贡献者： Giacomo
预备知识 向量空间的张量积
，对称/反对称多线性映射
1. 作为子空间的对称/反对称幂
对称幂
我们可以在 $V^{\times n}$ 上定义自然置换作用例 5 ，类似的 $n$ 阶张量幂空间 $V^{\otimes n}$ 上也可以定义一个 $S_n$ 的群作用：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho(\sigma): V^{\otimes n} &\to V^{\otimes n}~, \\
v_1 \otimes \cdots \otimes v_n &\mapsto v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意：我们把 $\rho(\sigma)$ 被定义为线性的，因此只需要考虑 $V^{\otimes n}$ 的一组基的映射就可以了，完整的写法为 $\sum a_v v_1 \otimes \cdots \otimes v_n \mapsto \sum a_v v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}$，下同。
例 1
考虑 $n = 2$，$S_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \{e, (1 2)\}$，$\rho(e)$ 是恒等映射，而
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho((1 2)): V \otimes V &\to V \otimes V~, \\
v_1 \otimes v_2 &\mapsto v_2 \otimes v_1~.
\end{aligned}
\end{equation}
特别的，我们把 $n$ 阶张量幂空间 $V^{\otimes n}$ 的不动点集 $(V^{\otimes n})^{S_n}$（定义 2 ）称为 $V$ 的 $n$ 阶对称幂空间，记做 $ \operatorname {Sym}^n V$ 或者 $S^n(V)$。
习题 1
$v_1 \otimes \cdots \otimes v_n \in \operatorname {Sym}^n V$ 当且仅当对任意的的 $i, j$，
\begin{equation}
\cdots \otimes v_i \otimes \cdots \otimes v_j \otimes \cdots = \cdots \otimes v_j \otimes \cdots \otimes v_i \otimes \cdots~.
\end{equation}
例 2
考虑 $V = \mathbb{R}^2$；$ \operatorname {Sym}^2 V = \langle e_1 \otimes e_1, e_2 \otimes e_2, e_1 \otimes e_2 + e_2 \otimes e_1 \rangle$ 是一个三维向量空间。
我们定义（向量的）对称积1
\begin{equation}
\begin{aligned}
\cdot: V \times V &\to V^{\otimes 2}~, \\
v \cdot w &:= \frac12 (v \otimes w + w \otimes v)~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此
例 2 中 $ \operatorname {Sym}^2 V$ 的基向量可以写成 $e_1 \cdot e_1, e_2 \cdot e_2$ 和 $e_1 \cdot e_2$（在基向量的意义下，系数不重要）。
注意：我们会说一个向量空间 $V$ 的（反）对称幂空间，以及两个向量的对称积，有时我们会把二阶对称幂空间 $\text{Sym}^2 V$ 称为向量空间 $V$ 的对称积空间，但是这并不严谨。
更一般的，我们可以定义多项对称积
\begin{equation}
\begin{aligned}
\cdot: V^{\times n} &\to V^{\otimes n}~, \\
v_1 \cdots v_n &:= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}~,
\end{aligned}
\end{equation}
比如当 $n = 3$ 时，
\begin{equation}
\begin{aligned}
v_1 \cdot v_2 \cdot v_3 = &\frac16 (v_1 \otimes v_2 \otimes v_3 \\
&+ v_1 \otimes v_3 \otimes v_2 \\
&+ v_2 \otimes v_1 \otimes v_3 \\
&+ v_2 \otimes v_3 \otimes v_1 \\
&+ v_3 \otimes v_1 \otimes v_2 \\
&+ v_3 \otimes v_2 \otimes v_1)~,
\end{aligned}
\end{equation}
可以证明，$v_1 \cdot v_2 \cdots = v_1 \cdot v_3 \cdot v_2 \cdots = \cdots$ 在 $S_n$ 的置换作用下固定，这意味着 $v \cdots w \in \text{Sym}^n V$；
取 $V$ 的一组基 $\{e_1, \dots, e_k\}$，可以找到 $ \operatorname {Sym}^n V$ 的一组基
\begin{equation}
\left\{ e_{i_1} \cdot \cdots \cdot e_{i_n} \mid 1 \leq i_1 \leq \dots \leq i_n \leq k \right\}~,
\end{equation}
特别的，$\dim( \operatorname {Sym}^n V) = \begin{pmatrix}k + n - 1 \\ n\end{pmatrix} $（隔板法
）。
反对称幂（又称交错幂、外幂）
张量幂空间 $V^{\otimes n}$ 上存在另一个 $S_n$ 的群作用：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho(\sigma): V^{\otimes n} &\to V^{\otimes n}~, \\
v_1 \otimes \cdots \otimes v_n &\mapsto \operatorname {sgn}(\sigma) v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中对于偶置换 $ \operatorname {sgn}{\sigma} = 1$、奇置换 $ \operatorname {sgn}{\sigma} = -1$；我们把它的不动点集称为 $V$ 的 $n$ 阶
反对称幂空间或称
交错幂、
外幂），记做 ${\large \wedge}^n V$。
同样由于对称群 $S_n$ 由对换生成，我们只需要考虑 “交换两项变号” 即可。
定理 1
$v_1 \otimes \cdots \otimes v_n \in {\large \wedge}^n V$ 当且仅当对任意的的 $i, j$，
\begin{equation}
\cdots \otimes v_i \otimes \cdots \otimes v_j \otimes \cdots = - \cdots \otimes v_j \otimes \cdots \otimes v_i \otimes \cdots~.
