夹逼定理

贡献者： 欄、停敘

　　 夹逼定理（Squeeze Theorem，或称夹挤定理）

　　 本文会先讨论一下一般使用夹逼定理时会遇到的问题。最后会针对两个情况下的夹逼定理给出证明。

1. 小试牛刀——一个重要极限

　　 之前在学习重要极限（参见例 1 ）时，只是形象地将这个概念给出，事实上，它可以由夹逼定理得到。

2. 夹逼定理的奇技淫巧

　　 在面对不太容易通过极限运算得到结果的极限时，尤其是涉及到复合、求和等场景或存在比较显然的不等关系时，记得使用夹逼定理，可以收获奇效。事实上，在使用夹逼定理时，其实是把复杂的对极限的运算转移到了构造不等式上来。而且，就像乱拳打死老师傅，由于不需要考虑中间的极限是否存在，也能够避免一些需要讨论存在性的场景，避免出错（说的就是你，洛必达法则）。

　　 当然，这里对于不等式的构造会有一定的要求，所以下面会提供一些常用的不等关系，一起服用，效果极佳。

• $\sin x < x < \tan x, \quad x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
• $\sin x \leq x, \quad x \in (0, +\infty)$
• $\arctan x \leq x \leq \arcsin x, \quad x \in [0, 1] $
• $x + 1\leq e^x$
• $\ln x\leq x - 1 , \quad x \in (0, +\infty)$
• $\frac{1}{1 + x} \leq \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \leq \frac{1}{x}, \quad x \in (0, +\infty)$
• $\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} \leq \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{2}}, \quad (x, y > 0)$

　　 另外，在处理求和的极限时，将与 n 相关的分子或分母进行放大或缩小，使其能够消去或易于计算，也是一个好方法。

3. 数列极限的夹逼定理证明

　　 先回顾一下定理 1 内容，下面给出证明：

　　 已知 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = m$，由极限定义可知，对于给定的 $\varepsilon > 0$，存在一个正整数 $N_1$，使得当 $n > N_1$ 时，$|a_n - m| < \varepsilon$。同理，存在一个正整数 $N_2$，使得当 $n > N_2$ 时，$|b_n - m| < \varepsilon$。取 $N_m = \max(N_1, N_2)$。当 $n > N_m$ 时，以上两不等式同时成立，即：

　　 又已知 $\exists N_0\in \mathbb{N}$，$\forall n>N_0$，$a_n\leq x_n\leq b_n$，因此，取 $N=\max(N_0, N_m)$，当 $n > N$ 时，三个不等式均成立，有：

　　 根据极限的定义，可知极限存在且为 $m$，即 $\lim_{n \to \infty} x_n = m$。

　　 证毕。

4. 函数极限的夹逼定理证明

　　 先回顾一下定理 2 的内容，下面会先证明一个引理，然后再给出证明。

　　 证明：

　　 由存在确定的 $\delta>0$，使得对任意符合 $0<|x-x_0|<\delta$ 的 $x$，都有 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$，变形可得 $0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)$。目标是使用引理 1 来求取 $\lim _{x\to x_0}(f(x)-g(x))$，因此，下面求 $\lim _{x\to x_0}(h(x)-g(x))$。 $$ \begin{align*} \lim _{x\to x_0}(h(x)-g(x))&\overset{\mathrm{1}}{=}\lim _{x\to x_0}h(x)-\lim _{x\to x_0}g(x)\\ &=a-a\\ &=0~. \end{align*} $$

　　 因此，由引理 1 可知 $\lim _{x\to x_0}(f(x)-g(x))=0$。现在已经求得了 $\lim _{x\to x_0}(f(x)-g(x))$，又已知 $\lim _{x\to x_0}g(x)$，剩下的就是： $$ \begin{align*} \lim _{x\to x_0}f(x) &= \lim _{x\to x_0}[(f(x)-g(x))+g(x)] \\ &\overset{\mathrm{1}}{=} \lim _{x\to x_0}(f(x)-g(x))+\lim _{x\to x_0}g(x)\\ &= 0+a\\ &=a~.\end{align*} $$ 上面的推导过程中，所有等号 1 的地方都使用了极限运算法则的定理 1 。

　　 证毕。