线性算子对角化的充要条件

                     

贡献者: 零穹

预备知识 本征矢量与本征多项式

定义 1 

   $n$ 维矢量空间 $V$ 中,若有一基底,使得在该基底下,线性算子 $\mathcal{A}$ 对应的矩阵 $A$ 取对角形式

\begin{equation} A=\begin{pmatrix} \lambda_1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_n \end{pmatrix} \end{equation}
则称算子 $\mathcal{A}$ 是可对角化的.式 1 通常又记为 $A=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$.

定理 1 线性算子可对角化的充要条件

   定义在域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维矢量空间,其上的线性算子 $\mathcal{A}$ 可对角化的充要条件为:$\mathcal{A}$ 的本征多项式 $\mathrm{det}{\mathcal{A}-t \mathcal{E}}$ 的 所有根都在 $\mathbb{F}$ 上,且每个本征值 $\lambda$ 的几何重数等于代数重数

1. 证明

   先引入一个引理

引理 1 

   属于不同本征值的特征矢量必然线性无关,且 $\sum\limits_{i=1}^nV^{\lambda_i}$ 是直和(各 $\lambda_i$ 不相同).

   证明:对每个 $V^{\lambda_i}$ 选取一个本征矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{e_i}} $,现证明它们线性无关.

   当 $m=1$ 时显然.对 $m$ 用数学归纳法,设存在线性关系式

\begin{equation} \sum_{i=1}^{m}\alpha_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i= \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
对某一系数 $\alpha_i$ 不为 0,不失一般性,设 $\alpha_1\neq0$.两边作用 $\mathcal A$:
\begin{equation} \sum_{i=1}^m\alpha_i\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i= \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
$\lambda_m\times$式 2 -式 3
\begin{equation} \sum_{i=1}^{m-1}\alpha_i(\lambda_m-\lambda_i) \boldsymbol{\mathbf{e}} _i= \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
由归纳假定 $\alpha_i(\lambda_m-\lambda_i)=0,\;(i=1\cdots m-1)$.这和
\begin{equation} \alpha_1\ne0,\;\lambda_m\neq\lambda_i,\;i < m\Rightarrow \alpha_1(\lambda _m-\lambda_1)\neq0 \end{equation}
矛盾.于是线性无关性得证!

   由本征子空间 $V^\lambda$ 的定义(定义 2 ),任意非零矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\in V^{\lambda _i}$ 都是本征矢量.所以

\begin{equation} V^{\lambda_i}\cap\sum_{j\neq i}V^{\lambda_j}= \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
即 $\sum\limits_{i=1}^nV^{\lambda_i}$ 是直和.

   证毕!

定理 1 的证明

   充分性:设 $\lambda_i\;(i=1,\cdots, m)$ 是不同本征值.由于本征多项式所有根都在 $\mathbb{F}$ 内(意味着所有本征值代数重数之和=$n$),且代数重数且每一本征值代数重数和几何重数相同,所以

\begin{equation} \sum_{i=1}^m \mathrm{dim}\;V^{\lambda_i}=n=\mathrm{dim}\; V \end{equation}
于是
\begin{equation} V=\bigoplus_{i=1}^m V^{\lambda_i} \end{equation}

    直和词条部分应证明上两式等价并链接

   于是把 $V^{\lambda_i}$ 的基底合并就得到 $V$ 的一个基底.在此基底下 $\mathcal{A}$ 是对角化的定理 1

   必要性:设 $\lambda_i\;(i=1,\cdots, m)$ 是 $\mathcal A$ 的不同本征值.由于 $\mathcal A$ 是对角化的,所以

\begin{equation} A=\mathrm{diag}\;(\underbrace{\lambda_1,\cdots,\lambda_1}_{\mathrm{dim}\;V^{\lambda_1}};\cdots;\underbrace{\lambda_m,\cdots,\lambda_m}_{\mathrm{dim}\;V^{\lambda_m}}) \end{equation}
因为矢量空间在域 $\mathbb{F}$ 上,所以矩阵 $A$ 的元素 $\lambda_i\in \mathbb{F}$. 于是
\begin{equation} \mathrm{det}(\mathcal{A}-t\mathcal E)=(\lambda_1-t)^{\mathrm{dim}\;V^{\lambda_1}}\cdots(\lambda_m-t)^{\mathrm{dim}\;V^{\lambda_m}} \end{equation}
上式的解释即要证的结论.

   证毕!


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