向量空间的对称/反对称幂

贡献者： Giacomo; addis

预备知识　向量空间的张量积，对称/反对称多线性映射

1. 作为子空间的对称/反对称幂

对称幂

　　我们可以在 $V^{\times n}$ 上定义自然置换作用例 5 ，类似的 $n$ 阶张量幂空间 $V^{\otimes n}$ 上也可以定义一个 $S_{n}$ 的群作用：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} ρ (σ) : V^{\otimes n} & \to V^{\otimes n}, \\ v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n} & \mapsto v_{σ (1)} \otimes \dots \otimes v_{σ (n)} . \end{aligned} \end{matrix}

　　注意：我们把 $ρ (σ)$ 被定义为线性的，因此只需要考虑 $V^{\otimes n}$ 的一组基的映射就可以了，完整的写法为 $\sum a_{v} v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n} \mapsto \sum a_{v} v_{σ (1)} \otimes \dots \otimes v_{σ (n)}$ ，下同。

例 1　

　　考虑 $n = 2$ ， $S_{2} = Z / 2 Z = {e, (12)}$ ， $ρ (e)$ 是恒等映射，而

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ρ ((12)) : V \otimes V & \to V \otimes V, \\ v_{1} \otimes v_{2} & \mapsto v_{2} \otimes v_{1} . \end{aligned} \end{matrix}

　　特别的，我们把 $n$ 阶张量幂空间 $V^{\otimes n}$ 的不动点集 $(V^{\otimes n})^{S_{n}}$ （定义 2 ）称为 $V$ 的 $n$ 阶对称幂空间，记做 ${Sym}^{n} V$ 或者 $S^{n} (V)$ 。

习题 1　

　　 $v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n} \in {Sym}^{n} V$ 当且仅当对任意的的 $i, j$ ，

\begin{matrix} (3) & \dots \otimes v_{i} \otimes \dots \otimes v_{j} \otimes \dots = \dots \otimes v_{j} \otimes \dots \otimes v_{i} \otimes \dots . \end{matrix}

例 2　

　　考虑 $V = R^{2}$ ； ${Sym}^{2} V = ⟨ e_{1} \otimes e_{1}, e_{2} \otimes e_{2}, e_{1} \otimes e_{2} + e_{2} \otimes e_{1} ⟩$ 是一个三维向量空间。

　　我们定义（向量的）对称积¹

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \cdot : V \times V & \to V^{\otimes 2}, \\ v \cdot w & := \frac{1}{2} (v \otimes w + w \otimes v), \end{aligned} \end{matrix}

因此例 2 中

{Sym}^{2} V

的基向量可以写成

e_{1} \cdot e_{1}, e_{2} \cdot e_{2}

和

e_{1} \cdot e_{2}

（在基向量的意义下，系数不重要）。

　　注意：我们会说一个向量空间 $V$ 的（反）对称幂空间，以及两个向量的对称积，有时我们会把二阶对称幂空间 ${Sym}^{2} V$ 称为向量空间 $V$ 的对称积空间，但是这并不严谨。

　　更一般的，我们可以定义多项对称积

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \cdot : V^{\times n} & \to V^{\otimes n}, \\ v_{1} \dots v_{n} & := \frac{1}{n!} \sum_{σ \in S_{n}} v_{σ (1)} \otimes \dots \otimes v_{σ (n)}, \end{aligned} \end{matrix}

比如当

n = 3

时，

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} v_{1} \cdot v_{2} \cdot v_{3} = & \frac{1}{6} (v_{1} \otimes v_{2} \otimes v_{3} \\ + v_{1} \otimes v_{3} \otimes v_{2} \\ + v_{2} \otimes v_{1} \otimes v_{3} \\ + v_{2} \otimes v_{3} \otimes v_{1} \\ + v_{3} \otimes v_{1} \otimes v_{2} \\ + v_{3} \otimes v_{2} \otimes v_{1}), \end{aligned} \end{matrix}

　　可以证明， $v_{1} \cdot v_{2} \dots = v_{1} \cdot v_{3} \cdot v_{2} \dots = \dots$ 在 $S_{n}$ 的置换作用下固定，这意味着 $v \dots w \in {Sym}^{n} V$ ；

　　取 $V$ 的一组基 ${e_{1}, \dots, e_{k}}$ ，可以找到 ${Sym}^{n} V$ 的一组基

\begin{matrix} (7) & {e_{i_{1}} \cdot \dots \cdot e_{i_{n}} ∣ 1 \leq i_{1} \leq \dots \leq i_{n} \leq k}, \end{matrix}

特别的，

\dim ({Sym}^{n} V) = (\begin{matrix} k + n - 1 \\ n \end{matrix})

