向量空间的对称/反对称幂

                     

贡献者: Giacomo

预备知识 向量空间的张量积,对称/反对称多线性映射

1. 作为子空间的对称/反对称幂

对称幂

   我们可以在 $V^{\times n}$ 上定义自然置换作用例 5 ,类似的 $n$ 阶张量幂空间 $V^{\otimes n}$ 上也可以定义一个 $S_n$ 的群作用:

\begin{equation} \begin{aligned} \rho(\sigma): V^{\otimes n} &\to V^{\otimes n}~, \\ v_1 \otimes \cdots \otimes v_n &\mapsto v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}~. \end{aligned} \end{equation}

   注意:我们把 $\rho(\sigma)$ 被定义为线性的,因此只需要考虑 $V^{\otimes n}$ 的一组基的映射就可以了,完整的写法为 $\sum a_v v_1 \otimes \cdots \otimes v_n \mapsto \sum a_v v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}$,下同。

例 1 

   考虑 $n = 2$,$S_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \{e, (1 2)\}$,$\rho(e)$ 是恒等映射,而

\begin{equation} \begin{aligned} \rho((1 2)): V \otimes V &\to V \otimes V~, \\ v_1 \otimes v_2 &\mapsto v_2 \otimes v_1~. \end{aligned} \end{equation}

   特别的,我们把 $n$ 阶张量幂空间 $V^{\otimes n}$ 的不动点集 $(V^{\otimes n})^{S_n}$(定义 2 )称为 $V$ 的 $n$ 阶对称幂空间,记做 $ \operatorname {Sym}^n V$ 或者 $S^n(V)$。

习题 1 

   $v_1 \otimes \cdots \otimes v_n \in \operatorname {Sym}^n V$ 当且仅当对任意的的 $i, j$,

\begin{equation} \cdots \otimes v_i \otimes \cdots \otimes v_j \otimes \cdots = \cdots \otimes v_j \otimes \cdots \otimes v_i \otimes \cdots~. \end{equation}

例 2 

   考虑 $V = \mathbb{R}^2$;$ \operatorname {Sym}^2 V = \langle e_1 \otimes e_1, e_2 \otimes e_2, e_1 \otimes e_2 + e_2 \otimes e_1 \rangle$ 是一个三维向量空间。

   我们定义(向量的)对称积1

\begin{equation} \begin{aligned} \cdot: V \times V &\to V^{\otimes 2}~, \\ v \cdot w &:= \frac12 (v \otimes w + w \otimes v)~, \end{aligned} \end{equation}
因此例 2 中 $ \operatorname {Sym}^2 V$ 的基向量可以写成 $e_1 \cdot e_1, e_2 \cdot e_2$ 和 $e_1 \cdot e_2$(在基向量的意义下,系数不重要)。

   注意:我们会说一个向量空间 $V$ 的(反)对称幂空间,以及两个向量的对称,有时我们会把二阶对称幂空间 $\text{Sym}^2 V$ 称为向量空间 $V$ 的对称积空间,但是这并不严谨。

   更一般的,我们可以定义多项对称积

\begin{equation} \begin{aligned} \cdot: V^{\times n} &\to V^{\otimes n}~, \\ v_1 \cdots v_n &:= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}~, \end{aligned} \end{equation}
比如当 $n = 3$ 时,
\begin{equation} \begin{aligned} v_1 \cdot v_2 \cdot v_3 = &\frac16 (v_1 \otimes v_2 \otimes v_3 \\ &+ v_1 \otimes v_3 \otimes v_2 \\ &+ v_2 \otimes v_1 \otimes v_3 \\ &+ v_2 \otimes v_3 \otimes v_1 \\ &+ v_3 \otimes v_1 \otimes v_2 \\ &+ v_3 \otimes v_2 \otimes v_1)~, \end{aligned} \end{equation}

   可以证明,$v_1 \cdot v_2 \cdots = v_1 \cdot v_3 \cdot v_2 \cdots = \cdots$ 在 $S_n$ 的置换作用下固定,这意味着 $v \cdots w \in \text{Sym}^n V$;

   取 $V$ 的一组基 $\{e_1, \dots, e_k\}$,可以找到 $ \operatorname {Sym}^n V$ 的一组基

\begin{equation} \left\{ e_{i_1} \cdot \cdots \cdot e_{i_n} \mid 1 \leq i_1 \leq \dots \leq i_n \leq k \right\}~, \end{equation}
特别的,$\dim( \operatorname {Sym}^n V) = \begin{pmatrix}k + n - 1 \\ n\end{pmatrix} $(隔板法)。

