贡献者： Giacomo
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- 本词条处于草稿阶段。
- 可以对照张量的对称化和交错化进行阅读
未完成：要不要说是线性作用
1. 作为子空间的对称/反对称幂
对称幂
向量空间 $V$ 的 $n$ 次张量幂 $V^{\otimes n}$ 上存在一个 $n$ 阶对称群 $S_n$ 的群作用：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho(\sigma): V^{\otimes n} &\to V^{\otimes n}~, \\
v_1 \otimes \dots \otimes v_n &\mapsto v_{\sigma(1)} \otimes \dots \otimes v_{\sigma(n)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
（$\rho(\sigma)$ 被定义为线性的，因此我只写了）被称为
置换作用。
例 1
考虑 $n = 2$，$S_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \{e, (1 2)\}$，$\rho(e)$ 是恒等映射，而
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho((1 2)): V \otimes V &\to V \otimes V~, \\
\sum v_1 \otimes v_2 &\mapsto \sum v_2 \otimes v_1~.
\end{aligned}
\end{equation}
特别的，我们把 $n$ 次张量幂 $V^{\otimes n}$ 的不动点集 $(V^{\otimes n})^{S_n}$（定义 2 ）称为 $V$ 的 $n$ 阶对称幂，记做 $ \operatorname {Sym}^n V$ 或者 $S^n(V)$。
例 2
考虑 $V = \mathbb{R}^2$；$ \operatorname {Sym}^2(V) = \langle e_1 \otimes e_1, e_2 \otimes e_2, e_1 \otimes e_2 + e_2 \otimes e_1 \rangle$ 是一个三维矢量空间。
我们定义（向量的）对称积
\begin{equation}
\begin{aligned}
\cdot: V \times V &\to V^{\otimes 2}~, \\
v \cdot w &:= \frac12 (v \otimes w + w \otimes v)~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此
例 2 中 $ \operatorname {Sym}^2(V)$ 的基向量可以写成 $e_1 \cdot e_1, e_2 \cdot e_2$ 和 $2 e_1 \cdot e_2$（在基向量的意义下，系数不重要）。
注意：我们会说一个向量空间 $V$ 的（反）对称幂，以及两个向量的对称积，有时我们会把二阶对称幂 $\text{Sym}^2 V$ 称为向量空间 $V$ 的对称积，但是这并不严谨。
更一般的，我们可以定义多项对称积
\begin{equation}
\begin{aligned}
\cdot: V^{\times n} &\to V^{\otimes n}~, \\
v_1 \cdots v_n &:= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} v_{\sigma(1)} \otimes \dots \otimes v_{\sigma(n)}~,
\end{aligned}
\end{equation}
比如当 $n = 3$ 时，
\begin{equation}
\begin{aligned}
v_1 \cdot v_2 \cdot v_3 = &\frac16 (v_1 \otimes v_2 \otimes v_3 \\
&+ v_1 \otimes v_3 \otimes v_2 \\
&+ v_2 \otimes v_1 \otimes v_3 \\
&+ v_2 \otimes v_3 \otimes v_1 \\
&+ v_3 \otimes v_1 \otimes v_2 \\
&+ v_3 \otimes v_2 \otimes v_1)~,
\end{aligned}
\end{equation}
可以证明，$v_1 \cdot v_2 \cdots = v_1 \cdot v_3 \cdot v_2 \cdots = \cdots$ 在 $S_n$ 的置换作用下固定，这意味着 $v \cdots w \in \text{Sym}^n V$；
取 $V$ 的一组基 $\{e_1, \dots, e_k\}$，可以找到 $ \operatorname {Sym}^n V$ 的一组基
\begin{equation}
\left\{ e_{i_1} \cdot \dots \cdot e_{i_n} \mid 1 \leq i_1 \leq \dots \leq i_n \leq k \right\}~,
\end{equation}
特别的，$\dim( \operatorname {Sym}^n V) = \begin{pmatrix}k + n - 1\\n\end{pmatrix} $（隔板法
）。
反对称幂（又称交错幂、外幂）
张量幂 $V^{\otimes n}$ 上存在另一个 $S_n$ 的群作用：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho(\sigma): V^{\otimes n} &\to V^{\otimes n}~, \\
v_1 \otimes \dots \otimes v_n &\mapsto \sum \operatorname {sgn}(\sigma) v_{\sigma(1)} \otimes \dots \otimes v_{\sigma(n)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中对于偶置换 $\sigma = 1$、奇置换 $\sigma = -1$；我们把它的不动点集称为 $V$ 的 $n$ 阶
反对称幂，记做 ${\large \wedge}^n V$。
例 3
考虑 $V = \mathbb{R}^2$；${\large \wedge}^2 V = \langle e_1 \otimes e_2 - e_2 \otimes e_1 \rangle$ 是一个一维矢量空间。
我们定义（向量的）反对称积（或称交错积、外积）
\begin{equation}
\begin{aligned}
\wedge: V \times V &\to V^{\otimes 2}~, \\
v \wedge w &:= v \otimes w - w \otimes v~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此
例 3 中 ${\large \wedge}^2 V$ 的基向量可以写成 $e_1 \wedge e_2$。
反对称积 $\wedge: V \times V \to V^{\otimes 2}$ 满足，
- $v \wedge w = - w \wedge v$，特别的，
- $v \wedge v = 0$；
这意味着 $v \wedge w \in {\large \wedge}^2 V$。
更一般的，我们可以定义多项反对称积
\begin{equation}
\begin{aligned}
\cdot: V^{\times n} &\to V^{\otimes n}~, \\
v_1 \wedge \cdots \wedge v_n &:= \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) v_{\sigma(1)} \otimes \dots \otimes v_{\sigma(n)}~,
\end{aligned}
\end{equation}
取 $V$ 的一组基 $\{e_1, \dots, e_k\}$，可以找到 ${\large \wedge}^n V$ 的一组基
\begin{equation}
\left\{ e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_n} \mid 1 \leq i_1 < \dots < i_n \leq k \right\}~,
\end{equation}
特别的，$\dim({\large \wedge}^n V) = \begin{pmatrix}k \\ n\end{pmatrix} $。
张量积空间的对称反对称分解
作为商空间的对称/反对称幂
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