（隔板法）。

反对称幂（又称交错幂、外幂）

　　张量幂空间 $V^{\otimes n}$ 上存在另一个 $S_{n}$ 的群作用：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} ρ (σ) : V^{\otimes n} & \to V^{\otimes n}, \\ v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n} & \mapsto sgn (σ) v_{σ (1)} \otimes \dots \otimes v_{σ (n)} . \end{aligned} \end{matrix}

其中对于偶置换

sgn σ = 1

、奇置换

sgn σ = - 1

；我们把它的不动点集称为

V

的

n

阶反对称幂空间或称交错幂、外幂），记做

\land^{n} V

。

　　同样由于对称群 $S_{n}$ 由对换生成，我们只需要考虑 “交换两项变号” 即可。

定理 1　

　　 $v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n} \in \land^{n} V$ 当且仅当对任意的的 $i, j$ ，

\begin{matrix} (9) & \dots \otimes v_{i} \otimes \dots \otimes v_{j} \otimes \dots = - \dots \otimes v_{j} \otimes \dots \otimes v_{i} \otimes \dots . \end{matrix}

例 3　

　　考虑 $V = R^{2}$ ；反对称幂子空间 $\land^{2} V = ⟨ e_{1} \otimes e_{2} - e_{2} \otimes e_{1} ⟩$ ，因为

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} ρ ((12)) (e_{1} \otimes e_{2} - e_{2} \otimes e_{1}) \\ = ρ ((12)) (e_{1} \otimes e_{2}) - ρ ((12)) (e_{2} \otimes e_{1}) \\ = - e_{2} \otimes e_{1} + e_{1} \otimes e_{2} \end{aligned} \end{matrix}

　　我们定义（向量的）反对称积（或称交错积、外积）

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} \land : V \times V & \to V^{\otimes 2}, \\ v \land w & := \frac{1}{2} (v \otimes w - w \otimes v), \end{aligned} \end{matrix}

因此例 3 中

\land^{2} V

的基向量可以写成

e_{1} \land e_{2}

。

　　反对称积满足，

$v \land w = - w \land v$ ，特别的，
$v \land v = 0$ ；

　　这意味着 $v \land w \in \land^{2} V$ 。

　　更一般的，我们可以定义多项反对称积

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} \land : V^{\times n} & \to V^{\otimes n}, \\ v_{1} \land \dots \land v_{n} & := \frac{1}{n!} \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) v_{σ (1)} \otimes \dots \otimes v_{σ (n)}, \end{aligned} \end{matrix}

　　对任意的 $μ \in S_{n}$ ，

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} ρ (μ) (v_{1} \land \dots \land v_{n}) & = \frac{1}{n!} \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) ρ (μ) (v_{σ (1)} \otimes \dots \otimes v_{σ (n)}) \\ = \frac{1}{n!} \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) sgn (μ) (v_{μ (σ (1))} \otimes \dots \otimes v_{μ (σ (n))}) \\ = \frac{1}{n!} \sum_{σ \in S_{n}} sgn (μ σ) (v_{μ σ (1)} \otimes \dots \otimes v_{μ σ (n)}) \\ = v_{1} \land \dots \land v_{n}, \end{aligned} \end{matrix}

因此

v_{1} \land \dots \land v_{n} \in \land^{n} V

。

　　我们还可以定义两个反对称积（的结果）之间的的反对称积：

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} \land : \land^{n_{1}} V \times \land^{n_{2}} V & \to \land^{n_{1} + n_{2}} V, \\ ν \land ω & := v_{1} \land \dots \land v_{n_{1}} \land w_{1} \land \dots \land w_{n_{2}}, \end{aligned} \end{matrix}

此时的反对称积 “并不满足反对称律”，取而代之的是

\begin{matrix} (15) & ν \land ω = (- 1)^{n_{1} n_{2}} ω \land ν . \end{matrix}

　　最后，类似对称积的情况，取 $V$ 的一组基 ${e_{1}, \dots, e_{k}}$ ，可以找到 $\land^{n} V$ 的一组基

\begin{matrix} (16) & {e_{i_{1}} \land \dots \land e_{i_{n}} ∣ 1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq k}, \end{matrix}

特别的，

\dim (\land^{n} V) = (\begin{matrix} k \\ n \end{matrix})

，因此如果

n > k

，

\land^{n} V

就是零空间了。

二阶张量幂空间的对称反对称分解

　　由于 $k$ 维向量空间 $V$ 的二阶张量幂空间可以被分解成对称幂空间和反对称幂空间的直和

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} V^{\otimes 2} & = {Sym}^{2} V \oplus \land^{2} V \\ v_{1} \otimes v_{2} & = v_{1} \cdot v_{2} + v_{1} \land v_{2} . \end{aligned} \end{matrix}

