多项式环

贡献者： JierPeter

预备知识　一元多项式，欧几里得环

1. 多项式环

　　¹我们知道，函数是一种映射，特指 “值域是数字集合” 的映射。这里的 “数字集合”，通常指任何一个环，换句话说，只要是个环，其元素都可以被视为 “数字”。我们熟悉的整数环、有理数域²、实数域、复数域等都是很好的例子。

　　多项式就是一种极为重要的函数。在微积分中，性质良好的函数（解析函数）都可以被表示为一列多项式函数的极限，或者说总可以用一个多项式函数来逼近它。而多项式的性质较为简单，求导也很容易。我们现在讨论的是代数，所以就不关心可以怎么用求导啊积分啊等手段去处理多项式函数，而是关心这个概念可以怎么在代数上拓展。

　　先来观察一下我们熟知的多项式吧。作为实变量函数，一个多项式 $f (x)$ 可以表示为：

\begin{matrix} (1) & f (x) = \sum_{i = 0}^{N} a_{i} x^{i}, \end{matrix}

其中各

a_{i}

都是实数，而

x^{i}

是用来抽象表示 “任意自变量” 的。我们可以给

x

赋值，比如取一个实数

c

，然后令

x = c

，这样就能得到一个实数

f (c) = \sum_{i = 0}^{N} a_{i} c^{i}

。但要是不赋值，那

f (x)

就不是一个具体的数，而是一个映射；

x

只是一个抽象符号。

　　两个多项式之间根本的不同，体现在哪里呢？是抽象符号吗？显然不是。 $x^{2} + 1$ 和 $y^{2} + 1$ 完全可以视为同一个多项式，用的符号³不同而已。决定两个多项式差异的，是多项式的系数，对吧？ $x^{2} + 1$ 和 $x^{2} + 3$ 就不是同一个多项式。很明显，我们应该拓展的是系数的概念。

定义 1　

　　设 $R$ 是一个环， $x$ 是一个抽象符号。则形如

\begin{matrix} (2) & f (x) = \sum_{i = 0}^{N} a_{i} x^{i} \end{matrix}

的表达式称为环

R

上的（一元）多项式（polynomial），其中各

a_{i} \in R

，称为该多项式的系数（coefficient）。

a_{i} x^{i}

称为

f (x)

的

i

次项（item），或者一个单项式，

i

称为其次数（degree）。

　　全体以 $x$ 为抽象符号的一元多项式构成的集合，记为 $R [x]$ ⁴。 $R$ 称为 $R [x]$ 的系数环；如果 $R$ 是个域，也称之为系数域。

　　类似地，设各 $x_{k}$ 都是抽象符号，那么形如

\begin{matrix} (3) & f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}) = \sum_{k_{1} + k_{2} + \dots k_{m} = 0}^{N} a_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{m}^{k_{m}} \end{matrix}

的表达式称为环

R

上的 $m$ 元多项式（polynomial），其中各

a_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}} \in R

，称为其系数。每个

a_{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{m}^{k_{m}}

是该多项式的一个

k_{1} + k_{2} + \dots k_{m}

次项。

　　多项式中最高次的单项式的次数，称为该多项式的次数（degree）。特别的例外是， $\deg 0 = - \infty$ 。多项式 $f (x)$ 的次数记为 $\deg f (x)$ 。在不至于混淆的情况下，也可以简单地用 $f$ 来表示多项式 $f (x)$ 或 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m})$ 。

定义 2　

　　设 $f (x) \in R [x]$ ， $g (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}) \in R [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}]$ 。

　　如果 $r \in R$ 满足 $f (r) = 0$ ，则称 $r$ 是 $f$ 的一个根（root）。如果数组 ${r_{1}, r_{2}, \dots, r_{m}}$ 满足 $g (r_{1}, r_{2}, \dots, r_{m})$ ，则称该数组是 $g$ 的一个根。

　　举几个例子。 $x^{2} y + x y + y^{3} + 2 y$ 是一个整数环上的二元三次多项式，其中 $x^{2} y$ 和 $y^{3}$ 是其 $3$ 次项。

