线性算子的行列式

贡献者： Giacomo

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预备知识　线性映射的张量积，行列式，对偶空间，向量空间的对称/反对称幂

1. 体积形式

　　我们把 $n$ 维向量空间 $V$ 上的反对称 $n$ -形式称为体积形式。

　　当 $F = R$ 时，这个定义符合我们的直觉，体积指的是定向平行多胞体的有向体积（signed volume）。

定义 1　平行多胞体

　　 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个 $k$ 维平行多胞体（又称超平行体）简称平行 $k$ -胞体，是由 $k$ 个向量 $v_{1}, \dots, v_{k}$ 生成的闭子集

\begin{matrix} (1) & P := {\sum_{i} a_{i} v_{i} ∣ a_{i} \in [0, 1]} . \end{matrix}

如果

{v_{1}, \dots, v_{k}}

线性无关我们就称

P

是非退化的；如果

{v_{1}, \dots, v_{k}}

选定了一组顺序我们就称它是定向的¹。

例 1　

　　（定向）平行 $1$ -胞体就是一条（有向）线段， $2$ -胞体就是平行四边形， $3$ -胞体就是平行六面体。

图 1：平行四边性

图 2：平行六面体

例 2　有向长度

　　 $V$ 上的一个反对称 $1$ -形式（即线性函数） $l : V \to F$ 给每个定向平行 $1$ -胞体 $(P, v_{1})$ 定义了一个有向长度 $l (v_{1})$ 。

　　更一般的，反对称 $k$ -形式 $ω$ 给每个定向平行 $k$ -胞体定义了一个有向 $k$ 维体积：

\begin{matrix} (2) & {vol}_{k} (P, v_{1}, \dots, v_{k}) := ω (v_{1}, \dots, v_{k}) . \end{matrix}

未完成：画图

例 3　

　　我们以三维空间的正方体 $P := [0, 1]^{3} \subseteq R^{3}$ 为例，定向平行六面体 $(P, e_{1}, e_{2}, e_{3})$ 和 $(P, e_{2}, e_{1}, e_{3})$ 是关于平面 $x = y$ 对称的，因此我们把它们的体积是为相反的（一正一负）。

2. 行列式

　　 $f$ 的 $k$ 阶张量幂 $f^{\otimes k} : V^{\otimes k} \to W^{\otimes k}$ 保留了 $V^{\otimes k}$ 元素的反对称性，

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} f (v_{1} \land \dots \land v_{k}) & = \sum_{σ \in S_{n}} sign (σ) f (v_{σ (1)}) \otimes \dots \otimes f (v_{σ (k)}) \\ = f (v_{1}) \land \dots \land f (v_{k}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　如果 $f$ 是一个线性算子，即 $f : V \to V$ ，我们发现 $k$ 阶反对称幂子空间 $\land^{k} V$ 是 $f^{\otimes k}$ 的不变子空间，因此 $\land^{k} f$ 是 $\land^{k} V$ 上的线性算子。

　　特别的记 $V$ 的维度为 $n$ ，我们有 $\dim (\land^{n} V) = 1$ ，因此

\begin{matrix} (4) & \land^{k} f : \land^{n} V \to \land^{n} V \end{matrix}

是一个一维到一维的映射，此时存在

λ \in F

满足

\begin{matrix} (5) & (\land^{k} f) (v) = λ v \end{matrix}

λ

就是我们想要的

f

的行列式。

定义 2　行列式

　　线性算子 $f : V \to V$ 被定义为 $λ$ 。

未完成：证明 1：线性算子的行列式等于它对应的矩阵的行列式

未完成：证明 2：线性算子的行列式等于体积形式的变化因子

1. ^ 严格来说这时候我们应该记定向平行多胞体为 $(P, v_{1}, \dots, v_{k})$ 。

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线性算子的行列式

1. 体积形式

定义 1 平行多胞体

例 1

例 2 有向长度

例 3

2. 行列式

定义 2 行列式

定义 1　平行多胞体

例 1　

例 2　有向长度

例 3　

定义 2　行列式