真因子树

             

预备知识 整环

   真因子树的概念,是笔者优化了 “因子链” 的概念而得出的一套描述因式分解理论的框架.

1. 概念的描述

定义 1 真因子

   给定整环 $R$,对于 $r, s\in R$,如果 $s|r$ 且 $r\not{|}s$,那么称 $r$ 是 $s$ 的真因子.

定义 2 单位

   给定整环 $R$,对于 $u\in R$,如果 $u^{-1}$ 是存在的,那么称 $u$ 是 $R$ 的一个单位(unit).$R$ 中全体单位的集合,记为 $U$.

   显然,如果有单位 $u$ 使得 $r=us$,那么 $r$ 和 $s$ 互相不是真因子.我们将这样的 $r, s$ 视为等价的:

定义 3 

   给定整环 $R$,定义集合 $R$ 上的一个等价关系:对于 $r, s\in R$,$r$ 等价于 $s$ 当且仅当存在单位 $u$ 使得 $r=su$.等价的元素视为同一个元素,或者说把每个等价类看成一个元素,得到的集合是 $R$ 模去该等价关系的商集1,记为 $R_u$.

   举例来说,在整数环$\mathbb{Z}$ 上,对于任意正整数 $n$,我们把它等价于 $-n$,于是 $\mathbb{Z}_u$ 也可以看成是非负整数的集合.

   有了 $R_u$ 的概念,就可以定义本节核心的概念了:真因子树.

定义 4 真因子树

   给定整环 $R$,对于 $r\in R$,如果存在非单位的 $a, b\in R$ 使得 $ab=r$,那么可以从 $r$ 画两个箭头分别指向 $a$ 和 $b$,而 $\{a, b\}$ 就是 $r$ 的一个因子分解;同样,如果 $a$ 和 $b$ 可以继续分解为其它非单位元素之积,那么也可以继续画出箭头指向它们对应的因子分解.如是反复,直到不能继续进行下去为止,所获得的整个结构称为 $r$ 的一棵真因子树

   每个从 $r$ 的第一次分解所得元素开始,出发一路指向末端的路径,称为 $r$ 的一个枝条,枝条中涉及到的元素数量,称为枝条的长度.一棵真因子树中最长的枝条的元素数量,称为这棵树的长度.特别地,如果 $r$ 无法进行分解,也就是说它的树只包含 $r$ 本身,那么定义这棵树的长度为 $0$.

   一棵树中从元素 $a$ 到元素 $b$ 的路径,其长度定义为这条路径上包含的元素数量减一

   $r$ 的真因子树一般不止一棵.

2. 用真因子树进行描述

   以下讨论限制在整环 $R$ 的集合上.利用真因子树的语言来直接翻译各种概念的方式如下:

定义 5 

  

  • 不可约元素:在某一棵树中为末端.
  • 素元素:$p$ 是素元素,当且仅当对于任意 $a, b\in R$,如果 $p$ 在 $ab$ 的某个枝条上,那么 $p$ 必在 $a$ 或 $b$ 的某个枝条上.
  • 有限析因性:对于任意 $r$,存在一个正整数 $N_r$,使得 $r$ 的任意枝条长度不超过 $N_r$.
  • 唯一析因性:有限析因,且对于任意 $r$,其任何两棵树的末端元素构成的集合都是一样的.

   应用素元素的定义,不难证明该定理.

定理 1 素元素必是不可约元素

   整环 $R$ 中的素元素都是不可约元素.

   证明

   反设素元素 $p\in R$ 不是末端,那么就可以得到 $p$ 的长度不为零的一棵树,其第一级分解为 $p=ab$;而由于素元素的定义,它又必须在以 $a$ 和 $b$ 为起点的两根枝条中某一根的后面,从而在自己的后面,而这是不可能的.因此反设不成立,素元素必是末端.

   证毕

   今后我们也会引用真因子树的概念来方便阐释因式分解相关的问题.


1. ^二元关系

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