贡献者: Giacomo
1. 线性映射的张量积
两个线性映射 $f: V \to W$,$g: V' \to W'$ 之间可以定义它们的张量积1
\begin{equation}
\begin{aligned}
f \otimes g: V \otimes V' &\to W \otimes W', \\
v \otimes v' &\mapsto f(v) \otimes g(v')~.
\end{aligned}
\end{equation}
此时 $f \otimes g \in L(V \otimes V', W \otimes W')$。
从另一个角度来说,全体 $V$ 到 $W$ 的线性映射的集合 $L(V, W)$ 是一个向量空间(参考子节 4 ),因此可以定义两个线性映射空间之间的张量积 $L(V, W) \otimes L(V', W')$;用这种方法我们也可以定义线性映射的张量积,此时 $f \otimes g \in L(V, W) \otimes L(V', W')$。这两种定义并不完全等价。
要构造两种张量积之间的对应关系,我们需要考虑双线性映射
\begin{equation}
\begin{aligned}
L(V, W) \times L(V', W') &\to L(V \otimes V', W \otimes W')~, \\
(f, g) &\mapsto f \otimes_1 g~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $f \otimes_1 g \in L(V \otimes V', W \otimes W')$,是第一种张量积。
未完成:张量积的万有性质
由于这个映射是双线性的,根据张量积的万有性质(TODO)可以得到一个唯一的映射
\begin{equation}
\begin{aligned}
\iota: L(V, W) \otimes L(V', W') &\to L(V \otimes V', W \otimes W')~, \\
f \otimes_2 g &\mapsto f \otimes_1 g~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $f \otimes_2 g \in L(V, W) \otimes L(V', W')$ 是第二种张量积。
定理 1
线性映射空间的张量积是张量积的线性映射空间的子集2,即
\begin{equation}
L(V, W) \otimes L(V', W') \subseteq L(V \otimes V', W \otimes W')~.
\end{equation}
如果 $V, W$ 是有限维度向量空间,那么上述包含关系相等。
这个定理中,我们把 $f \otimes_2 g$ 和 $\iota(f \otimes_2 g) = f \otimes_1 g$ 视作了相等,我们要证明的是 $\iota$ 是一个单射。
证明:
如果 $f \otimes_1 g = \iota(f \otimes_2 g) = 0$,这意味着对任意 $v \in V, v' \in V'$,$f(v) \otimes g(v') = (f \otimes_1 g)(v \otimes v') = 0$,即 $f(v)$ 或者 $g(v')$ 等于 $0$;假设 $f$ 不恒等于零,即存在 $v_0 \in V$ 使得 $f(v) \neq 0$,此时对任意的 $v' \in V'$ 我们都有 $g(v') = 0$,换言之 $g = 0$,我们得到了 $f$ 或者 $g$ 中至少有一个为零映射,因此 $f \otimes_2 g = 0$。证得 $\iota$ 是单射。
进一步的,假设 $V, V', W, W'$ 都是有限维度向量空间,维度分别为 $n, n', m, m'$,我们有
\begin{equation}
\dim(L(V, W) \otimes L(V', W')) = n n' m m' = \dim(L(V \otimes V', W \otimes W'))~
\end{equation}
根据
秩-零化度定理可得 $\iota$ 是一个同构映射。
证毕。
对于一般的情况,考虑线性映射 $H: V \otimes V' \to W \otimes W'$,取 $v \in V, v' \in V'$,当且仅当 $H(v \otimes v') \in W \otimes W'$ 正好形如 $w \otimes w'$,我们就能找到
\begin{equation}
h(v) = w, h'(v') = w'~
\end{equation}
使得 $H = h \otimes h'$。
例 1 无限维度的反例
$V = V' = W = W' = \left\langle e_1, \dots, e_n, \dots \right\rangle$,
\begin{equation}
H(e_i \otimes e_j) = e_i \otimes e_j + e_{i + 1} \otimes e_{j + 1}~
\end{equation}
由于 $e_i \otimes e_j + e_{i + 1} \otimes e_{j + 1}$ 不可能写成 $w \otimes w'$ 的形式,自然 $H$ 也没法写成两个映射的张量积了。
类似于乘法,我们也可以定义多项的张量积。
用矩阵表示张量积
未完成:Kronecker product,可以从
线性算子的张量积的第二部分改编过来。
线性形式和对偶空间
未完成:要不要线性形式单独成章节?
定理 2
全体 $k$-线性形式构成的向量空间与 $(V^*)^{\otimes k}$(参考对偶空间)自然同构(不依赖基的选取)。
证明: $k$-线性形式构成的向量空间自然同构于 $(V^{\otimes k})^*$,它自然同构于 $(V^*)^{\otimes k}$。
证毕。
线性映射的张量幂
二次幂(平方)是张量积的一种特殊情况,具体而言,考虑线性映射 $f: V \to W$,它和它自己的张量积为
\begin{equation}
f \otimes f: V \otimes V \to W \otimes W~.
\end{equation}
更一般的,$f$ 的 $n$ 阶张量幂为
\begin{equation}
f^{\otimes n}: V^{\otimes n} \to W^{\otimes n}~.
\end{equation}
1. ^ 更严格的写法应该是 $\sum_i v_i \otimes v_i' \mapsto \sum_i f(v_i) \otimes g(v_i')$,不过本文的所有映射都是线性映射,所以只需要定义一组基的线性变换即可。
2. ^ 用更严谨的说法是,它们之间存在一个(典范的)线性映射。
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