\end{equation}
例 3
考虑 $V = \mathbb{R}^2$；反对称幂子空间 ${\large \wedge}^2 V = \langle e_1 \otimes e_2 - e_2 \otimes e_1 \rangle$，因为
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\phantom{=} \rho((1 2))(e_1 \otimes e_2 - e_2 \otimes e_1) \\
&= \rho((1 2))(e_1 \otimes e_2) - \rho((1 2))(e_2 \otimes e_1) \\
&= - e_2 \otimes e_1 + e_1 \otimes e_2
\end{aligned}~
\end{equation}
我们定义（向量的）反对称积（或称交错积、外积）
\begin{equation}
\begin{aligned}
\wedge: V \times V &\to V^{\otimes 2}~, \\
v \wedge w &:= \frac12 (v \otimes w - w \otimes v)~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此
例 3 中 ${\large \wedge}^2 V$ 的基向量可以写成 $e_1 \wedge e_2$。
反对称积满足，
- $v \wedge w = - w \wedge v$，特别的，
- $v \wedge v = 0$；
这意味着 $v \wedge w \in {\large \wedge}^2 V$。
更一般的，我们可以定义多项反对称积
\begin{equation}
\begin{aligned}
\wedge: V^{\times n} &\to V^{\otimes n}~, \\
v_1 \wedge \cdots \wedge v_n &:= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}~,
\end{aligned}
\end{equation}
对任意的 $\mu \in S_n$，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho(\mu)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_n) &= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \rho(\mu)(v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}) \\
&= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \text{sgn}(\mu) (v_{\mu(\sigma(1))} \otimes \cdots \otimes v_{\mu(\sigma(n))}) \\
&= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\mu \sigma) (v_{\mu \sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\mu \sigma(n)}) \\
&= v_1 \wedge \cdots \wedge v_n~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此 $v_1 \wedge \cdots \wedge v_n \in {\large \wedge}^n V$。
我们还可以定义两个反对称积（的结果）之间的的反对称积：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\wedge: {\large \wedge}^{n_1} V \times {\large \wedge}^{n_2} V &\to {\large \wedge}^{n_1 + n_2} V~, \\
\nu \wedge \omega &:= v_1 \wedge \cdots \wedge v_{n_1} \wedge w_1 \wedge \cdots \wedge w_{n_2}~,
\end{aligned}
\end{equation}
此时的反对称积 “并不满足反对称律”，取而代之的是
\begin{equation}
\nu \wedge \omega = (-1)^{n_1 n_2} \omega \wedge \nu~.
\end{equation}
最后，类似对称积的情况，取 $V$ 的一组基 $\{e_1, \dots, e_k\}$，可以找到 ${\large \wedge}^n V$ 的一组基
\begin{equation}
\left\{ e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_n} \mid 1 \leq i_1 < \dots < i_n \leq k \right\}~,
\end{equation}
特别的，$\dim({\large \wedge}^n V) = \begin{pmatrix}k \\ n\end{pmatrix} $，因此如果 $n > k$，${\large \wedge}^n V$ 就是零空间了。
二阶张量幂空间的对称反对称分解
由于 $k$ 维向量空间 $V$ 的二阶张量幂空间可以被分解成对称幂空间和反对称幂空间的直和
\begin{equation}
\begin{aligned}
V^{\otimes 2} &= \operatorname {Sym}^2 V \oplus {\large \wedge}^2 V \\
v_1 \otimes v_2 &= v_1 \cdot v_2 + v_1 \wedge v_2~.