　　我们常会用到 “多项式环” 这一术语，这是因为环上的全体多项式构成的集合 $R [x]$ ，还真就是一个环。

习题 1　

　　给定环 $R$ 和一个抽象符号 $x$ 。证明： $R [x]$ 构成一个环。

　　 $R [x]$ 上加法和乘法的定义⁵：同类单项式（即仅系数不同的单项式）之间的加法定义为以其系数相加的结果为系数的同类单项式，乘法类似地定义为系数的乘法；多项式乘法由单项式加法、乘法以及乘法对加法的分配律定义。

　　类似地，也可以证明多元多项式的集合构成一个环。

　　显然， $R$ 可以看成是全体零阶多项式构成的集合：

习题 2　

　　给定环 $R$ ，则 $R$ 是 $R [x]$ 的子环。

　　上面说了那么多，我一直在强调 $x$ 是 “抽象符号”。作为实变量函数的多项式，可以把抽象符号替换为实数来赋值，一般的环上当然也可以这么做。设 $f$ 是环 $R$ 上的一元多项式，那任取一个 $r \in R$ ，依然有 $f (r) \in R$ 。

2. 域上的多项式除法

　　⁶设 $f (x)$ 是一个多项式，那么使得 $f (r) = 0$ 的 $r$ 就被称为这个多项式的根（root）。根的性质决定了多项式的性质。为了理解这一点，我们要先讨论一下多项式之间的除法。不过要注意的是，我们这里要讨论的是域上的多项式除法，也就是系数选自域中，而不只是一个环中。尽管如此，多项式构成的集合依然只是一个环。

　　由于环没有要求乘法逆元存在性，故除法并不总是可行的。比如 $5 / 2$ 的结果就不在整数环中，尽管 $5$ 和 $2$ 都是整数。但是也正因为这样，环上诞生了独特的 “带余除法”，对，就是小学学过的 $5 / 2 = 2 \dots 1$ 。但是 $a / b = c \dots r$ 的表述方法挺累赘的，不如写成 $a = b c + r$ 好了， $a$ 是被除数， $b$ 是除数， $c$ 是商， $r$ 是余数。

　　尽管上述讨论中的 $a, b, c, r$ 都是整数，我们也可以把这个概念移植到一般的环上。在稍后我们会讨论的 “欧几里得环” 中，这种带余除法非常重要，但现在我们就着眼于多项式环即可。

　　考虑环 $R$ 上的多项式 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，则总存在 $h (x)$ 和 $r (x)$ ⁷，其中 $\deg r \leq \deg g$ ，使得 $f (x) = h (x) g (x) + r (x)$ 。这就是多项式之间的除法。如果遇到 $r (x) = 0$ 的情况，那么就说 $g$ 整除 $f$ ，记为 $g | f$ 。

　　域上多项式的根可以用来拆分这个多项式：

定理 1　

　　给定域 $F$ 上的一个多项式 $f (x)$ 。如果 $r \in R$ 是 $f$ 的一个根，那么 $(x - r) | f (x)$ 。

　　证明：

　　存在 $h (x), s (x) \in F [x]$ ，使得 $f (x) = h (x) \cdot (x - r) + s (x)$ ，且 $s (x)$ 的次数小于 $1$ 。这样一来， $s$ 实际上就是 $F$ 的一个元素。将 $r$ 代入 $x$ ，得到 $0 = f (r) = h (r) \cdot (r - r) + s$ ，因此 $s = 0$ 。故得证。

　　证毕。

　　如果环 $R$ 上的多项式 $f (x)$ 可以表示为两个多项式的乘积 $h (x) g (x)$ ，或者说它可以被另一个次数为正的多项式整除，那么我们就说这个多项式是可约（reducible）的，而 $h$ 和 $g$ 就被称为其因子；否则，称 $f$ 是不可约（irreducible）的。这样，我们只需要研究好其因子的性质，就能方便地推知 $f$ 本身的性质。又由于定理 1 ，多项式的性质归根到底由根来决定——如果根存在的话。

