贡献者： JierPeter; addis
真因子树的概念，是笔者优化了 “因子链” 的概念而得出的一套描述因式分解理论的框架。
1. 概念的描述
定义 1 真因子
给定整环 $R$，对于 $r, s\in R$，如果 $s|r$ 且 $r\not{|}s$，那么称 $r$ 是 $s$ 的真因子。
定义 2 单位
给定整环 $R$，对于 $u\in R$，如果 $u^{-1}$ 是存在的，那么称 $u$ 是 $R$ 的一个单位（unit）。$R$ 中全体单位的集合，记为 $U$。
显然，如果有单位 $u$ 使得 $r=us$，那么 $r$ 和 $s$ 互相不是真因子。我们将这样的 $r, s$ 视为等价的：
定义 3
给定整环 $R$，定义集合 $R$ 上的一个等价关系：对于 $r, s\in R$，$r$ 等价于 $s$ 当且仅当存在单位 $u$ 使得 $r=su$。等价的元素视为同一个元素，或者说把每个等价类看成一个元素，得到的集合是 $R$ 模去该等价关系的商集1，记为 $R_u$。
举例来说，在整数环$\mathbb{Z}$ 上，对于任意正整数 $n$，我们把它等价于 $-n$。
有了 $R_u$ 的概念，就可以定义本节核心的概念了：真因子树。
定义 4 真因子树
给定整环 $R$，对于 $r\in R$，如果存在非单位的 $a, b\in R$ 使得 $ab=r$，那么可以从 $r$ 画两个箭头分别指向 $a$ 和 $b$，而 $\{a, b\}$ 就是 $r$ 的一个因子分解；同样，如果 $a$ 和 $b$ 可以继续分解为其它非单位元素之积，那么也可以继续画出箭头指向它们对应的因子分解。如是反复，直到不能继续进行下去为止，所获得的整个结构称为 $r$ 的一棵真因子树。
每个从 $r$ 开始，出发一路指向末端的路径，称为 $r$ 的一个枝条，枝条中涉及到的箭头数量，称为枝条的长度。一棵真因子树中最长的枝条的长度，称为这棵树的高度。特别地，如果 $r$ 无法进行分解，也就是说它的树只包含 $r$ 本身，那么定义这棵树的高度为 $0$。
一棵树中从元素 $a$ 到元素 $b$ 的路径，其长度定义为这条路径上包含的箭头数量。
$r$ 的真因子树一般不止一棵。
2. 用真因子树进行描述
以下讨论限制在整环 $R$ 的集合上。利用真因子树的语言来直接翻译各种概念的方式如下：
定义 5
- 不可约元素：在某一棵树中为末端。
- 素元素：$p$ 是素元素，当且仅当对于任意 $a, b\in R$，如果 $p$ 在 $ab$ 的某棵真因子树上，那么 $p$ 必在 $a$ 或 $b$ 的某棵真因子树上。
- 有限析因性：对于任意 $r$，存在一个正整数 $N_r$，使得 $r$ 的任意枝条长度不超过 $N_r$。
- 唯一析因性：有限析因，且对于任意 $r$，其任何两棵树的末端元素构成的集合都是一样的。
定理 1 有限析因时素元素的等价定义
设 $p$ 是整环 $R$ 中的一个元素，且 $R$ 具有有限析因性。则 $p$ 是素元素，当且仅当对于任意 $a$，如果 $p|a$，那么 $p$ 必在 $a$ 的每一棵树上。
证明：
充分性：
如果 $p$ 满足，只要 $p\mid a$ 则 $p$ 在 $a$ 的每一棵真因子树上，那么当 $p\mid ab$ 时，取 $ab$ 的真因子树，使得第一次分解为 $a, b$，那么 $p$ 必在这棵树上，也就必在 $a$ 或 $b$ 之后的枝条上，从而整除 $a$ 或 $b$。
必要性：
任取 $x\in R$ 以及 $x$ 的任何一棵真因子树，使得 $p\mid x$。设这棵真因子树的第一次分解为 $x=ab$，那么按照素元素的定义必有 $x\mid a$ 或者 $x\mid b$，不妨设 $x\mid a$。考虑 $a$ 的分解 $a=cd$，则按照素元素的定义，不妨设 $p\mid c$。以此类推，$p$ 整除该真因子树某棵枝条上的所有元素。
由有限析因性，该枝条必有终点，而终点是不可约元素，从而终点必是 $p$（或更准确地，$p$ 所在的相伴等价类）。
证毕。
定理 2 素元素必是不可约元素
整环 $R$ 中的素元素都是不可约元素。
证明：
反设素元素 $p\in R$ 不是末端，那么就可以得到 $p$ 的长度不为零的一棵树，其第一级分解为 $p=ab$；而由于素元素的定义，它又必须在以 $a$ 和 $b$ 为起点的某棵树上，从而在自己的后面，而这是不可能的。因此反设不成立，素元素必是末端。
证毕。
今后我们也会引用真因子树的概念来方便阐释因式分解相关的问题。
1. ^ 见二元关系。
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