泡利矩阵

                     

贡献者: 叶月2_; _Eden_; int256

预备知识 幺正变换,爱因斯坦求和约定

定义 1 泡利矩阵

   泡利矩阵 $\hat{\sigma}_i$ 为 $2\times 2$ 幺正厄米矩阵,与自旋矩阵的关系为:

\begin{equation} S_i=\frac{\hbar}{2}\hat{\sigma}_i~. \end{equation}

   在 $\hat{\sigma}_z$ 表象下,泡利矩阵的一般形式为:

\begin{equation} \hat{\sigma}_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad \hat{\sigma}_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix},\quad \hat{\sigma}_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} ~. \end{equation}
有时也定义零号泡利矩阵为单位矩阵:
\begin{equation} \hat{\sigma}_0 = I= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} ~. \end{equation}

   根据定义,我们可以直接得到泡利矩阵的对易关系:

\begin{equation} [\hat{\sigma}_i,\hat{\sigma}_j]=2\mathrm {i}\epsilon ^{\,\,\, k}_{ij}\hat{\sigma}_k,\quad\{\hat{\sigma}_i,\hat{\sigma}_j\}=2\delta_{ij}I~, \end{equation}
其中 $i,j,k\in\{1,2,3\}$。$\delta_{ij}$ 是克罗内克函数,$\epsilon ^{\,\,\, k}_{ij}$ 是列维-奇维塔符号(Levi-Civita symbol),由对易运算的反对称性可知,这是一个关于下标的反对称张量。

1. 泡利矩阵的其他性质

   由泡利矩阵的一般形式得:

\begin{equation} \hat{\sigma}_i\cdot \hat{\sigma}_i = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}~, \end{equation}
即每个泡利矩阵的平方都是单位矩阵,则 $\hat{\sigma}_i \cdot \hat{\sigma}_i{}^\dagger = I$,所以泡利矩阵也是幺正矩阵。

习题 1 

   证明在别的角动量分量表象下,我们依然有:$\hat{\sigma}_i^2=I$

   由泡利矩阵的对易关系可得:

定理 1 

\begin{equation} \hat{\sigma}_i\hat{\sigma}_j = \delta_{ij}I + \epsilon ^{\,\,\, k}_{ij}\hat{\sigma}_k~. \end{equation}

   Proof.

   $i=j$ 时,显然成立。 $i\neq j$ 时,利用 $\epsilon ^{\,\,\, k}_{ij}=-\epsilon ^{\,\,\, k}_{ji}$ 及对易关系得证。

习题 2 

   证明: $\mathrm{tr}[\hat{\sigma}_i \hat{\sigma}_j]= 2\delta_{ij}$。

   每个泡利矩阵都有 $\pm 1$ 两个本征矢量,归一化后为:

\begin{equation} \begin{aligned} \phi_{x+} &= \frac{\sqrt 2}{2} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} , &\phi_{x-} &= \frac{\sqrt 2}{2} \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} ~;\\ \phi_{y+} &= \frac{\sqrt 2}{2} \begin{pmatrix}1 \\ i\end{pmatrix} , &\phi_{y-} &= \frac{\sqrt 2}{2} \begin{pmatrix}1 \\ -i\end{pmatrix} ~;\\ \phi_{z+} &= \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} , &\phi_{z-} &= \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} ~. \end{aligned} \end{equation}

2. 泡利矩阵与四元数

   特殊酉群 $SU(2)$ 可以看作实数域上的四维线性空间,可以验证泡利矩阵为该线性空间的一组基——通过泡利矩阵的任意线性组合,我们可以得到该线性空间的任意元素,也即 $SU(2)$ 上的任意元素。四元数与 $SU(2)$ 是同构的,一般同构方式为以下两种:

\begin{equation} \begin{aligned} 1\rightarrow I,\, \boldsymbol{\mathbf{\mathrm i}} \rightarrow \mathrm i \hat{\sigma}_3,\, \boldsymbol{\mathbf{j}} \rightarrow \mathrm i\hat{\sigma}_2,\, \boldsymbol{\mathbf{k}} \rightarrow \mathrm i\hat{\sigma}_1.\\ 1\rightarrow I,\, \boldsymbol{\mathbf{\mathrm i}} \rightarrow -\mathrm i\hat{\sigma}_1,\, \boldsymbol{\mathbf{j}} \rightarrow -\mathrm i\hat{\sigma}_2,\, \boldsymbol{\mathbf{k}} \rightarrow -\mathrm i\hat{\sigma}_3~. \end{aligned} \end{equation}

习题 3 

   验证泡利矩阵保四元数乘法。


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