驻波

                     

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预备知识 平面简谐波

1. 一维驻波

   想象一根紧绷的弦的两端固定,那么弦上显然不可能出现稳定的简谐波,因为简谐波要求两个端点也必须随做简谐运动1。满足这种约束的波是驻波。

驻波、波节与波腹

图
图 1:驻波、波节与波腹

   形如

\begin{equation} f(x,t)=A \sin\left(\omega t\right) \sin\left(kx\right) \end{equation}
的波可以理解为单一频率的驻波。

   如图 1 所示,单一频率的驻波的最大特点是 “只在原地振动”。

   根据式 1 ,如果我们把 $ \sin\left(kx\right) $ 一项视为振幅的一部分,那么我们会发现振幅大小与位置有关,即 $A(x) = A \sin\left(kx\right) $. 也就是说,当$$ \sin\left(kx\right) =0, kx=n\pi \qquad n=1,2,3,...$$时,振幅始终为零,此处的质元从不运动,称为波节(图中黑色点);当$$ \sin\left(kx\right) =\pm1, kx=\frac{\pi}{2} (2n-1)$$时,振幅达到最大值 $A$,称为波腹(图中红色点)。

单一驻波的频率、波长

图
图 2:弦边界约束了可能的驻波

   由于驻波被弦边界所约束(弦的边界是被定死的,在边界上弦始终不能产生位移、振动),因此驻波的频率、波长只能取一系列特定的、离散的值。(而在简谐波中,如果没有其他约束,则频率、波长可以任意取值)

   具体的求解需要运用烦闷复杂的数学物理方法(分离变量法解偏微分方程)的相应知识,此处仅做简单介绍。

   假定弦长为 $L$,驻波方程 式 1 须满足弦的边界条件 $$ \begin{aligned} f(0,t)&=0\\ f(L,t)&=0\\ \end{aligned} $$

   很明显,第一个条件自动满足;而由第二个条件得到 $$ f(L,t)=A \sin\left(\omega t\right) \sin\left(kL\right) =0 $$ 为使该式始终为零,必须有 $ \sin\left(kL\right) $ 始终为零,即 $$kL = n\pi \qquad n=1,2,3...$$ 即

\begin{equation} k=\frac{n\pi}{L} \end{equation}
由此,单一驻波的 $k$ 只能取特定的离散值。因此驻波的频率、波长等也必须是离散的。
\begin{equation} \begin{aligned} \lambda &=\frac{2L}{n}\\ T &=\frac{2L}{nv}\\ f &=\frac{nv}{2L}\\ \end{aligned} \end{equation}

驻波的叠加

   与其他波动一样,驻波也满足叠加原理。因此,驻波的一般形式可以理解为一组各种频率的驻波的叠加。可以参考图 1 $$f=\sum f_i$$

驻波与简谐波

   单一频率的驻波可以理解为两列振幅、频率、波长都相同而方向相反的简谐波的叠加。 $$ \begin{aligned} f_1(x,t)&= \sin\left(kx+\omega t\right) \\ f_2(x,t)&= \sin\left(kx-\omega t\right) \\ \end{aligned} $$ 因此 $$f=f_1+f_2= \sin\left(kx+\omega t\right) + \sin\left(kx-\omega t\right) $$ 根据和差化积公式,

\begin{equation} f(x,t)=-2 \sin\left(\omega t\right) \sin\left(kx\right) \end{equation}

  

未完成:介绍:波节、波腹、驻波的波动方程;如何计算一根线所支持的振动频率、谐波是什么。大学物理程度即可,不要讲太深


1. ^ “两端固定” 这个条件在解波动方程的语境下被称为边界条件,所以前面讨论的简谐波作为波动方程的解,不满足所要求的边界条件


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