真因子树
贡献者： JierPeter; addis
真因子树的概念，是笔者优化了 “因子链” 的概念而得出的一套描述因式分解理论的框架。
1. 概念的描述
定义 1 真因子
给定整环 ，对于 ，如果 且 ，那么称 是 的真因子。
定义 2 单位
给定整环 ，对于 ，如果 是存在的，那么称 是 的一个单位（unit）。 中全体单位的集合，记为 。
显然，如果有单位 使得 ，那么 和 互相不是真因子。我们将这样的 视为等价的：
定义 3
给定整环 ，定义集合 上的一个等价关系：对于 ， 等价于 当且仅当存在单位 使得 。等价的元素视为同一个元素，或者说把每个等价类看成一个元素，得到的集合是 模去该等价关系的商集1，记为 。
举例来说，在整数环 上，对于任意正整数 ，我们把它等价于 。
有了 的概念，就可以定义本节核心的概念了：真因子树。
定义 4 真因子树
给定整环 ，对于 ，如果存在非单位的 使得 ，那么可以从 画两个箭头分别指向 和 ，而 就是 的一个因子分解；同样，如果 和 可以继续分解为其它非单位元素之积，那么也可以继续画出箭头指向它们对应的因子分解。如是反复，直到不能继续进行下去为止，所获得的整个结构称为 的一棵真因子树。
每个从 开始，出发一路指向末端的路径，称为 的一个枝条，枝条中涉及到的箭头数量，称为枝条的长度。一棵真因子树中最长的枝条的长度，称为这棵树的高度。特别地，如果 无法进行分解，也就是说它的树只包含 本身，那么定义这棵树的高度为 。
一棵树中从元素 到元素 的路径，其长度定义为这条路径上包含的箭头数量。
的真因子树一般不止一棵。
2. 用真因子树进行描述
以下讨论限制在整环 的集合上。利用真因子树的语言来直接翻译各种概念的方式如下：
定义 5
- 不可约元素：在某一棵树中为末端。
- 素元素： 是素元素，当且仅当对于任意 ，如果 在 的某棵真因子树上，那么 必在 或 的某棵真因子树上。
- 有限析因性：对于任意 ，存在一个正整数 ，使得 的任意枝条长度不超过 。
- 唯一析因性：有限析因，且对于任意 ，其任何两棵树的末端元素构成的集合都是一样的。
定理 1 有限析因时素元素的等价定义
设 是整环 中的一个元素，且 具有有限析因性。则 是素元素，当且仅当对于任意 ，如果 ，那么 必在 的每一棵树上。
证明：
充分性：
如果 满足，只要 则 在 的每一棵真因子树上，那么当 时，取 的真因子树，使得第一次分解为 ，那么 必在这棵树上，也就必在 或 之后的枝条上，从而整除 或 。
必要性：
任取 以及 的任何一棵真因子树，使得 。设这棵真因子树的第一次分解为 ，那么按照素元素的定义必有 或者 ，不妨设 。考虑 的分解 ，则按照素元素的定义，不妨设 。以此类推， 整除该真因子树某棵枝条上的所有元素。
由有限析因性，该枝条必有终点，而终点是不可约元素，从而终点必是 （或更准确地， 所在的相伴等价类）。
证毕。
定理 2 素元素必是不可约元素
整环 中的素元素都是不可约元素。
证明：
反设素元素 不是末端，那么就可以得到 的长度不为零的一棵树，其第一级分解为 ；而由于素元素的定义，它又必须在以 和 为起点的某棵树上，从而在自己的后面，而这是不可能的。因此反设不成立，素元素必是末端。
证毕。
今后我们也会引用真因子树的概念来方便阐释因式分解相关的问题。
1. ^ 见二元关系。
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