贡献者： 零穹
定义 1
$n$ 维矢量空间 $V$ 中，若有一基底，使得在该基底下，线性算子 $\mathcal{A}$ 对应的矩阵 $A$ 取对角形式
\begin{equation}
A=\begin{pmatrix}
\lambda_1&0&\cdots&0\\
0&\lambda_2&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
0&0&\cdots&\lambda_n
\end{pmatrix}~,
\end{equation}
则称算子 $\mathcal{A}$ 是
可对角化的。
式 1 通常又记为 $A=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$。
定理 1 线性算子可对角化的充要条件
定义在域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维矢量空间，其上的线性算子 $\mathcal{A}$ 可对角化的充要条件为：$\mathcal{A}$ 的本征多项式 $\mathrm{det}{\mathcal{A}-t \mathcal{E}}$ 的 所有根都在 $\mathbb{F}$ 上，且每个本征值 $\lambda$ 的几何重数等于代数重数。
1. 证明
先引入一个引理
引理 1
属于不同本征值的本征向量必然线性无关，且 $\sum\limits_{i=1}^nV^{\lambda_i}$ 是直和（各 $\lambda_i$ 不相同）。
证明：对每个 $V^{\lambda_i}$ 选取一个本征矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{e_i}} $，现证明它们线性无关。
当 $m=1$ 时显然。对 $m$ 用数学归纳法，设存在线性关系式
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{m}\alpha_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~,
\end{equation}
对某一系数 $\alpha_i$ 不为 0，不失一般性，设 $\alpha_1\neq0$。两边作用 $\mathcal A$：
\begin{equation}
\sum_{i=1}^m\alpha_i\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
$\lambda_m\times$
式 2 -
式 3 ：
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{m-1}\alpha_i(\lambda_m-\lambda_i) \boldsymbol{\mathbf{e}} _i= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
由归纳假定 $\alpha_i(\lambda_m-\lambda_i)=0,\;(i=1\cdots m-1)$。这和
\begin{equation}
\alpha_1\ne0,\;\lambda_m\neq\lambda_i,\;i< m\Rightarrow \alpha_1(\lambda
_m-\lambda_1)\neq0~
\end{equation}
矛盾。于是线性无关性得证！
由本征子空间 $V^\lambda$ 的定义（定义 2 ），任意非零矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\in V^{\lambda _i}$ 都是本征矢量。所以
\begin{equation}
V^{\lambda_i}\cap\sum_{j\neq i}V^{\lambda_j}= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~,
\end{equation}
即 $\sum\limits_{i=1}^nV^{\lambda_i}$ 是直和。
证毕！
充分性：设 $\lambda_i\;(i=1,\cdots, m)$ 是不同本征值。由于本征多项式所有根都在 $\mathbb{F}$ 内（意味着所有本征值代数重数之和=$n$），且代数重数且每一本征值代数重数和几何重数相同，所以
\begin{equation}
\sum_{i=1}^m \mathrm{dim}\;V^{\lambda_i}=n=\mathrm{dim}\; V~,
\end{equation}
于是
\begin{equation}
V=\bigoplus_{i=1}^m V^{\lambda_i}~.
\end{equation}
于是把 $V^{\lambda_i}$ 的基底合并就得到 $V$ 的一个基底。在此基底下 $\mathcal{A}$ 是对角化的定理 3 。
必要性：设 $\lambda_i\;(i=1,\cdots, m)$ 是 $\mathcal A$ 的不同本征值。由于 $\mathcal A$ 是对角化的，所以
\begin{equation}
A=\mathrm{diag}\;(\underbrace{\lambda_1,\cdots,\lambda_1}_{\mathrm{dim}\;V^{\lambda_1}};\cdots;\underbrace{\lambda_m,\cdots,\lambda_m}_{\mathrm{dim}\;V^{\lambda_m}})~.
\end{equation}
因为矢量空间在域 $\mathbb{F}$ 上，所以矩阵 $A$ 的元素 $\lambda_i\in \mathbb{F}$。
于是
\begin{equation}
\mathrm{det}(\mathcal{A}-t\mathcal E)=(\lambda_1-t)^{\mathrm{dim}\;V^{\lambda_1}}\cdots(\lambda_m-t)^{\mathrm{dim}\;V^{\lambda_m}}~.
\end{equation}
上式的解释即要证的结论。
证毕！
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