自旋角动量矩阵

             

预备知识 自旋,简谐振子升降算符归一化

   我们已知 $1/2$ 自旋的矩阵可以用 $\hbar/2$ 乘以泡利矩阵得到.以下我们试图计算任意 $n/2$ 自旋粒子的三个自旋分量算符 $S_x$,$S_y$ 和 $S_z$ 对应的矩阵.这些矩阵一般使用 $S_z$ 的本征态 $ \left\lvert s, m \right\rangle $ 作为基底(另外两组基底同理可得).注意当 $s$ 为整数时,本文的结论同样适用于轨道角动量(把算符 $S$ 和量子数 $s$ 分别替换为 $L$ 和 $l$ 即可).

   基本思路是先求出升降算符 $S_\pm = S_x \pm \mathrm{i} S_y$ 的矩阵.再把它们分别相加和相减得到 $S_x$ 和 $S_y$ 的矩阵.$S_z$ 算符在其本征态基底下是本征值组成的对角矩阵.

   已知归一化系数为

\begin{equation} S_\pm \left\lvert s,m \right\rangle = \hbar \sqrt{s(s + 1) - m(m \pm 1)} \left\lvert s,m\pm1 \right\rangle \end{equation}
所以
\begin{equation} \left\langle s,m \middle| S_\pm \middle| s,m' \right\rangle = \delta_{m, m'\pm1} \hbar \sqrt{s(s + 1) - mm'} \end{equation}
可见 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} _+$ 只有下方的子对角线不为零,$ \boldsymbol{\mathbf{S}} _-$ 只有上方的子对角线不为零.

   最后得三个矩阵为

\begin{equation} \left\langle s,m \middle| S_x \middle| s,m' \right\rangle = \frac12(\delta_{m, m'+1} + \delta_{m, m'-1})\hbar \sqrt{s(s + 1) - mm'} \end{equation}
\begin{equation} \left\langle s,m \middle| S_y \middle| s,m' \right\rangle = \frac{1}{2 \mathrm{i} }(\delta_{m, m'+1} - \delta_{m, m'-1}) \hbar \sqrt{s(s + 1) - mm'} \end{equation}
\begin{equation} \left\langle s,m \middle| S_z \middle| s,m' \right\rangle = \delta_{m,m'} m\hbar \end{equation}
可以验证当 $s = 1/2, m = \pm1/2$ 时,我们就得到了三个泡利矩阵.

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