贡献者： addis; 叶月2_
我们已知 $1/2$ 自旋的矩阵可以用 $\hbar/2$ 乘以泡利矩阵得到。以下我们试图计算任意 $n/2$ 自旋粒子的三个自旋分量算符 $\hat S_x$，$\hat S_y$ 和 $\hat S_z$ 对应的矩阵。这些矩阵一般使用 $\hat S_z$ 的本征态 $ \left\lvert s, m \right\rangle $ 作为基底（另外两组基底同理可得）。注意当 $s$ 为整数时，本文的结论同样适用于轨道角动量（把算符 $S$ 和量子数 $s$ 分别替换为 $L$ 和 $l$ 即可）。
基本思路是先求出升降算符 $\hat S_\pm = \hat S_x \pm \mathrm{i} \hat S_y$ 的矩阵。再把它们分别相加和相减得到 $\hat S_x$ 和 $\hat S_y$ 的矩阵。$\hat S_z$ 算符在其本征态基底下是本征值组成的对角矩阵。
已知归一化系数为
\begin{equation}
\hat S_\pm \left\lvert s,m \right\rangle = \hbar \sqrt{s(s + 1) - m(m \pm 1)} \left\lvert s,m\pm1 \right\rangle ~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\left\langle s,m \middle| \hat S_\pm \middle| s,m' \right\rangle = \delta_{m, m'\pm1} \hbar \sqrt{s(s + 1) - mm'}~.
\end{equation}
可见 $\hat S_+$ 只有下方的子对角线不为零，$\hat S_-$ 只有上方的子对角线不为零。
最后得三个矩阵为
\begin{equation}
\left\langle s,m \middle| \hat S_x \middle| s,m' \right\rangle = \frac12(\delta_{m, m'+1} + \delta_{m, m'-1})\hbar \sqrt{s(s + 1) - mm'} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle s,m \middle| \hat S_y \middle| s,m' \right\rangle = \frac{1}{2 \mathrm{i} }(\delta_{m, m'+1} - \delta_{m, m'-1}) \hbar \sqrt{s(s + 1) - mm'}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle s,m \middle| \hat S_z \middle| s,m' \right\rangle = \delta_{m,m'} m\hbar ~.
\end{equation}
可以验证当 $s = 1/2, m = \pm1/2$ 时，我们就得到了在 $\hat S_z$ 表象下的自旋角动量分量矩阵。如下所示：
\begin{equation}
\hat S_x=\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\quad\hat S_y=\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}0&- \mathrm{i} \\ \mathrm{i} &0\end{pmatrix} ,\quad\hat S_z=\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
自旋算符的 “态矢表示法”
为了计算方便，有时候我们也会用 “态矢” 组合来表示自旋分量矩阵。设
\begin{equation}
\left\lvert + \right\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} , \left\lvert - \right\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
显然这是 $\hat \sigma_z$ 的两个本征向量。则二阶矩阵的基可以表示为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lvert + \right\rangle \left\langle - \right\rvert &= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} , \left\lvert - \right\rangle \left\langle + \right\rvert = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \\
\left\lvert + \right\rangle \left\langle + \right\rvert &= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} , \left\lvert - \right\rangle \left\langle - \right\rvert = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
利用基向量表示自旋分量矩阵如下，
\begin{equation}
\hat S_{x}=\frac{\hbar}{2}(|+\rangle\langle-|+|-\rangle\langle+|), \quad \hat S_{y}=\frac{i \hbar}{2}(-|+\rangle\langle-|+|-\rangle\langle+|), \quad
\hat S_{z}=\frac{\hbar}{2}(|+\rangle\langle+|-|-\rangle\langle-|)~.
\end{equation}
相应的，我们也可以用态矢表示 $\hat S_x,\hat S_y$ 的特征向量。由
式 6 可知在归一化后，$\hat S_x,\hat S_y$ 的特征向量为分别为：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lvert \hat S_x;\pm \right\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}}( \left\lvert + \right\rangle \pm \left\lvert - \right\rangle ),\\
\left\lvert S_y;\pm \right\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\ \pm \mathrm{i} \end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt 2}( \left\lvert + \right\rangle \pm \mathrm{i} \left\lvert - \right\rangle )~.
\end{aligned}
\end{equation}
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