　　现在，我们引入一个实际计算多项式除法的方法，称为长除法，用表格表示。为方便理解，我们直接用一个具体实例来讲解：在整数环上，用 $2 x^{2} + 1$ 去除 $6 x^{5} + x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 2$ 。

　　第一步，是比较两个多项式的最高次项，即 $2 x^{2}$ 和 $6 x^{5}$ ，然后凑一个 $3 x^{3}$ ，比较 $(2 x^{2} + 1) \cdot (3 x^{3})$ 和 $6 x^{5} + x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 2$ 的差，得到 $x^{4} - x^{3} - x^{2} - 2$ 。整个过程表示如下：

表1：

	$3 x^{3}$
$2 x^{2} + 1$	$6 x^{5} + x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 2$
	$x^{4} - x^{3} - x^{2} - 2$

　　然后，再考虑剩下的 $x^{4} - x^{3} - x^{2} - 2$ 被 $2 x^{2} + 1$ 除：

表2：

	$3 x^{3} + 0.5 x^{2}$
$2 x^{2} + 1$	$6 x^{5} + x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 2$
	$x^{4} - x^{3} - x^{2} - 2$
	$- x^{3} - 1.5 x^{2} - 2$

　　以此类推，最终使被除多项式的次数小于 $2 x^{2} + 1$ 的次数：

表3：

	$3 x^{3} + 0.5 x^{2} - 0.5 x - 0.75$
$2 x^{2} + 1$	$6 x^{5} + x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 2$
	$x^{4} - x^{3} - x^{2} - 2$
	$- x^{3} - 1.5 x^{2} - 2$
	$- 1.5 x^{2} + 0.5 x - 2$
	$0.5 x - 1.25$

　　于是我们就得到了

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} 6 x^{5} + x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 2 \\ = & (3 x^{3} + 0.5 x^{2} - 0.5 x - 0.75) (2 x^{2} + 1) + (0.5 x - 1.25) . \end{aligned} \end{matrix}

　　我们所求的有效信息在表 3 的最上方和最下方，即 “商数” 和 “余数”，而第二行则是已知的信息。剩下的部分全都是中间计算过程，算完以后就不用再关心了。

　　从运算过程你也可以看出来，为什么我们之前要求讨论范围是 “域” 上的多项式。除法的概念是可以局限在 “环” 上的多项式来讨论的，也依然可以使用长除法来计算，但就没法用到 $0.5$ 这样的元素，也就无法保证余的次数比除数要小了。

3. 最小多项式

　　另见线性变换的极小多项式。

　　⁸我们之前讨论的多项式 $f (x)$ 中， $x$ 是一个抽象的符号，因此多项式是一种 “表达式”。如果给 $x$ 赋值为元素 $r$ ，那么 $f (r)$ 就也是一个 “域中的元素”。现在考虑一个情况：如果用不属于系数域的元素 $r$ 给多项式赋值呢？会得到什么？

　　这个问题并不难理解，但是抽象的讨论会很麻烦，我们不如从具体例子入手：

例 1　

　　考虑有理数域 $Q$ 上的多项式环 $Q [x]$ 。令 $Q [\sqrt{2}]$ 是给 $Q [x]$ 中所有多项式的自变量 $x$ 都赋值为 $\sqrt{2}$ 后所得结果的集合。容易证明， $Q [\sqrt{2}] = {a + b \sqrt{2} | a, b \in Q}$ 。

　　这个 $Q [\sqrt{2}]$ 显然是个环，但和 $Q [x]$ 不是同构的⁹。

　　我们不能说 $f (\sqrt{2})$ 都是抽象的 “表达式”，因为当 $f (x) = x^{2}$ 的时候， $f (\sqrt{2})$ 是一个 $Q$ 中的元素。当 $f (x) = x^{4}$ 的时候也一样。可是 $\sqrt{2}$ 本身不在域 $Q$ 中，在 $Q$ 看来就是一个 “不知道哪儿来的” 元素，好像和 “抽象符号” 一样嘛。