\end{aligned}
\end{equation}
另一方面，$k$ 维向量空间 $V$ 的二阶张量幂空间 $V^{\otimes 2}$ 的维度为 $k^2$，我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}k + 1 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}k \\ 2\end{pmatrix} &= \frac{(k + 1)!}{(k - 1)! 2} + \frac{k!}{(k - 2)! 2} \\
&= \frac{(k + 1) k}{2} + \frac{k (k - 1)}{2} \\
&= k^2~.
\end{aligned}
\end{equation}
不过，这个性质对于更高阶的情况不再成立，比如当 $n = 3$ 时
\begin{equation}
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}k + 2 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}k \\ 3\end{pmatrix} &= \frac{(k + 2)!}{(k - 1)! 6} + \frac{k!}{(k - 3)! 6} \\
&= \frac{k}{3} ((k + 2)(k + 1) + (k - 1) (k - 2)) \\
&= \frac{k}{3} (k^2 + 4) \\
&< k^3~.
\end{aligned}
\end{equation}
2. 作为商空间的对称/反对称幂
我们可以换一个视角来看待对称/反对称幂。考虑对称积映射 $\cdot: V^{\times n} \to V^{\otimes n}$，由于
- 它的值域为 $ \operatorname {Sym}^n V$，而且
- 它是一个多线性映射，
我们可以把它改写为一个线性满同态 $ \operatorname {Sym}: V^{\otimes n} \twoheadrightarrow \operatorname {Sym}^n V$，我们有
\begin{equation}
\ker( \operatorname {Sym}) = \{v - \rho_\text{perm}(g) v \mid v \in V^{\otimes n}, g \in S_n\}~,
\end{equation}
换言之，我们可以把 $ \operatorname {Sym}^n V$ 理解成 $V^{\otimes n}$ 的商空间；
类似的，反对称积映射 $\wedge: V^{\times n} \to V^{\otimes n}$ 可以改写成线性满同态 ${\large \wedge}: V^{\otimes n} \twoheadrightarrow {\large \wedge}^n V$，同样有
\begin{equation}
\ker({\large \wedge}) = \{v - \rho_\text{sign}(g) v \mid v \in V^{\otimes n}, g \in S_n\}~.
\end{equation}
对称/反对称幂的万有性质
未完成：万有性质的文章，包含初/终性质
定理 2 对称映射的万有性质
对称幂映射 $ \operatorname {Sym}: V^{\times n} \to \operatorname {Sym}^n V$ 是一个对称映射，而且 $ \operatorname {Sym}^n V$ 是所有到达域中 “最小的” 的（初对象，相关文章有待补充）：任意对称映射 $f: V^{\times n} \to W$，我们都有唯一确定的线性映射 $\bar{f}: \operatorname {Sym}^n V \to W$，满足 $f = \bar{f} \circ \operatorname {Sym}$，我们有交换图
\begin{equation}
\begin{CD}
V^{\times n} @>{ \operatorname {Sym}}>> \operatorname {Sym}^n V \\
@V{f}VV @V{\bar{f}}VV \\
W @= W
\end{CD}~.
\end{equation}
对称映射的万有性质可以对照张量积的万有性质定义 1 进行理解。
类似的，
定理 3 反对称映射的万有性质
反对称幂映射 ${\large \wedge}: V^{\times n} \to {\large \wedge}^n V$ 是一个反对称映射，任意反对称映射 $f: V^{\times n} \to W$，我们都有唯一确定的线性映射 $\bar{f}: {\large \wedge}^n V \to W$，满足 $f = \bar{f} \circ {\large \wedge}$，我们有交换图
\begin{equation}
\begin{CD}
V^{\times n} @>{{\large \wedge}}>> {\large \wedge}^n V \\
@V{f}VV @V{\bar{f}}VV \\
W @= W
\end{CD}~.
\end{equation}
万有性质保证了对称/反对称幂空间在同构意义下的唯一性，进而证明了子空间构造和商空间构造是同构的。
1. ^ 如果域的特征 $ \operatorname {char} \mathbb{F}$ 大于零（比如 $\mathbb{F}_p$），$\frac{1}{2}$ 的存在性依赖于 $ \operatorname {char} \mathbb{F}$ 是否大于 $2$，更一般的，$\frac{1}{n!}$ 存在要求 $ \operatorname {char} \mathbb{F} > n$；当我们只考虑 $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ 的时候，不需要考虑这些问题。
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