驻波

贡献者： ACertainUser; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　平面简谐波

1. 一维驻波

　　想象一根紧绷的弦的两端固定，那么弦上显然不可能出现稳定的简谐波，因为简谐波要求两个端点也必须随做简谐运动¹。满足这种约束的波是驻波。

驻波、波节与波腹

图 1：驻波、波节与波腹

　　形如

\begin{matrix} (1) & f (x, t) = A \sin (ω t) \sin (k x) \end{matrix}

的波可以理解为单一频率的驻波。

　　如图 1 所示，单一频率的驻波的最大特点是 “只在原地振动”。

　　根据式 1 ，如果我们把 $\sin (k x)$ 一项视为振幅的一部分，那么我们会发现振幅大小与位置有关，即 $A (x) = A \sin (k x)$ . 也就是说，当 $\sin (k x) = 0, k x = n π (n = 1, 2, 3, . . .)$ 时，振幅始终为零，此处的质元从不运动，称为波节（图中黑色点）；当 $\sin (k x) = \pm 1, k x = \frac{π}{2} (2 n - 1)$ 时，振幅达到最大值 $A$ ，称为波腹（图中红色点）。

单一驻波的频率、波长

图 2：弦边界约束了可能的驻波

　　由于驻波被弦边界所约束（弦的边界是被定死的，在边界上弦始终不能产生位移、振动），因此驻波的频率、波长只能取一系列特定的、离散的值。（而在简谐波中，如果没有其他约束，则频率、波长可以任意取值）

　　具体的求解需要运用烦闷复杂的数学物理方法（分离变量法解偏微分方程）的相应知识，此处仅做简单介绍。

　　假定弦长为 $L$ ，驻波方程式 1 须满足弦的边界条件 $\begin{aligned} f (0, t) & = 0, \\ f (L, t) & = 0 . \end{aligned}$

　　很明显，第一个条件自动满足；而由第二个条件得到 $f (L, t) = A \sin (ω t) \sin (k L) = 0 .$ 为使该式始终为零，必须有 $\sin (k L)$ 始终为零，即 $k L = n π (n = 1, 2, 3. . .),$ 即

\begin{matrix} (2) & k = \frac{n π}{L} . \end{matrix}

由此，单一驻波的

k

只能取特定的离散值。因此驻波的频率、波长等也必须是离散的。

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} λ & = \frac{2 L}{n}, \\ T & = \frac{2 L}{n v}, \\ f & = \frac{n v}{2 L} . \end{aligned} \end{matrix}

驻波的叠加

　　与其他波动一样，驻波也满足叠加原理。因此，驻波的一般形式可以理解为一组各种频率的驻波的叠加。可以参考图 1 $f = \sum f_{i} .$

驻波与简谐波

　　单一频率的驻波可以理解为两列振幅、频率、波长都相同而方向相反的简谐波的叠加。 $\begin{aligned} f_{1} (x, t) & = \sin (k x + ω t), \\ f_{2} (x, t) & = \sin (k x - ω t) . \end{aligned}$ 因此 $f = f_{1} + f_{2} = \sin (k x + ω t) + \sin (k x - ω t) .$ 根据和差化积公式，

\begin{matrix} (4) & f (x, t) = - 2 \sin (ω t) \sin (k x) . \end{matrix}

未完成：介绍：波节、波腹、驻波的波动方程；如何计算一根线所支持的振动频率、谐波是什么。大学物理程度即可，不要讲太深

1. ^ “两端固定” 这个条件在解波动方程的语境下被称为边界条件，所以前面讨论的简谐波作为波动方程的解，不满足所要求的边界条件

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。