反对称幂(又称交错幂、外幂)

   张量幂空间 $V^{\otimes n}$ 上存在另一个 $S_n$ 的群作用:

\begin{equation} \begin{aligned} \rho(\sigma): V^{\otimes n} &\to V^{\otimes n}~, \\ v_1 \otimes \cdots \otimes v_n &\mapsto \operatorname {sgn}(\sigma) v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}~. \end{aligned} \end{equation}
其中对于偶置换 $ \operatorname {sgn}{\sigma} = 1$、奇置换 $ \operatorname {sgn}{\sigma} = -1$;我们把它的不动点集称为 $V$ 的 $n$ 阶反对称幂空间或称交错幂外幂),记做 ${\large \wedge}^n V$。

   同样由于对称群 $S_n$ 由对换生成,我们只需要考虑 “交换两项变号” 即可。

定理 1 

   $v_1 \otimes \cdots \otimes v_n \in {\large \wedge}^n V$ 当且仅当对任意的的 $i, j$,

\begin{equation} \cdots \otimes v_i \otimes \cdots \otimes v_j \otimes \cdots = - \cdots \otimes v_j \otimes \cdots \otimes v_i \otimes \cdots~. \end{equation}

例 3 

   考虑 $V = \mathbb{R}^2$;反对称幂子空间 ${\large \wedge}^2 V = \langle e_1 \otimes e_2 - e_2 \otimes e_1 \rangle$,因为

\begin{equation} \begin{aligned} &\phantom{=} \rho((1 2))(e_1 \otimes e_2 - e_2 \otimes e_1) \\ &= \rho((1 2))(e_1 \otimes e_2) - \rho((1 2))(e_2 \otimes e_1) \\ &= - e_2 \otimes e_1 + e_1 \otimes e_2 \end{aligned}~ \end{equation}

   我们定义(向量的)反对称积(或称交错积外积

\begin{equation} \begin{aligned} \wedge: V \times V &\to V^{\otimes 2}~, \\ v \wedge w &:= \frac12 (v \otimes w - w \otimes v)~, \end{aligned} \end{equation}
因此例 3 中 ${\large \wedge}^2 V$ 的基向量可以写成 $e_1 \wedge e_2$。

   反对称积满足,

   这意味着 $v \wedge w \in {\large \wedge}^2 V$。

   更一般的,我们可以定义多项反对称积

\begin{equation} \begin{aligned} \wedge: V^{\times n} &\to V^{\otimes n}~, \\ v_1 \wedge \cdots \wedge v_n &:= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}~, \end{aligned} \end{equation}

   对任意的 $\mu \in S_n$,

\begin{equation} \begin{aligned} \rho(\mu)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_n) &= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \rho(\mu)(v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}) \\ &= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \text{sgn}(\mu) (v_{\mu(\sigma(1))} \otimes \cdots \otimes v_{\mu(\sigma(n))}) \\ &= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\mu \sigma) (v_{\mu \sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\mu \sigma(n)}) \\ &= v_1 \wedge \cdots \wedge v_n~, \end{aligned} \end{equation}
因此 $v_1 \wedge \cdots \wedge v_n \in {\large \wedge}^n V$。

   我们还可以定义两个反对称积(的结果)之间的的反对称积:

\begin{equation} \begin{aligned} \wedge: {\large \wedge}^{n_1} V \times {\large \wedge}^{n_2} V &\to {\large \wedge}^{n_1 + n_2} V~, \\ \nu \wedge \omega &:= v_1 \wedge \cdots \wedge v_{n_1} \wedge w_1 \wedge \cdots \wedge w_{n_2}~, \end{aligned} \end{equation}
此时的反对称积 “并不满足反对称律”,取而代之的是
\begin{equation} \nu \wedge \omega = (-1)^{n_1 n_2} \omega \wedge \nu~. \end{equation}

   最后,类似对称积的情况,取 $V$ 的一组基 $\{e_1, \dots, e_k\}$,可以找到 ${\large \wedge}^n V$ 的一组基

\begin{equation} \left\{ e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_n} \mid 1 \leq i_1 < \dots < i_n \leq k \right\}~, \end{equation}
特别的,$\dim({\large \wedge}^n V) = \begin{pmatrix}k \\ n\end{pmatrix} $,因此如果 $n > k$,${\large \wedge}^n V$ 就是零空间了。

二阶张量幂空间的对称反对称分解

   由于 $k$ 维向量空间 $V$ 的二阶张量幂空间可以被分解成对称幂空间和反对称幂空间的直和

\begin{equation} \begin{aligned} V^{\otimes 2} &= \operatorname {Sym}^2 V \oplus {\large \wedge}^2 V \\ v_1 \otimes v_2 &= v_1 \cdot v_2 + v_1 \wedge v_2~. \end{aligned} \end{equation}

