夹逼定理

贡献者：欄、停敘

本文处于草稿阶段。

预备知识　极限定义，极限运算法则

　　 夹逼定理（Squeeze Theorem，或称夹挤定理）

　　本文会先讨论一下一般使用夹逼定理时会遇到的问题。最后会针对两个情况下的夹逼定理给出证明。

定理 1　数列极限的夹逼定理

　　若数列 ${a_{n}}$ , ${b_{n}}$ 以及 ${x_{n}}$ 满足

$\exists N_{0} \in N$ ， $\forall n > N_{0}$ ， $a_{n} \leq x_{n} \leq b_{n}$ ，
$n$ 趋于无穷时， ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的极限存在且相等，即 $lim_{n \to \infty} {a_{n}} = lim_{n \to \infty} {b_{n}} = m$ ；

　　则 $n$ 趋于无穷时，数列 ${x_{n}}$ 的极限存在且

\begin{matrix} (1) & lim_{n \to \infty} x_{n} = m . \end{matrix}

定理 2　函数极限的夹逼定理

　　若函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 以及 $h (x)$ 满足

存在确定的 $δ > 0$ ，使得对任意符合 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 的 $x$ ，都有 $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ ，
$x$ 趋于 $x_{0}$ 时， $h (x)$ 和 $g (x)$ 的极限存在且相等，即 $lim_{x \to x_{0}} h (x) = lim_{x \to x_{0}} g (x) = a$ ；

　　则函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的极限存在且

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to x_{0}} f (x) = a . \end{matrix}

1. 小试牛刀——一个重要极限

　　之前在学习重要极限（参见例 1 ）时，只是形象地将这个概念给出，事实上，它可以由夹逼定理得到。

例 1　证明： $lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$

　　构造函数 $g (x) = \cos (x)$ ， $f (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ ， $h (x) = 1$ ，

2. 夹逼定理的奇技淫巧

　　在面对不太容易通过极限运算得到结果的极限时，尤其是涉及到复合、求和等场景或存在比较显然的不等关系时，记得使用夹逼定理，可以收获奇效。事实上，在使用夹逼定理时，其实是把复杂的对极限的运算转移到了构造不等式上来。而且，就像乱拳打死老师傅，由于不需要考虑中间的极限是否存在，也能够避免一些需要讨论存在性的场景，避免出错（说的就是你，洛必达法则）。

　　当然，这里对于不等式的构造会有一定的要求，所以下面会提供一些常用的不等关系，一起服用，效果极佳。

$\sin x < x < \tan x, x \in (0, \frac{π}{2})$
$\sin x \leq x, x \in (0, + \infty)$
$\arctan x \leq x \leq \arcsin x, x \in [0, 1]$
$x + 1 \leq e^{x}$
$\ln x \leq x - 1, x \in (0, + \infty)$
$\frac{1}{1 + x} \leq \ln (1 + \frac{1}{x}) \leq \frac{1}{x}, x \in (0, + \infty)$
$\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2} \leq \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{2}}, (x, y > 0)$

例 2　
未完成：应用上述不等式的例题

　　另外，在处理求和的极限时，将与 n 相关的分子或分母进行放大或缩小，使其能够消去或易于计算，也是一个好方法。

例 3　 $lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{n^{2} + n + i}$

未完成：求和的例题

例 4　设 a 是一个正整数， $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1^{n} + 2^{n} + \dots + a^{n}}$

例 5　设 a 是一个正整数， $lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!}$

例 6　 $lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{n}{n^{2} + i π}$

例 7　 $lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + i}}$

例 8　 $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}}$

3. 数列极限的夹逼定理证明

　　先回顾一下定理 1 内容，下面给出证明：

　　已知 $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = m$ ，由极限定义可知，对于给定的 $ε > 0$ ，存在一个正整数 $N_{1}$ ，使得当 $n > N_{1}$ 时， $| a_{n} - m | < ε$ 。同理，存在一个正整数 $N_{2}$ ，使得当 $n > N_{2}$ 时， $| b_{n} - m | < ε$ 。取 $N_{m} = max (N_{1}, N_{2})$ 。当 $n > N_{m}$ 时，以上两不等式同时成立，即：

\begin{matrix} (3) & - ε < a_{n} - m < ε . \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & - ε < b_{n} - m < ε . \end{matrix}

