向量空间的张量积

                     

贡献者: Giacomo

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预备知识 多线性映射

  

未完成:万有性质

定义 1 张量积

   设 $V_1, V_2,T$ 是域 $\mathbb F$ 上的向量空间,$\sigma: V_1 \times V_2 \rightarrow T$ 是个双线性映射。若对域 $\mathbb F$ 上任意向量空间 $U$,任一双线性映射 $\varphi:V_1\times V_2\rightarrow U$,都存在唯一的线性映射 $\psi:T\rightarrow U$ 使 $\varphi=\psi\sigma$,即如下交换图

\begin{equation} \begin{CD} V_1 \times V_2 @>{\sigma}>> T \\ @| @V{\psi}VV\\ V_1 \times V_2 @>{\varphi}>> U \end{CD}~ \end{equation}
那么对 $(\sigma, T)$ 就称为 $V_1$ 与 $V_2$ 的张量积,$T$ 记为 $V_1 \otimes V_2$,$\sigma(v_1, v_2)$ 记为 $v_1 \otimes v_2$1

   我们还可以定义向量空间 $V$ 的 $k$ 次张量幂,$V^{\otimes k}: = \underbrace{V \otimes \dots \otimes V}_k$。

  

未完成:存在性

  

未完成:张量积的维度
未完成:张量积与对偶空间


1. ^ 在张量的张量积一文中,在有限维度的情况下,我们定义了向量间的张量积,这里是对它的推广


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