泡利矩阵
贡献者： _Eden_
定义 1 泡利矩阵
泡利矩阵为 $2\times 2$ 幺正厄米矩阵：
\begin{equation}
\sigma^1 = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad
\sigma^2 = \begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0
\end{pmatrix},\quad
\sigma^3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
~.
\end{equation}
有时也定义零号泡利矩阵为单位矩阵：
\begin{equation}
\sigma^0 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
1. 泡利矩阵的性质
泡利矩阵是 $2\times 2$ 幺正厄米矩阵，它们有以下的性质
\begin{equation}
\sigma^i\cdot \sigma^i = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad \sigma^i = {\sigma^i}^\dagger~.
\end{equation}
即每个泡利矩阵的平方都是单位矩阵，由由于它是厄米矩阵，所以泡利矩阵也是幺正矩阵。
泡利矩阵有以下性质：
定理 1
\begin{equation}
\sigma^i\sigma^j = \delta^{ij} + \epsilon^{ijk}\sigma^k~.
\end{equation}
由这条性质可以推出
引理 1
\begin{equation}
[\sigma^i,\sigma^j] = 2\epsilon^{ijk}\sigma^k,\quad \{\sigma^i,\sigma^j\}=2\delta^{ij}~.
\end{equation}
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