   另一方面,$k$ 维向量空间 $V$ 的二阶张量幂空间 $V^{\otimes 2}$ 的维度为 $k^2$,我们有

\begin{equation} \begin{aligned} \begin{pmatrix}k + 1 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}k \\ 2\end{pmatrix} &= \frac{(k + 1)!}{(k - 1)! 2} + \frac{k!}{(k - 2)! 2} \\ &= \frac{(k + 1) k}{2} + \frac{k (k - 1)}{2} \\ &= k^2~. \end{aligned} \end{equation}

   不过,这个性质对于更高阶的情况不再成立,比如当 $n = 3$ 时

\begin{equation} \begin{aligned} \begin{pmatrix}k + 2 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}k \\ 3\end{pmatrix} &= \frac{(k + 2)!}{(k - 1)! 6} + \frac{k!}{(k - 3)! 6} \\ &= \frac{k}{3} ((k + 2)(k + 1) + (k - 1) (k - 2)) \\ &= \frac{k}{3} (k^2 + 4) \\ &< k^3~. \end{aligned} \end{equation}

2. 作为商空间的对称/反对称幂

   我们可以换一个视角来看待对称/反对称幂。考虑对称积映射 $\cdot: V^{\times n} \to V^{\otimes n}$,由于

   我们可以把它改写为一个线性满同态 $ \operatorname {Sym}: V^{\otimes n} \twoheadrightarrow \operatorname {Sym}^n V$,我们有

\begin{equation} \ker( \operatorname {Sym}) = \{v - \rho_\text{perm}(g) v \mid v \in V^{\otimes n}, g \in S_n\}~, \end{equation}
换言之,我们可以把 $ \operatorname {Sym}^n V$ 理解成 $V^{\otimes n}$ 的商空间;

   类似的,反对称积映射 $\wedge: V^{\times n} \to V^{\otimes n}$ 可以改写成线性满同态 ${\large \wedge}: V^{\otimes n} \twoheadrightarrow {\large \wedge}^n V$,同样有

\begin{equation} \ker({\large \wedge}) = \{v - \rho_\text{sign}(g) v \mid v \in V^{\otimes n}, g \in S_n\}~. \end{equation}

对称/反对称幂的万有性质

  

未完成:万有性质的词条,包含初/终性质

定理 2 对称映射的万有性质

   对称幂映射 $ \operatorname {Sym}: V^{\times n} \to \operatorname {Sym}^n V$ 是一个对称映射,而且 $ \operatorname {Sym}^n V$ 是所有到达域中 “最小的” 的(初对象,相关词条有待补充):任意对称映射 $f: V^{\times n} \to W$,我们都有唯一确定的线性映射 $\bar{f}: \operatorname {Sym}^n V \to W$,满足 $f = \bar{f} \circ \operatorname {Sym}$,我们有交换图

\begin{equation} \begin{CD} V^{\times n} @>{ \operatorname {Sym}}>> \operatorname {Sym}^n V \\ @V{f}VV @V{\bar{f}}VV \\ W @= W \end{CD}~. \end{equation}

   对称映射的万有性质可以对照张量积的万有性质定义 1 进行理解。

   类似的,

定理 3 反对称映射的万有性质

   反对称幂映射 ${\large \wedge}: V^{\times n} \to {\large \wedge}^n V$ 是一个反对称映射,任意反对称映射 $f: V^{\times n} \to W$,我们都有唯一确定的线性映射 $\bar{f}: {\large \wedge}^n V \to W$,满足 $f = \bar{f} \circ {\large \wedge}$,我们有交换图

\begin{equation} \begin{CD} V^{\times n} @>{{\large \wedge}}>> {\large \wedge}^n V \\ @V{f}VV @V{\bar{f}}VV \\ W @= W \end{CD}~. \end{equation}

   万有性质保证了对称/反对称幂空间在同构意义下的唯一性,进而证明了子空间构造和商空间构造是同构的。


1. ^ 如果域的特征 $ \operatorname {char} \mathbb{F}$ 大于零(比如 $\mathbb{F}_p$),$\frac{1}{2}$ 的存在性依赖于 $ \operatorname {char} \mathbb{F}$ 是否大于 $2$,更一般的,$\frac{1}{n!}$ 存在要求 $ \operatorname {char} \mathbb{F} > n$;当我们只考虑 $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ 的时候,不需要考虑这些问题。


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