贡献者： Giacomo
1. 线性映射的张量积
两个线性映射 $f: V \to W$，$g: V' \to W'$ 之间可以定义它们的张量积1
\begin{equation}
\begin{aligned}
f \otimes g: V \otimes V' &\to W \otimes W', \\
v \otimes v' &\mapsto f(v) \otimes g(v')~.
\end{aligned}
\end{equation}
此时 $f \otimes g \in L(V \otimes V', W \otimes W')$。
从另一个角度来说，全体 $V$ 到 $W$ 的线性映射的集合 $L(V, W)$ 是一个向量空间（参考子节 4 ），因此可以定义两个线性映射空间之间的张量积 $L(V, W) \otimes L(V', W')$；用这种方法我们也可以定义线性映射的张量积，此时 $f \otimes g \in L(V, W) \otimes L(V', W')$。这两种定义并不完全等价。
要构造两种张量积之间的对应关系，我们需要考虑双线性映射
\begin{equation}
\begin{aligned}
L(V, W) \times L(V', W') &\to L(V \otimes V', W \otimes W')~, \\
(f, g) &\mapsto f \otimes_1 g~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $f \otimes_1 g \in L(V \otimes V', W \otimes W')$，是第一种张量积。
未完成：张量积的万有性质
由于这个映射是双线性的，根据张量积的万有性质（TODO）可以得到一个唯一的映射
\begin{equation}
\begin{aligned}
\iota: L(V, W) \otimes L(V', W') &\to L(V \otimes V', W \otimes W')~, \\
f \otimes_2 g &\mapsto f \otimes_1 g~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $f \otimes_2 g \in L(V, W) \otimes L(V', W')$ 是第二种张量积。
定理 1
线性映射空间的张量积是张量积的线性映射空间的子集2，即
\begin{equation}
L(V, W) \otimes L(V', W') \subseteq L(V \otimes V', W \otimes W')~.
\end{equation}
如果 $V, W$ 是有限维度向量空间，那么上述包含关系相等。
这个定理中，我们把 $f \otimes_2 g$ 和 $\iota(f \otimes_2 g) = f \otimes_1 g$ 视作了相等，我们要证明的是 $\iota$ 是一个单射。
证明：
如果 $f \otimes_1 g = \iota(f \otimes_2 g) = 0$，这意味着对任意 $v \in V, v' \in V'$，$f(v) \otimes g(v') = (f \otimes_1 g)(v \otimes v') = 0$，即 $f(v)$ 或者 $g(v')$ 等于 $0$；假设 $f$ 不恒等于零，即存在 $v_0 \in V$ 使得 $f(v) \neq 0$，此时对任意的 $v' \in V'$ 我们都有 $g(v') = 0$，换言之 $g = 0$，我们得到了 $f$ 或者 $g$ 中至少有一个为零映射，因此 $f \otimes_2 g = 0$。证得 $\iota$ 是单射。
进一步的，假设 $V, V', W, W'$ 都是有限维度向量空间，维度分别为 $n, n', m, m'$，我们有
\begin{equation}
\dim(L(V, W) \otimes L(V', W')) = n n' m m' = \dim(L(V \otimes V', W \otimes W'))~
\end{equation}
根据
秩-零化度定理可得 $\iota$ 是一个同构映射。
证毕。
对于一般的情况，考虑线性映射 $H: V \otimes V' \to W \otimes W'$，取 $v \in V, v' \in V'$，当且仅当 $H(v \otimes v') \in W \otimes W'$ 正好形如 $w \otimes w'$，我们就能找到
\begin{equation}
h(v) = w, h'(v') = w'~
\end{equation}
使得 $H = h \otimes h'$。
例 1 无限维度的反例
$V = V' = W = W' = \left\langle e_1, \dots, e_n, \dots \right\rangle$，
\begin{equation}
H(e_i \otimes e_j) = e_i \otimes e_j + e_{i + 1} \otimes e_{j + 1}~
\end{equation}
由于 $e_i \otimes e_j + e_{i + 1} \otimes e_{j + 1}$ 不可能写成 $w \otimes w'$ 的形式，自然 $H$ 也没法写成两个映射的张量积了。
类似于乘法，我们也可以定义多项的张量积。
用矩阵表示张量积
未完成：Kronecker product，可以从
线性算子的张量积的第二部分改编过来。
线性形式和对偶空间
未完成：要不要线性形式单独成章节？
定理 2
全体 $k$-线性形式构成的向量空间与 $(V^*)^{\otimes k}$（参考对偶空间）自然同构（不依赖基的选取）。
证明： $k$-线性形式构成的向量空间自然同构于 $(V^{\otimes k})^*$，它自然同构于 $(V^*)^{\otimes k}$。
证毕。
线性映射的张量幂
二次幂（平方）是张量积的一种特殊情况，具体而言，考虑线性映射 $f: V \to W$，它和它自己的张量积为
\begin{equation}
f \otimes f: V \otimes V \to W \otimes W~.
\end{equation}
更一般的，$f$ 的 $n$ 阶张量幂为
\begin{equation}
f^{\otimes n}: V^{\otimes n} \to W^{\otimes n}~.
\end{equation}
1. ^ 更严格的写法应该是 $\sum_i v_i \otimes v_i' \mapsto \sum_i f(v_i) \otimes g(v_i')$，不过本文的所有映射都是线性映射，所以只需要定义一组基的线性变换即可。
2. ^ 用更严谨的说法是，它们之间存在一个（典范的）线性映射。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。