# 线性算子的张量积

## 1. 算子的张量积

由空间的张量积一节知道，任意两个矢量空间的张量积都存在，且仍是个矢量空间，那么在其上就可研究线性算子．

### 定理 1

设 $V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上的矢量空间，$\mathcal A,\mathcal B$ 分别是 $V,W$ 上的线性算子，那么在 $V\otimes W$ 上存在唯一的线性算子 $\mathcal C$，使得

$$\mathcal C(v\otimes w)=\mathcal A v\otimes \mathcal B w,\quad v\in V,w\in W$$

证明：定义映射 $\varphi:V\times W\rightarrow V\otimes W$：

$$\varphi(v,w):=\mathcal A v\otimes \mathcal B w,\quad v\in V,w\in W$$

由张量积的定义定义 1 ，存在唯一的线性算子 $\mathcal C$，使得

$$\mathcal C(v\otimes w)=\varphi(v,w)=\mathcal A v\otimes \mathcal B w$$

证毕！ 该定理给出了定义线性算子张量积的依据．

### 定义 1　算子的张量积

设 $\mathcal A,\mathcal B$ 分别是矢量空间 $V,W$ 上的线性算子，则

$$\mathcal A\otimes \mathcal B:V\otimes W\rightarrow V\otimes W$$

$$(\mathcal A\otimes \mathcal B)(v\otimes w)=\mathcal Av\otimes \mathcal Bw$$

由算子张量积的定义，容易验证线性算子的张量积具有下面的性质：

1. $(\mathcal A\otimes \mathcal B)(\mathcal C\otimes \mathcal D)=\mathcal AC\otimes \mathcal BD$
2. $(\mathcal A+\mathcal C)\otimes B=\mathcal A\otimes B+\mathcal C\otimes B$
3. $\mathcal A\otimes(\mathcal B+\mathcal D)=\mathcal A\otimes \mathcal B+\mathcal A\otimes \mathcal D$
4. $\mathcal A\otimes(\lambda\mathcal B)=(\lambda\mathcal A)\otimes \mathcal B=\lambda(\mathcal A\otimes \mathcal B)$

## 2. 算子张量积的矩阵

在线性算子代数 词条开头说过，$\mathcal L(V,V)$ 上的线性算子与 $n$ 阶方阵一一对应（$n=\dim V$）．而 $V\otimes W$ 本身也是矢量空间，这样就可把算子的张量积 $\mathcal A\otimes \mathcal B$ 看成 $\mathcal L(V\otimes W,V\otimes W)$ 上的线性算子，那么 $\mathcal A\otimes \mathcal B$ 就对应 $nm$ 阶的方阵（$m=\dim W$）．

设 $\{e_i\},\{f_j\}$ 分别是 $V,W$ 上的一组基．记

$$\mathcal Ae_i=\sum_{i'}\alpha_{i'i}e_{i'},\quad \mathcal Bf_j=\sum_{j'}\beta_{j'j}f_{j'}$$

$$(\mathcal A\otimes \mathcal B)(e_i\otimes f_j)=\sum_{i',j'}\alpha_{i'i}\beta_{j'j}e_{i'}\otimes f_{j'}$$

$$A\otimes B=(\alpha_{i'i}\beta_{j'j})= \begin{pmatrix} &\alpha_{11}B&\alpha_{12}B&\cdots&\alpha_{1n}B\\ &\alpha_{21}B&\alpha_{22}B&\cdots&\alpha_{2n}B\\ &\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ &\alpha_{n1}B&\alpha_{n2}B&\cdots&\alpha_{nn}B\\ \end{pmatrix}$$

 $e_1\otimes f_1$ $\cdots$ $e_1\otimes f_m$ $\cdots$ $e_n\otimes f_1$ $\cdots$ $e_n\otimes f_m$ $e_1\otimes f_1$ $\alpha_{11}\beta_{11}$ $\cdots$ $\alpha_{11}\beta_{1m}$ $\cdots$ $\alpha_{1n}\beta_{11}$ $\cdots$ $\alpha_{1n}\beta_{1m}$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $e_1\otimes f_m$ $\alpha_{11}\beta_{m1}$ $\cdots$ $\alpha_{11}\beta_{mm}$ $\cdots$ $\alpha_{1n}\beta_{m1}$ $\cdots$ $\alpha_{1n}\beta_{mm}$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $e_n\otimes f_1$ $\alpha_{n1}\beta_{11}$ $\cdots$ $\alpha_{n1}\beta_{1m}$ $\cdots$ $\alpha_{nn}\beta_{11}$ $\cdots$ $\alpha_{nn}\beta_{1m}$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $e_n\otimes f_m$ $\alpha_{n1}\beta_{11}$ $\cdots$ $\alpha_{n1}\beta_{mm}$ $\cdots$ $\alpha_{nn}\beta_{m1}$ $\cdots$ $\alpha_{mn}\beta_{mm}$

对算子的基，有下面公式

$$\mathrm{tr}\,A\otimes B=\sum_{i}\alpha_{ii}\mathrm{tr}\,B=\mathrm{tr}\,A\cdot\mathrm{tr}\,B$$
\begin{aligned} \det A\otimes B&=\det((A\otimes E_m)(E_n\otimes B))\\ &=\det(A\otimes E_m)\cdot\det(e_n\otimes B)\\ &=(\det A)^m(\det B)^n \end{aligned}