几种含时微扰

             

预备知识 含时微扰理论

   令初态到末态能量差对应的光子频率为

\begin{equation} \omega_{fi} = \frac{E_f - E_i}{\hbar} \end{equation}
\begin{equation} S = \frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} \int_{-\infty}^{+\infty} \left\langle f \middle| \hat{H} '(t) \middle| i \right\rangle \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega_{fi}} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
当 $ \left\langle f \middle| H'(t) \middle| i \right\rangle = W_{fi} g(t)$ 时
\begin{equation} P_{fi} = \left\lvert S \right\rvert ^2 = \frac{ \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2}{\hbar^2} \left\lvert \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega_{fi} t} \,\mathrm{d}{t} \right\rvert ^2 \end{equation}

1. 瞬时脉冲 $g(t) = \delta(t-t_0)$

\begin{equation} \left\lvert \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega_{fi} t} \,\mathrm{d}{t} \right\rvert ^2 = \left\lvert \int_{t_0-\epsilon}^{t_0+\epsilon} \delta(t-t_0) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega_{fi} t} \,\mathrm{d}{t} \right\rvert ^2 = 1 \end{equation}
代入得
\begin{equation} P_{fi} = \frac{ \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2}{\hbar^2} \end{equation}

2. 方形脉冲 $g(t)$(从 $t=t_1$ 到 $t=t_2$)

\begin{equation}\begin{aligned} \left\lvert \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega_{fi}t} \,\mathrm{d}{t} \right\rvert ^2 &= \left\lvert \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega_{fi}t} \,\mathrm{d}{t} \right\rvert ^2 = \left\lvert \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega_{fi}t_2} - \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega_{fi}t_1}}{ \mathrm{i} \omega_{fi}} \right\rvert ^2\\ &= \frac{\sin^2[\omega_{fi}(t_2-t_1)/2]}{[\omega_{fi}(t_2-t_1)/2]^2} (t_2-t_1)^2 \\ &= \Delta t^2 \operatorname{sinc} ^2[\omega_{fi}\Delta t/2] \end{aligned}\end{equation}
概率为
\begin{equation} P_{fi} = \frac{ \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2}{\hbar^2} \Delta t^2 \operatorname{sinc} ^2[\omega_{fi}\Delta t/2] \end{equation}
于瞬时脉冲相比,主要跃迁到附近的 $E_2$ 能级.且时间越长能量变化越小.

3. 简谐振动 $g(t)= \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}$ 乘以方形脉冲(从 $t=t_1$ 到 $t=t_2$)

   与上面的推导类似,结果为

\begin{equation} c_i(t) = -\frac{W_{fi}}{\hbar} \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (\omega_{ij} - \omega)t} - 1}{\omega_{ij} - \omega} \end{equation}
\begin{equation} P_{fi} = \left\lvert c_i(t) \right\rvert ^2 = \frac{ \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2}{\hbar^2} \Delta t^2 \operatorname{sinc} ^2[(\omega_{fi}-\omega)\Delta t/2] \end{equation}
这说明,跃迁倾向于增加能量 $\hbar\omega$,时间越长,就越靠近 $\hbar\omega$.要注意真实的简谐微扰往往是 $ \cos\left(\omega t\right) $,分解为两项积分后,会有干涉效应,结果较为复杂.但若 $\omega \gg \omega_{fi}$ 时可以忽略干涉项.

   注意当 $\Delta t \to \infty$ 时,$ \operatorname{sinc} ^2(x)/\sqrt{\pi} \to \delta(x)$.

4. 简谐振动 $g(t)= \cos\left(\omega t\right) $ 乘以方形脉冲(从 $t=t_1$ 到 $t=t_2$)

   由于积分关于 $g(t)$ 是线性的,可以将 $ \cos\left(\omega t\right) $ 拆分为两个指数函数

\begin{equation} c_i(t) = -\frac{W_{fi}}{2\hbar} \left[\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (\omega_{ij} + \omega)t} - 1}{\omega_{ij} + \omega} + \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (\omega_{ij} - \omega)t} - 1}{\omega_{ij} - \omega} \right] \end{equation}
作为一个近似,如果 $ \left\lvert \omega - \omega_{ij} \right\rvert \ll \omega + \omega_{ij}$ 那么第一项可以忽略不计,所以

\begin{equation} P_{fi} = \left\lvert c_i(t) \right\rvert ^2 = \frac{ \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2}{4\hbar^2} \Delta t^2 \operatorname{sinc} ^2[(\omega_{fi}-\omega)\Delta t/2] \end{equation}
当 $\omega = \omega_{fi}$ 时,跃迁概率和时间平方成正比.

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