　　又已知 $\exists N_{0} \in N$ ， $\forall n > N_{0}$ ， $a_{n} \leq x_{n} \leq b_{n}$ ，因此，取 $N = max (N_{0}, N_{m})$ ，当 $n > N$ 时，三个不等式均成立，有：

\begin{matrix} (5) & - ε < a_{n} - m \leq x_{n} - m \leq b_{n} - m < ε ⟹ | x_{n} - m | < ε . \end{matrix}

　　根据极限的定义，可知极限存在且为 $m$ ，即 $lim_{n \to \infty} x_{n} = m$ 。

　　证毕。

4. 函数极限的夹逼定理证明

　　先回顾一下定理 2 的内容，下面会先证明一个引理，然后再给出证明。

引理 1　不等式一端为 0 时的极限

　　若函数 $f (x)$ 、 $h (x)$ 满足：

存在确定的 $δ > 0$ ，使得对任意符合 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 的 $x$ ，都有 $0 \leq f (x) \leq h (x)$ ；
$lim_{x \to x_{0}} h (x) = 0$ 。

　　则函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的极限存在且

\begin{matrix} (6) & lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0 . \end{matrix}

　　证明：

　　由函数极限定义，取某个 $ε > 0$ ，满足 $δ > δ_{1} > 0$ ， $0 < | x - x_{0} | < δ_{1} ⟹ | h (x) | < ε$ 。

　　由于 $0 \leq f (x) \leq h (x)$ ，所以对 $0 < | x - x_{0} | < δ_{1}$ ，有 $| f (x) | \leq | h (x) | < ε$ ，即 $| f (x) | < ε$ 。根据极限定义可知： $lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0$ 。

　　证明：

　　由存在确定的 $δ > 0$ ，使得对任意符合 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 的 $x$ ，都有 $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ ，变形可得 $0 \leq f (x) - g (x) \leq h (x) - g (x)$ 。目标是使用引理 1 来求取 $lim_{x \to x_{0}} (f (x) - g (x))$ ，因此，下面求 $lim_{x \to x_{0}} (h (x) - g (x))$ 。 $\begin{aligned} lim_{x \to x_{0}} (h (x) - g (x)) & \overset{1}{=} lim_{x \to x_{0}} h (x) - lim_{x \to x_{0}} g (x) \\ = a - a \\ = 0 . \end{aligned}$

　　因此，由引理 1 可知 $lim_{x \to x_{0}} (f (x) - g (x)) = 0$ 。现在已经求得了 $lim_{x \to x_{0}} (f (x) - g (x))$ ，又已知 $lim_{x \to x_{0}} g (x)$ ，剩下的就是： $\begin{aligned} lim_{x \to x_{0}} f (x) & = lim_{x \to x_{0}} [(f (x) - g (x)) + g (x)] \\ \overset{1}{=} lim_{x \to x_{0}} (f (x) - g (x)) + lim_{x \to x_{0}} g (x) \\ = 0 + a \\ = a . \end{aligned}$ 上面的推导过程中，所有等号 1 的地方都使用了极限运算法则的定理 1 。

　　证毕。

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夹逼定理

定理 1 数列极限的夹逼定理

定理 2 函数极限的夹逼定理

1. 小试牛刀——一个重要极限

例 1 证明：limx→0sin⁡(x)x=1

2. 夹逼定理的奇技淫巧

例 2 未完成：应用上述不等式的例题

例 3 limn→∞∑i=1nin2+n+i

例 4 设 a 是一个正整数，limn→∞1n+2n+⋯+ann

例 5 设 a 是一个正整数，limn→∞ann!

例 6 limn→∞∑i=1nnn2+iπ

例 7 limn→∞∑i=1n1n2+i

例 8 limn→∞13+23+⋯+n3n