\\
&\psi_2 \left(\alpha u\otimes v+\beta u'\otimes v' \right) =\psi_2 \left( \left(\alpha u^iv^j+\beta u'^iv'^j \right) \epsilon_i\otimes\eta_j \right) \\
&= \left(\alpha u^iv^j+\beta u'^iv'^j \right) \eta_j\otimes\epsilon_i\\
&=\alpha v\otimes u+\beta v'\otimes u'\\
&=\alpha\psi_2(u\otimes v)+\beta\psi_2(u'\otimes v')
\end{aligned}
\end{equation}
于是证得 $\psi_1,\psi_2$ 的线性性质．
证毕！
定理 3 给出了空间张量积的结合律，因此对多个空间的张量积，可以不适用括弧．
另外，下面定理也成立：
定理 4
设 $U,V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维矢量空间．则有同构映射
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\psi_1:(U\oplus V)\otimes W\rightarrow (U\otimes W)\oplus (V\otimes W) \\
&\psi_2:U\otimes(V\oplus W)\rightarrow (U\otimes V)\oplus (U\otimes W)
\end{aligned}
\end{equation}
使得
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\psi_1((u+v)\otimes w)=(u\otimes w)+ (v\otimes w)\\
&\psi_2(u\otimes (v+ w))=(u\otimes v)+ (u\otimes w)
\end{aligned}
\end{equation}
证明：由张量积对加法的分配律（定理 2 ），式 28 第一式相当于
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi_1((u+v)\otimes w)&=(u+v)\otimes w\\
\psi_2(u\otimes(v+w))&=u\otimes(v+w)
\end{aligned}
\end{equation}
即 $\psi_1,\psi_2$ 是恒等映射，而空间 $(U\oplus V)\otimes W$ 和空间 $(U\otimes W)\oplus (V\otimes W) $ 基底（在映射 $\sigma(v,w)=v\otimes w$ 下）显然相同，所以这两空间可看成同一空间，那么恒等映射当然是同构映射．
证毕！
1. ^ 聂灵沼，丁石孙．代数学引论，第 2 版，高等教育出版社.1998.
2. ^ 柯斯特利金，代数学引论，卷 2，第 3 版．高等教育出版社.2008.
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