线性算子的行列式

                     

贡献者: Giacomo

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预备知识 线性映射的张量积,行列式对偶空间,向量空间的对称/反对称幂

1. 体积形式

   我们把 $n$ 维向量空间 $V$ 上的反对称 $n$-形式称为体积形式

   当 $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ 时,这个定义符合我们的直觉,体积指的是定向平行多胞体的有向体积(signed volume)。

定义 1 平行多胞体

   $n$ 维向量空间 $V$ 的一个 $k$ 维平行多胞体(又称超平行体)简称平行 $k$-胞体,是由 $k$ 个向量 $v_1, \cdots, v_k$ 生成的闭子集

\begin{equation} P: = \left\{ \sum_i a_i v_i \mid a_i \in [0, 1] \right\}~. \end{equation}
如果 $\{v_1, \cdots, v_k\}$ 线性无关我们就称 $P$ 是非退化的;如果 $\{v_1, \cdots, v_k\}$ 选定了一组顺序我们就称它是定向的1

例 1 

   (定向)平行 $1$-胞体就是一条(有向)线段,$2$-胞体就是平行四边形,$3$-胞体就是平行六面体。

图
图 1:平行四边性
图
图 2:平行六面体

例 2 有向长度

   $V$ 上的一个反对称 $1$-形式(即线性函数)$l: V \to \mathbb{F}$ 给每个定向平行 $1$-胞体 $(P, v_1)$ 定义了一个有向长度 $l(v_1)$。

   更一般的,反对称 $k$-形式 $\omega$ 给每个定向平行 $k$-胞体定义了一个有向 $k$ 维体积:

\begin{equation} \operatorname {vol}_k(P, v_1, \cdots, v_k): = \omega(v_1, \cdots, v_k)~. \end{equation}

  

未完成:画图

例 3 

   我们以三维空间的正方体 $P: = [0, 1]^3 \subseteq \mathbb{R}^3$ 为例,定向平行六面体 $(P, e_1, e_2, e_3)$ 和 $(P, e_2, e_1, e_3)$ 是关于平面 $x = y$ 对称的,因此我们把它们的体积是为相反的(一正一负)。

2. 行列式

   $f$ 的 $k$ 阶张量幂 $f^{\otimes k}: V^{\otimes k} \to W^{\otimes k}$ 保留了 $V^{\otimes k}$ 元素的反对称性,

\begin{equation} \begin{aligned} f(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) &= \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname {sign}(\sigma) f(v_{\sigma(1)}) \otimes \cdots \otimes f(v_{\sigma(k)}) \\ &= f(v_1) \wedge \cdots \wedge f(v_k)~. \end{aligned}~ \end{equation}

   如果 $f$ 是一个线性算子,即 $f: V \to V$,我们发现 $k$ 阶反对称幂子空间 ${\large \wedge}^k V$ 是 $f^{\otimes k}$ 的不变子空间,因此 ${\large \wedge}^k f$ 是 ${\large \wedge}^k V$ 上的线性算子。

   特别的记 $V$ 的维度为 $n$,我们有 $\dim({\large \wedge}^n V) = 1$,因此

\begin{equation} {\large \wedge}^k f: {\large \wedge}^n V \to {\large \wedge}^n V~ \end{equation}
是一个一维到一维的映射,此时存在 $\lambda \in \mathbb{F}$ 满足
\begin{equation} ({\large \wedge}^k f)(v) = \lambda v~ \end{equation}
$\lambda$ 就是我们想要的 $f$ 的行列式。

定义 2 行列式

   线性算子 $f: V \to V$ 被定义为 $\lambda$。

  

未完成:证明 1:线性算子的行列式等于它对应的矩阵的行列式
未完成:证明 2:线性算子的行列式等于体积形式的变化因子


1. ^ 严格来说这时候我们应该记定向平行多胞体为 $(P, v_1, \cdots, v_k)$。


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