　　那么 $\sqrt{2}$ 和抽象符号 $x$ 到底有什么不同呢？抽象符号只是个符号，构成的是 “表达式”，但 $\sqrt{2}$ 有一个性质： $(\sqrt{2})^{2} = 2 \in Q$ 。这个性质就是其核心。

定义 3　

　　考虑域 $F$ 。设 $a$ 是一个元素，不一定在域 $F$ 中。如果多项式 $f (x) \in F [x]$ 能使得 $f (a) = 0$ ，则称 $f$ 是 $a$ 的一个零化多项式（null polynomial）。 $a$ 的所有零化多项式中，次数最低的那个，称为其最小多项式（minimal polynomial）。

　　根据定义，最小多项式必然是给定域上的不可约多项式。

　　 $\sqrt{2}$ 在 $Q$ 中的最小多项式就是 $x^{2} - 2$ ，在 $R$ 中的最小多项式则是 $x - \sqrt{2}$ 。容易发现，当 $a$ 在域 $F$ 中时，其最小多项式都是 $1$ 次的，即 $x - a$ 。

　　我们已知域 $Q$ ， $\sqrt{2}$ 不是其元素，那就把它描述为 “一个元素 $a$ ，其最小多项式为 $x^{2} - 2$ ”。这样，在仅仅已知 $Q$ 的情况下，最小多项式已经描述了 $\sqrt{2}$ 的所有代数性质。接下来的两个定理会更深入地讨论这一点。

定理 2　

　　设环 $R$ 上有一个多项式 $f (x)$ ，记 $⟨ f (x) ⟩ = {h (x) f (x) | h (x) \in R [x]}$ 。则 $⟨ f (x) ⟩$ 是 $R [x]$ 的一个主理想。

　　该定理证明不作赘述，因为这里 $⟨ f ⟩$ 的定义就是按照主理想的定义（某个元素的全体倍数）来的。

定理 3　

　　给定域 $F$ ，若元素 $a$ 在 $F$ 上最小多项式为 $f (x)$ ，则

\begin{matrix} (5) & F [a] = F [x] / ⟨ f (x) ⟩ . \end{matrix}

　　证明：

　　定义映射 $σ : F [x] \to F [a]$ 如下：对于任意 $p (x) \in F [x]$ ，有 $σ (p (x)) = p (a)$ 。易证 $σ$ 是一个环同态。

　　由最小多项式的定义， $σ (p (x)) = 0$ 当且仅当 $p (x)$ 是 $f (x)$ 乘以某一多项式，因此 $\ker σ = ⟨ f (x) ⟩$ 。

　　由环同态基本定理，定理得证。

　　证毕。

1. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》。
2. ^ 域是一类特殊的环。
3. ^ 除非我们已经声明 $x$ 和 $y$ 是不同的符号，比如讨论多元多项式的时候。
4. ^ 注意这里用的是中括号。未来我们会讨论到域的扩张，那里用的是小括号，要区分。
5. ^ 说白了，就是实系数多项式的加法和乘法的自然推广。我只是为了严谨，才啰嗦这么多。
6. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》。
7. ^ 如果怀疑这一点，可以看看接下来介绍的长除法。
8. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》。
9. ^ 要证明这一点，你只需要思考一件事：如果存在 $Q [\sqrt{2}]$ 到 $Q [x]$ 的环同构 $σ$ ，那么 $(σ (\sqrt{2}))^{2} = σ ((\sqrt{2})^{2}) = σ (2) = σ (1 + 1) = σ (1) + σ (1) = 1 + 1 = 2$ ，从而确定了这个同构就是把所有 $f (\sqrt{2})$ 映射为 $f (x)$ 。问题是，这样一来， $σ (2) = σ ((\sqrt{2})^{2}) x^{2}$ 和 $σ (2) = σ ((\sqrt{2})^{4} - 2) x^{4} - 2$ ，哪个才是真正的 $σ (2)$ 呢？

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