线性算子的张量积

                     

贡献者: 零穹

预备知识 空间的张量积,线性算子代数

1. 算子的张量积

   由空间的张量积一节知道,任意两个矢量空间的张量积都存在,且仍是个矢量空间,那么在其上就可研究线性算子.

定理 1 

   设 $V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上的矢量空间,$\mathcal A,\mathcal B$ 分别是 $V,W$ 上的线性算子,那么在 $V\otimes W$ 上存在唯一的线性算子 $\mathcal C$,使得

\begin{equation} \mathcal C(v\otimes w)=\mathcal A v\otimes \mathcal B w,\quad v\in V,w\in W \end{equation}

   证明:定义映射 $\varphi:V\times W\rightarrow V\otimes W$:

\begin{equation} \varphi(v,w):=\mathcal A v\otimes \mathcal B w,\quad v\in V,w\in W \end{equation}
显然,$\varphi$ 是个线性算子,只需利用 $\mathcal A,\mathcal B$ 是线性算子和张量积的性质(定理 2 )即可.

   由张量积的定义定义 1 ,存在唯一的线性算子 $\mathcal C$,使得

\begin{equation} \mathcal C(v\otimes w)=\varphi(v,w)=\mathcal A v\otimes \mathcal B w \end{equation}

   证毕! 该定理给出了定义线性算子张量积的依据.

定义 1 算子的张量积

   设 $\mathcal A,\mathcal B$ 分别是矢量空间 $V,W$ 上的线性算子,则

\begin{equation} \mathcal A\otimes \mathcal B:V\otimes W\rightarrow V\otimes W \end{equation}
称作算子 $\mathcal A,\mathcal B$ 的张量积,其规则为
\begin{equation} (\mathcal A\otimes \mathcal B)(v\otimes w)=\mathcal Av\otimes \mathcal Bw \end{equation}

   由算子张量积的定义,容易验证线性算子的张量积具有下面的性质:

  1. $(\mathcal A\otimes \mathcal B)(\mathcal C\otimes \mathcal D)=\mathcal AC\otimes \mathcal BD$
  2. $(\mathcal A+\mathcal C)\otimes B=\mathcal A\otimes B+\mathcal C\otimes B$
  3. $\mathcal A\otimes(\mathcal B+\mathcal D)=\mathcal A\otimes \mathcal B+\mathcal A\otimes \mathcal D$
  4. $\mathcal A\otimes(\lambda\mathcal B)=(\lambda\mathcal A)\otimes \mathcal B=\lambda(\mathcal A\otimes \mathcal B)$

2. 算子张量积的矩阵

   在线性算子代数 词条开头说过,$\mathcal L(V,V)$ 上的线性算子与 $n$ 阶方阵一一对应($n=\dim V$).而 $V\otimes W$ 本身也是矢量空间,这样就可把算子的张量积 $\mathcal A\otimes \mathcal B$ 看成 $\mathcal L(V\otimes W,V\otimes W)$ 上的线性算子,那么 $\mathcal A\otimes \mathcal B$ 就对应 $nm$ 阶的方阵($m=\dim W$).

   设 $\{e_i\},\{f_j\}$ 分别是 $V,W$ 上的一组基.记

\begin{equation} \mathcal Ae_i=\sum_{i'}\alpha_{i'i}e_{i'},\quad \mathcal Bf_j=\sum_{j'}\beta_{j'j}f_{j'} \end{equation}
就得到
\begin{equation} (\mathcal A\otimes \mathcal B)(e_i\otimes f_j)=\sum_{i',j'}\alpha_{i'i}\beta_{j'j}e_{i'}\otimes f_{j'} \end{equation}
这就是说,由 $A=(a_{i'i}),B=(\beta_{j'j})$,可以得到
\begin{equation} A\otimes B=(\alpha_{i'i}\beta_{j'j})= \begin{pmatrix} &\alpha_{11}B&\alpha_{12}B&\cdots&\alpha_{1n}B\\ &\alpha_{21}B&\alpha_{22}B&\cdots&\alpha_{2n}B\\ &\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ &\alpha_{n1}B&\alpha_{n2}B&\cdots&\alpha_{nn}B\\ \end{pmatrix} \end{equation}
注意,上面 $A\otimes B$ 的矩阵排列方式,和通常线性算子的矩阵排列一样,这里矢量空间 $V\otimes W$ 的第 $(i-1)+j$ 个基就是 $e_i\otimes f_j$.式 8 的理解如表 1 (注意算子矩阵的排列表)

表1:$A\otimes B$ 的矩阵排列方式理解表
$e_1\otimes f_1$ $\cdots$ $e_1\otimes f_m$ $\cdots$ $e_n\otimes f_1$ $\cdots$ $e_n\otimes f_m$
$e_1\otimes f_1$ $\alpha_{11}\beta_{11}$ $\cdots$ $\alpha_{11}\beta_{1m}$ $\cdots$ $\alpha_{1n}\beta_{11}$ $\cdots$ $\alpha_{1n}\beta_{1m}$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
$e_1\otimes f_m$ $\alpha_{11}\beta_{m1}$ $\cdots$ $\alpha_{11}\beta_{mm}$ $\cdots$ $\alpha_{1n}\beta_{m1}$ $\cdots$ $\alpha_{1n}\beta_{mm}$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
$e_n\otimes f_1$ $\alpha_{n1}\beta_{11}$ $\cdots$ $\alpha_{n1}\beta_{1m}$ $\cdots$ $\alpha_{nn}\beta_{11}$ $\cdots$ $\alpha_{nn}\beta_{1m}$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
$e_n\otimes f_m$ $\alpha_{n1}\beta_{11}$ $\cdots$ $\alpha_{n1}\beta_{mm}$ $\cdots$ $\alpha_{nn}\beta_{m1}$ $\cdots$ $\alpha_{mn}\beta_{mm}$

   对算子的基,有下面公式

\begin{equation} \mathrm{tr}\,A\otimes B=\sum_{i}\alpha_{ii}\mathrm{tr}\,B=\mathrm{tr}\,A\cdot\mathrm{tr}\,B \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \det A\otimes B&=\det((A\otimes E_m)(E_n\otimes B))\\ &=\det(A\otimes E_m)\cdot\det(e_n\otimes B)\\ &=(\det A)^m(\det B)^n \end{aligned} \end{equation}
其中第一式用到了算子张量积的性质 1 和算子运算与矩阵运算的对应关系(定理 1 ).


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