自旋角动量矩阵
贡献者: addis; 叶月2_
我们已知 自旋的矩阵可以用 乘以泡利矩阵得到。以下我们试图计算任意 自旋粒子的三个自旋分量算符 , 和 对应的矩阵。这些矩阵一般使用 的本征态 作为基底(另外两组基底同理可得)。注意当 为整数时,本文的结论同样适用于轨道角动量(把算符 和量子数 分别替换为 和 即可)。
基本思路是先求出升降算符 的矩阵。再把它们分别相加和相减得到 和 的矩阵。 算符在其本征态基底下是本征值组成的对角矩阵。
已知归一化系数为
所以
可见 只有下方的子对角线不为零, 只有上方的子对角线不为零。
最后得三个矩阵为
可以验证当 时,我们就得到了在 表象下的自旋角动量分量矩阵。如下所示:
自旋算符的 “态矢表示法”
为了计算方便,有时候我们也会用 “态矢” 组合来表示自旋分量矩阵。设
显然这是 的两个本征向量。则二阶矩阵的基可以表示为
利用基向量表示自旋分量矩阵如下,
相应的,我们也可以用态矢表示 的特征向量。由
式 6 可知在归一化后, 的特征向量为分别为:
致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者
热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。