线性算子对角化的充要条件

贡献者：零穹

预备知识　本征矢量与本征多项式

定义 1　

　　 $n$ 维矢量空间 $V$ 中，若有一基底，使得在该基底下，线性算子 $A$ 对应的矩阵 $A$ 取对角形式

\begin{matrix} (1) & A = (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & λ_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & λ_{n} \end{matrix}), \end{matrix}

则称算子

A

是可对角化的。式 1 通常又记为

A = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})

。

定理 1　线性算子可对角化的充要条件

　　定义在域 $F$ 上的 $n$ 维矢量空间，其上的线性算子 $A$ 可对角化的充要条件为： $A$ 的本征多项式 $\det A - t E$ 的所有根都在 $F$ 上，且每个本征值 $λ$ 的几何重数等于代数重数。

1. 证明

　　先引入一个引理

引理 1　

　　属于不同本征值的本征向量必然线性无关，且 $\sum_{i = 1}^{n} V^{λ_{i}}$ 是直和（各 $λ_{i}$ 不相同）。

　　 证明：对每个 $V^{λ_{i}}$ 选取一个本征矢量 $e_{i}$ ，现证明它们线性无关。

　　当 $m = 1$ 时显然。对 $m$ 用数学归纳法，设存在线性关系式

\begin{matrix} (2) & \sum_{i = 1}^{m} α_{i} e_{i} = 0, \end{matrix}

对某一系数

α_{i}

不为 0，不失一般性，设

α_{1} \neq 0

。两边作用

A

：

\begin{matrix} (3) & \sum_{i = 1}^{m} α_{i} λ_{i} e_{i} = 0 . \end{matrix}

λ_{m} \times

式 2 -式 3 ：

\begin{matrix} (4) & \sum_{i = 1}^{m - 1} α_{i} (λ_{m} - λ_{i}) e_{i} = 0 . \end{matrix}

由归纳假定

α_{i} (λ_{m} - λ_{i}) = 0, (i = 1 \dots m - 1)

。这和

\begin{matrix} (5) & α_{1} \neq 0, λ_{m} \neq λ_{i}, i < m \Rightarrow α_{1} (λ_{m} - λ_{1}) \neq 0 \end{matrix}

矛盾。于是线性无关性得证！

　　由本征子空间 $V^{λ}$ 的定义（定义 2 ），任意非零矢量 $e_{i} \in V^{λ_{i}}$ 都是本征矢量。所以

\begin{matrix} (6) & V^{λ_{i}} \cap \sum_{j \neq i} V^{λ_{j}} = 0, \end{matrix}

即

\sum_{i = 1}^{n} V^{λ_{i}}

是直和。

　　 证毕！

定理 1 的证明

　　 充分性：设 $λ_{i} (i = 1, \dots, m)$ 是不同本征值。由于本征多项式所有根都在 $F$ 内（意味着所有本征值代数重数之和= $n$ ），且代数重数且每一本征值代数重数和几何重数相同，所以

\begin{matrix} (7) & \sum_{i = 1}^{m} \dim V^{λ_{i}} = n = \dim V, \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (8) & V = ⨁_{i = 1}^{m} V^{λ_{i}} . \end{matrix}

直和文章部分应证明上两式等价并链接

　　于是把 $V^{λ_{i}}$ 的基底合并就得到 $V$ 的一个基底。在此基底下 $A$ 是对角化的定理 3 。

　　 必要性：设 $λ_{i} (i = 1, \dots, m)$ 是 $A$ 的不同本征值。由于 $A$ 是对角化的，所以

\begin{matrix} (9) & A = diag (\underset{\dim V^{λ_{1}}}{\underset{⏟}{λ_{1}, \dots, λ_{1}}}; \dots; \underset{\dim V^{λ_{m}}}{\underset{⏟}{λ_{m}, \dots, λ_{m}}}) . \end{matrix}

因为矢量空间在域

F

上，所以矩阵

A

的元素

λ_{i} \in F

。于是

\begin{matrix} (10) & \det (A - t E) = (λ_{1} - t)^{\dim V^{λ_{1}}} \dots (λ_{m} - t)^{\dim V^{λ_{m}}} . \end{matrix}

上式的解释即要证的结论。

　　 证毕！

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

线性算子对角化的充要条件

定义 1

定理 1 线性算子可对角化的充要条件

1. 证明

引理 1

定理 1 的证明

定义 1　

定理 1　线性算子可对角化的充要条件

引理 1　