几种含时微扰

贡献者： addis

预备知识　含时微扰理论

　　令初态到末态能量差对应的光子频率为

\begin{matrix} (1) & ω_{f i} = \frac{E_{f} - E_{i}}{ℏ}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & S = \frac{1}{i ℏ} \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ f | {\hat{H}}^{'} (t) | i ⟩ e^{i ω_{f i}} d t . \end{matrix}

当

⟨ f | H^{'} (t) | i ⟩ = W_{f i} g (t)

时

\begin{matrix} (3) & P_{f i} = {| S |}^{2} = \frac{{| W_{f i} |}^{2}}{ℏ^{2}} {| \int_{- \infty}^{+ \infty} g (t) e^{i ω_{f i} t} d t |}^{2} . \end{matrix}

1. 瞬时脉冲

　　令 $g (t) = δ (t - t_{0})$ ，则

\begin{matrix} (4) & {| \int_{- \infty}^{+ \infty} g (t) e^{i ω_{f i} t} d t |}^{2} = {| \int_{t_{0} - ϵ}^{t_{0} + ϵ} δ (t - t_{0}) e^{i ω_{f i} t} d t |}^{2} = 1, \end{matrix}

代入得

\begin{matrix} (5) & P_{f i} = \frac{{| W_{f i} |}^{2}}{ℏ^{2}} . \end{matrix}

2. 方形脉冲

\begin{matrix} (6) & g (t) = {\begin{aligned} 1 (0 < t < Δ t) \\ 0 (其他), \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} {| \int_{- \infty}^{+ \infty} g (t) e^{i ω_{f i} t} d t |}^{2} & = {| \int_{t_{1}}^{t_{2}} e^{i ω_{f i} t} d t |}^{2} = {| \frac{e^{i ω_{f i} t_{2}} - e^{i ω_{f i} t_{1}}}{i ω_{f i}} |}^{2} \\ = \frac{\sin^{2} [ω_{f i} (t_{2} - t_{1}) / 2]}{[ω_{f i} (t_{2} - t_{1}) / 2]^{2}} (t_{2} - t_{1})^{2} \\ = Δ t^{2} {sinc}^{2} [ω_{f i} Δ t / 2], \end{aligned} \end{matrix}

概率为

\begin{matrix} (8) & P_{f i} = \frac{{| W_{f i} |}^{2}}{ℏ^{2}} Δ t^{2} {sinc}^{2} [ω_{f i} Δ t / 2] . \end{matrix}

于瞬时脉冲相比，主要跃迁到附近的

E_{2}

能级。且时间越长能量变化越小。

　　注意当 $Δ t \to \infty$ 时， $Δ t sinc (Δ t \cdot x) \to π δ (x)$ （例 1 ）。所以当脉冲较长时，末态能量约等于初态能量。

3. 简谐振动乘以方形脉冲

\begin{matrix} (9) & g (t) = {\begin{aligned} e^{\pm i ω t} & (0 < t < Δ t) \\ 0 & (其他), \end{aligned} \end{matrix}

与上面的推导类似，结果为

\begin{matrix} (10) & c_{i} (t) = - \frac{W_{f i}}{ℏ} \frac{e^{i (ω_{i j} \pm ω) t} - 1}{ω_{i j} \pm ω}, \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & P_{f i} = {| c_{i} (t) |}^{2} = \frac{{| W_{f i} |}^{2}}{ℏ^{2}} Δ t^{2} {sinc}^{2} [(ω_{f i} \pm ω) Δ t / 2] . \end{matrix}

这说明，跃迁倾向于增加能量

ℏ ω

，时间越长，就越靠近

ℏ ω

。要注意真实的简谐微扰往往是

\cos (ω t)

，分解为两项积分后，会有干涉效应，结果较为复杂。但若

ω ≫ ω_{f i}

时可以忽略干涉项。

4. 简谐振动乘以方形脉冲

\begin{matrix} (12) & g (t) = {\begin{aligned} \cos (ω t) & (0 < t < Δ t) \\ 0 & (其他) . \end{aligned} \end{matrix}

由于积分关于

g (t)

是线性的，可以将

\cos (ω t)

拆分为两个指数函数

\begin{matrix} (13) & c_{i} (t) = - \frac{W_{f i}}{2 ℏ} [\frac{e^{i (ω_{i j} + ω) t} - 1}{ω_{i j} + ω} + \frac{e^{i (ω_{i j} - ω) t} - 1}{ω_{i j} - ω}] . \end{matrix}

作为一个近似，如果

| ω - ω_{i j} | ≪ ω

那么第一项可以忽略不计（式 10 取负号），所以

\begin{matrix} (14) & P_{f i} = {| c_{i} (t) |}^{2} = \frac{{| W_{f i} |}^{2}}{4 ℏ^{2}} Δ t^{2} {sinc}^{2} [(ω_{f i} - ω) Δ t / 2] . \end{matrix}

当

ω = ω_{f i}

时，跃迁概率和时间平方成正比。

　　相反，如果 $| ω + ω_{i j} | ≪ ω$ ，那么第二项忽略不计（式 10 取正号），所以

\begin{matrix} (15) & P_{f i} = {| c_{i} (t) |}^{2} = \frac{{| W_{f i} |}^{2}}{4 ℏ^{2}} Δ t^{2} {sinc}^{2} [(ω_{f i} + ω) Δ t / 2] . \end{matrix}

当式 14 和式 15 的两个峰都比较窄且不重叠，那么

P_{f i}

也可以写成它们之和。

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