线性算子的行列式
贡献者： Giacomo
- 本文存在未完成的内容。
1. 体积形式
我们把 $n$ 维向量空间 $V$ 上的反对称 $n$-形式称为体积形式。
当 $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ 时，这个定义符合我们的直觉，体积指的是定向平行多胞体的有向体积（signed volume）。
图 1：平行四边性
图 2：平行六面体
更一般的，反对称 $k$-形式 $\omega$ 给每个定向平行 $k$-胞体定义了一个有向 $k$ 维体积：
\begin{equation}
\operatorname {vol}_k(P, v_1, \cdots, v_k): = \omega(v_1, \cdots, v_k)~.
\end{equation}
未完成：画图
2. 行列式
$f$ 的 $k$ 阶张量幂 $f^{\otimes k}: V^{\otimes k} \to W^{\otimes k}$ 保留了 $V^{\otimes k}$ 元素的反对称性，
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) &= \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname {sign}(\sigma) f(v_{\sigma(1)}) \otimes \cdots \otimes f(v_{\sigma(k)}) \\
&= f(v_1) \wedge \cdots \wedge f(v_k)~.
\end{aligned}~
\end{equation}
如果 $f$ 是一个线性算子，即 $f: V \to V$，我们发现 $k$ 阶反对称幂子空间 ${\large \wedge}^k V$ 是 $f^{\otimes k}$ 的不变子空间，因此 ${\large \wedge}^k f$ 是 ${\large \wedge}^k V$ 上的线性算子。
特别的记 $V$ 的维度为 $n$，我们有 $\dim({\large \wedge}^n V) = 1$，因此
\begin{equation}
{\large \wedge}^k f: {\large \wedge}^n V \to {\large \wedge}^n V~
\end{equation}
\begin{equation}
({\large \wedge}^k f)(v) = \lambda v~
\end{equation}
未完成：证明 1：线性算子的行列式等于它对应的矩阵的行列式
未完成：证明 2：线性算子的行列式等于体积形式的变化因子
1. ^ 严格来说这时候我们应该记定向平行多胞体为 $(P, v_1, \cdots, v_k)$。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
友情链接： 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利