线性映射的张量积

                     

贡献者: Giacomo

预备知识 向量空间的张量积

1. 线性映射的张量积

   两个线性映射 $f: V \to W$,$g: V' \to W'$ 之间可以定义它们的张量积1

\begin{equation} \begin{aligned} f \otimes g: V \otimes V' &\to W \otimes W', \\ v \otimes v' &\mapsto f(v) \otimes g(v')~. \end{aligned} \end{equation}
此时 $f \otimes g \in L(V \otimes V', W \otimes W')$。

   从另一个角度来说,全体 $V$ 到 $W$ 的线性映射的集合 $L(V, W)$ 是一个向量空间(参考子节 4 ),因此可以定义两个线性映射空间之间的张量积 $L(V, W) \otimes L(V', W')$;用这种方法我们也可以定义线性映射的张量积,此时 $f \otimes g \in L(V, W) \otimes L(V', W')$。这两种定义并不完全等价。

   要构造两种张量积之间的对应关系,我们需要考虑双线性映射

\begin{equation} \begin{aligned} L(V, W) \times L(V', W') &\to L(V \otimes V', W \otimes W')~, \\ (f, g) &\mapsto f \otimes_1 g~, \end{aligned} \end{equation}
其中 $f \otimes_1 g \in L(V \otimes V', W \otimes W')$,是第一种张量积。

  

未完成:张量积的万有性质

   由于这个映射是双线性的,根据张量积的万有性质(TODO)可以得到一个唯一的映射

\begin{equation} \begin{aligned} \iota: L(V, W) \otimes L(V', W') &\to L(V \otimes V', W \otimes W')~, \\ f \otimes_2 g &\mapsto f \otimes_1 g~, \end{aligned} \end{equation}
其中 $f \otimes_2 g \in L(V, W) \otimes L(V', W')$ 是第二种张量积。

定理 1 

   线性映射空间的张量积是张量积的线性映射空间的子集2,即

\begin{equation} L(V, W) \otimes L(V', W') \subseteq L(V \otimes V', W \otimes W')~. \end{equation}
如果 $V, W$ 是有限维度向量空间,那么上述包含关系相等。

   这个定理中,我们把 $f \otimes_2 g$ 和 $\iota(f \otimes_2 g) = f \otimes_1 g$ 视作了相等,我们要证明的是 $\iota$ 是一个单射。

   证明: 如果 $f \otimes_1 g = \iota(f \otimes_2 g) = 0$,这意味着对任意 $v \in V, v' \in V'$,$f(v) \otimes g(v') = (f \otimes_1 g)(v \otimes v') = 0$,即 $f(v)$ 或者 $g(v')$ 等于 $0$;假设 $f$ 不恒等于零,即存在 $v_0 \in V$ 使得 $f(v) \neq 0$,此时对任意的 $v' \in V'$ 我们都有 $g(v') = 0$,换言之 $g = 0$,我们得到了 $f$ 或者 $g$ 中至少有一个为零映射,因此 $f \otimes_2 g = 0$。证得 $\iota$ 是单射。

   进一步的,假设 $V, V', W, W'$ 都是有限维度向量空间,维度分别为 $n, n', m, m'$,我们有

\begin{equation} \dim(L(V, W) \otimes L(V', W')) = n n' m m' = \dim(L(V \otimes V', W \otimes W'))~ \end{equation}
根据秩-零化度定理可得 $\iota$ 是一个同构映射。

   证毕。

   对于一般的情况,考虑线性映射 $H: V \otimes V' \to W \otimes W'$,取 $v \in V, v' \in V'$,当且仅当 $H(v \otimes v') \in W \otimes W'$ 正好形如 $w \otimes w'$,我们就能找到

\begin{equation} h(v) = w, h'(v') = w'~ \end{equation}
使得 $H = h \otimes h'$。

例 1 无限维度的反例

   $V = V' = W = W' = \left\langle e_1, \dots, e_n, \dots \right\rangle$,

\begin{equation} H(e_i \otimes e_j) = e_i \otimes e_j + e_{i + 1} \otimes e_{j + 1}~ \end{equation}
由于 $e_i \otimes e_j + e_{i + 1} \otimes e_{j + 1}$ 不可能写成 $w \otimes w'$ 的形式,自然 $H$ 也没法写成两个映射的张量积了。

   类似于乘法,我们也可以定义多项的张量积。

用矩阵表示张量积

  

未完成:Kronecker product,可以从线性算子的张量积的第二部分改编过来。

线性形式和对偶空间

  

未完成:要不要线性形式单独成章节?

定理 2 

   全体 $k$-线性形式构成的向量空间与 $(V^*)^{\otimes k}$(参考对偶空间)自然同构(不依赖基的选取)。

   证明: $k$-线性形式构成的向量空间自然同构于 $(V^{\otimes k})^*$,它自然同构于 $(V^*)^{\otimes k}$。 证毕。

线性映射的张量幂

   二次幂(平方)是张量积的一种特殊情况,具体而言,考虑线性映射 $f: V \to W$,它和它自己的张量积为

\begin{equation} f \otimes f: V \otimes V \to W \otimes W~. \end{equation}

   更一般的,$f$ 的 $n$ 阶张量幂为

\begin{equation} f^{\otimes n}: V^{\otimes n} \to W^{\otimes n}~. \end{equation}


1. ^ 更严格的写法应该是 $\sum_i v_i \otimes v_i' \mapsto \sum_i f(v_i) \otimes g(v_i')$,不过本文的所有映射都是线性映射,所以只需要定义一组基的线性变换即可。
2. ^ 用更严谨的说法是,它们之间存在一个(典范的)线性映射。


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