　　另一方面， $k$ 维向量空间 $V$ 的二阶张量幂空间 $V^{\otimes 2}$ 的维度为 $k^{2}$ ，我们有

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} (\begin{array}{c} k + 1 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} k \\ 2 \end{array}) & = \frac{(k + 1)!}{(k - 1)! 2} + \frac{k!}{(k - 2)! 2} \\ = \frac{(k + 1) k}{2} + \frac{k (k - 1)}{2} \\ = k^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

　　不过，这个性质对于更高阶的情况不再成立，比如当 $n = 3$ 时

\begin{matrix} (19) & \begin{aligned} (\begin{array}{c} k + 2 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} k \\ 3 \end{array}) & = \frac{(k + 2)!}{(k - 1)! 6} + \frac{k!}{(k - 3)! 6} \\ = \frac{k}{3} ((k + 2) (k + 1) + (k - 1) (k - 2)) \\ = \frac{k}{3} (k^{2} + 4) \\ < k^{3} . \end{aligned} \end{matrix}

2. 作为商空间的对称/反对称幂

　　我们可以换一个视角来看待对称/反对称幂。考虑对称积映射 $\cdot : V^{\times n} \to V^{\otimes n}$ ，由于

它的值域为 ${Sym}^{n} V$ ，而且
它是一个多线性映射，

　　我们可以把它改写为一个线性满同态 $Sym : V^{\otimes n} ↠ {Sym}^{n} V$ ，我们有

\begin{matrix} (20) & \ker (Sym) = {v - ρ_{perm} (g) v ∣ v \in V^{\otimes n}, g \in S_{n}}, \end{matrix}

换言之，我们可以把

{Sym}^{n} V

理解成

V^{\otimes n}

的商空间；

　　类似的，反对称积映射 $\land : V^{\times n} \to V^{\otimes n}$ 可以改写成线性满同态 $\land : V^{\otimes n} ↠ \land^{n} V$ ，同样有

\begin{matrix} (21) & \ker (\land) = {v - ρ_{sign} (g) v ∣ v \in V^{\otimes n}, g \in S_{n}} . \end{matrix}

对称/反对称幂的万有性质

未完成：万有性质的文章，包含初/终性质

定理 2　对称映射的万有性质

　　对称幂映射 $Sym : V^{\times n} \to {Sym}^{n} V$ 是一个对称映射，而且 ${Sym}^{n} V$ 是所有到达域中 “最小的” 的（初对象，相关文章有待补充）：任意对称映射 $f : V^{\times n} \to W$ ，我们都有唯一确定的线性映射 $\bar{f} : {Sym}^{n} V \to W$ ，满足 $f = \bar{f} \circ Sym$ ，我们有交换图

\begin{matrix} (22) & \begin{matrix} V^{\times n} & \overset{Sym}{\to} & {Sym}^{n} V \\ f ↓ & \bar{f} ↓ \\ W & = & W \end{matrix} . \end{matrix}

　　对称映射的万有性质可以对照张量积的万有性质定义 1 进行理解。

　　类似的，

定理 3　反对称映射的万有性质

　　反对称幂映射 $\land : V^{\times n} \to \land^{n} V$ 是一个反对称映射，任意反对称映射 $f : V^{\times n} \to W$ ，我们都有唯一确定的线性映射 $\bar{f} : \land^{n} V \to W$ ，满足 $f = \bar{f} \circ \land$ ，我们有交换图

\begin{matrix} (23) & \begin{matrix} V^{\times n} & \overset{\land}{\to} & \land^{n} V \\ f ↓ & \bar{f} ↓ \\ W & = & W \end{matrix} . \end{matrix}

　　万有性质保证了对称/反对称幂空间在同构意义下的唯一性，进而证明了子空间构造和商空间构造是同构的。

1. ^ 如果域的特征 $char F$ 大于零（比如 $F_{p}$ ）， $\frac{1}{2}$ 的存在性依赖于 $char F$ 是否大于 $2$ ，更一般的， $\frac{1}{n!}$ 存在要求 $char F > n$ ；当我们只考虑 $R, C$ 的时候，不需要考虑这些问题。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

向量空间的对称/反对称幂

1. 作为子空间的对称/反对称幂

对称幂

例 1

习题 1

例 2

反对称幂（又称交错幂、外幂）

定理 1

例 3

二阶张量幂空间的对称反对称分解

2. 作为商空间的对称/反对称幂

对称/反对称幂的万有性质

定理 2 对称映射的万有性质

定理 3 反对称映射的万有性质

例 1　

习题 1　

例 2　

定理 1　

例 3　

定理 2　对称映射的万有性质

定理 3　反对称映射的万有性质