线性映射的张量积

贡献者： Giacomo

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可以对照线性算子的张量积进行阅读

预备知识　向量空间的张量积

1. 线性映射的张量积

　　两个线性映射 $f : V \to W$ ， $g : V^{'} \to W^{'}$ 之间可以定义它们的张量积¹

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} f \otimes g : V \otimes V^{'} & \to W \otimes W^{'}, \\ v \otimes v^{'} & \mapsto f (v) \otimes g (v^{'}) . \end{aligned} \end{matrix}

此时

f \otimes g \in L (V \otimes V^{'}, W \otimes W^{'})

。

　　从另一个角度来说，全体 $V$ 到 $W$ 的线性映射的集合 $L (V, W)$ 是一个向量空间（参考子节 4 ），因此可以定义两个线性映射空间之间的张量积 $L (V, W) \otimes L (V^{'}, W^{'})$ ；用这种方法我们也可以定义线性映射的张量积，此时 $f \otimes g \in L (V, W) \otimes L (V^{'}, W^{'})$ 。这两种定义并不完全等价。

　　要构造两种张量积之间的对应关系，我们需要考虑双线性映射

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} L (V, W) \times L (V^{'}, W^{'}) & \to L (V \otimes V^{'}, W \otimes W^{'}), \\ (f, g) & \mapsto f \otimes_{1} g, \end{aligned} \end{matrix}

其中

f \otimes_{1} g \in L (V \otimes V^{'}, W \otimes W^{'})

，是第一种张量积。

未完成：张量积的万有性质

　　由于这个映射是双线性的，根据张量积的万有性质（TODO）可以得到一个唯一的映射

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} ι : L (V, W) \otimes L (V^{'}, W^{'}) & \to L (V \otimes V^{'}, W \otimes W^{'}), \\ f \otimes_{2} g & \mapsto f \otimes_{1} g, \end{aligned} \end{matrix}

其中

f \otimes_{2} g \in L (V, W) \otimes L (V^{'}, W^{'})

是第二种张量积。

定理 1　

　　线性映射空间的张量积是张量积的线性映射空间的子集²，即

\begin{matrix} (4) & L (V, W) \otimes L (V^{'}, W^{'}) \subseteq L (V \otimes V^{'}, W \otimes W^{'}) . \end{matrix}

如果

V, W

是有限维度向量空间，那么上述包含关系相等。

　　这个定理中，我们把 $f \otimes_{2} g$ 和 $ι (f \otimes_{2} g) = f \otimes_{1} g$ 视作了相等，我们要证明的是 $ι$ 是一个单射。

　　 证明： 如果 $f \otimes_{1} g = ι (f \otimes_{2} g) = 0$ ，这意味着对任意 $v \in V, v^{'} \in V^{'}$ ， $f (v) \otimes g (v^{'}) = (f \otimes_{1} g) (v \otimes v^{'}) = 0$ ，即 $f (v)$ 或者 $g (v^{'})$ 等于 $0$ ；假设 $f$ 不恒等于零，即存在 $v_{0} \in V$ 使得 $f (v) \neq 0$ ，此时对任意的 $v^{'} \in V^{'}$ 我们都有 $g (v^{'}) = 0$ ，换言之 $g = 0$ ，我们得到了 $f$ 或者 $g$ 中至少有一个为零映射，因此 $f \otimes_{2} g = 0$ 。证得 $ι$ 是单射。

　　进一步的，假设 $V, V^{'}, W, W^{'}$ 都是有限维度向量空间，维度分别为 $n, n^{'}, m, m^{'}$ ，我们有

\begin{matrix} (5) & \dim (L (V, W) \otimes L (V^{'}, W^{'})) = n n^{'} m m^{'} = \dim (L (V \otimes V^{'}, W \otimes W^{'})) \end{matrix}

根据秩-零化度定理可得

ι

是一个同构映射。

　　 证毕。

　　对于一般的情况，考虑线性映射 $H : V \otimes V^{'} \to W \otimes W^{'}$ ，取 $v \in V, v^{'} \in V^{'}$ ，当且仅当 $H (v \otimes v^{'}) \in W \otimes W^{'}$ 正好形如 $w \otimes w^{'}$ ，我们就能找到

\begin{matrix} (6) & h (v) = w, h^{'} (v^{'}) = w^{'} \end{matrix}

使得

H = h \otimes h^{'}

。

例 1　无限维度的反例

　　 $V = V^{'} = W = W^{'} = ⟨ e_{1}, \dots, e_{n}, \dots ⟩$ ，

\begin{matrix} (7) & H (e_{i} \otimes e_{j}) = e_{i} \otimes e_{j} + e_{i + 1} \otimes e_{j + 1} \end{matrix}

由于

e_{i} \otimes e_{j} + e_{i + 1} \otimes e_{j + 1}

不可能写成

w \otimes w^{'}

的形式，自然

H

也没法写成两个映射的张量积了。

　　类似于乘法，我们也可以定义多项的张量积。

用矩阵表示张量积

未完成：Kronecker product，可以从线性算子的张量积的第二部分改编过来。

线性形式和对偶空间

未完成：要不要线性形式单独成章节？

定理 2　

　　全体 $k$ -线性形式构成的向量空间与 $(V^{*})^{\otimes k}$ （参考对偶空间）自然同构（不依赖基的选取）。

　　 证明： $k$ -线性形式构成的向量空间自然同构于 $(V^{\otimes k})^{*}$ ，它自然同构于 $(V^{*})^{\otimes k}$ 。 证毕。

线性映射的张量幂

　　 二次幂（平方）是张量积的一种特殊情况，具体而言，考虑线性映射 $f : V \to W$ ，它和它自己的张量积为

\begin{matrix} (8) & f \otimes f : V \otimes V \to W \otimes W . \end{matrix}

　　更一般的， $f$ 的 $n$ 阶张量幂为

\begin{matrix} (9) & f^{\otimes n} : V^{\otimes n} \to W^{\otimes n} . \end{matrix}

1. ^ 更严格的写法应该是 $\sum_{i} v_{i} \otimes v_{i}^{'} \mapsto \sum_{i} f (v_{i}) \otimes g (v_{i}^{'})$ ，不过本文的所有映射都是线性映射，所以只需要定义一组基的线性变换即可。
2. ^ 用更严谨的说法是，它们之间存在一个（典范的）线性映射。

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线性映射的张量积

1. 线性映射的张量积

定理 1

例 1 无限维度的反例

用矩阵表示张量积

线性形式和对偶空间

定理 2

线性映射的张量幂

定理 1　

例 1　无限维度的反例

定理 2　