贡献者： 叶月2_; _Eden_; certain_pineapple; int256
定义 1 泡利矩阵
泡利矩阵 $\hat{\sigma}_i$ 为 $2\times 2$ 幺正厄米矩阵，与自旋矩阵的关系为：
\begin{equation}
S_i=\frac{\hbar}{2}\hat{\sigma}_i~.
\end{equation}
在 $\hat{\sigma}_z$ 表象下，泡利矩阵的一般形式为：
\begin{equation}
\hat{\sigma}_1 = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad
\hat{\sigma}_2 = \begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0
\end{pmatrix},\quad
\hat{\sigma}_3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
~.
\end{equation}
有时也定义零号泡利矩阵为单位矩阵：
\begin{equation}
\hat{\sigma}_0 = I= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
根据定义，我们可以直接得到泡利矩阵的对易关系：
\begin{equation}
[\hat{\sigma}_i,\hat{\sigma}_j]=2\mathrm {i}\epsilon ^{\,\,\, k}_{ij}\hat{\sigma}_k,\quad\{\hat{\sigma}_i,\hat{\sigma}_j\}=2\delta_{ij}I~,
\end{equation}
其中 $i,j,k\in\{1,2,3\}$。$\delta_{ij}$ 是克罗内克函数，$\epsilon ^{\,\,\, k}_{ij}$ 是列维-奇维塔符号（Levi-Civita symbol）,由对易运算的反对称性可知，这是一个关于下标的反对称张量。
1. 泡利矩阵的其他性质
由泡利矩阵的一般形式得：
\begin{equation}
\hat{\sigma}_i\cdot \hat{\sigma}_i = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}~,
\end{equation}
即每个泡利矩阵的平方都是单位矩阵，则 $\hat{\sigma}_i \cdot \hat{\sigma}_i{}^\dagger = I$，所以泡利矩阵也是幺正矩阵。
习题 1
证明在别的角动量分量表象下，我们依然有：$\hat{\sigma}_i^2=I$
由泡利矩阵的对易关系可得：
定理 1
\begin{equation}
\hat{\sigma}_i\hat{\sigma}_j = \delta_{ij}I + \mathrm{i}\epsilon ^{\,\,\, k}_{ij}\hat{\sigma}_k~.
\end{equation}
Proof.
$i=j$ 时，显然成立。
$i\neq j$ 时，利用 $\epsilon ^{\,\,\, k}_{ij}=-\epsilon ^{\,\,\, k}_{ji}$ 及对易关系得证。
习题 2
证明：
$\mathrm{tr}[\hat{\sigma}_i \hat{\sigma}_j]= 2\delta_{ij}$。
每个泡利矩阵都有 $\pm 1$ 两个本征矢量，归一化后为：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\phi_{x+} &= \frac{\sqrt 2}{2} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} , &\phi_{x-} &= \frac{\sqrt 2}{2} \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} ~;\\
\phi_{y+} &= \frac{\sqrt 2}{2} \begin{pmatrix}1 \\ i\end{pmatrix} , &\phi_{y-} &= \frac{\sqrt 2}{2} \begin{pmatrix}1 \\ -i\end{pmatrix} ~;\\
\phi_{z+} &= \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} , &\phi_{z-} &= \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
2. 泡利矩阵与四元数
特殊酉群 $SU(2)$ 可以看作实数域上的四维线性空间，可以验证泡利矩阵为该线性空间的一组基——通过泡利矩阵的任意线性组合，我们可以得到该线性空间的任意元素，也即 $SU(2)$ 上的任意元素。四元数与 $SU(2)$ 是同构的，一般同构方式为以下两种：
\begin{equation}
\begin{aligned}
1\rightarrow I,\, \boldsymbol{\mathbf{\mathrm i}} \rightarrow \mathrm i \hat{\sigma}_3,\, \boldsymbol{\mathbf{j}} \rightarrow \mathrm i\hat{\sigma}_2,\, \boldsymbol{\mathbf{k}} \rightarrow \mathrm i\hat{\sigma}_1.\\
1\rightarrow I,\, \boldsymbol{\mathbf{\mathrm i}} \rightarrow -\mathrm i\hat{\sigma}_1,\, \boldsymbol{\mathbf{j}} \rightarrow -\mathrm i\hat{\sigma}_2,\, \boldsymbol{\mathbf{k}} \rightarrow -\mathrm i\hat{\sigma}_3~.
\end{aligned}
\end{equation}
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