自旋角动量矩阵

                     

贡献者: addis; 叶月2_

预备知识 自旋,简谐振子升降算符归一化

   我们已知 1/2 自旋的矩阵可以用 /2 乘以泡利矩阵得到。以下我们试图计算任意 n/2 自旋粒子的三个自旋分量算符 S^xS^yS^z 对应的矩阵。这些矩阵一般使用 S^z 的本征态 |s,m 作为基底(另外两组基底同理可得)。注意当 s 为整数时,本文的结论同样适用于轨道角动量(把算符 S 和量子数 s 分别替换为 Ll 即可)。

   基本思路是先求出升降算符 S^±=S^x±iS^y 的矩阵。再把它们分别相加和相减得到 S^xS^y 的矩阵。S^z 算符在其本征态基底下是本征值组成的对角矩阵。

   已知归一化系数为

(1)S^±|s,m=s(s+1)m(m±1)|s,m±1 ,
所以
(2)s,m|S^±|s,m=δm,m±1s(s+1)mm .
可见 S^+ 只有下方的子对角线不为零,S^ 只有上方的子对角线不为零。

   最后得三个矩阵为

(3)s,m|S^x|s,m=12(δm,m+1+δm,m1)s(s+1)mm ,
(4)s,m|S^y|s,m=12i(δm,m+1δm,m1)s(s+1)mm ,
(5)s,m|S^z|s,m=δm,mm .
可以验证当 s=1/2,m=±1/2 时,我们就得到了在 S^z 表象下的自旋角动量分量矩阵。如下所示:
(6)S^x=2(0110),S^y=2(0ii0),S^z=2(0110) .

自旋算符的 “态矢表示法”

   为了计算方便,有时候我们也会用 “态矢” 组合来表示自旋分量矩阵。设

(7)|+=(10),|=(01) ,
显然这是 σ^z 的两个本征向量。则二阶矩阵的基可以表示为
(8)|+|=(10)(01)=(0100),|+|=(01)(10)=(0010)|++|=(10)(10)=(1000),||=(01)(01)=(0001) .
利用基向量表示自旋分量矩阵如下,
(9)S^x=2(|+|+|+|),S^y=i2(|+|+|+|),S^z=2(|++|||) .
相应的,我们也可以用态矢表示 S^x,S^y 的特征向量。由式 6 可知在归一化后,S^x,S^y 的特征向量为分别为:
(10)|S^x;±=12(11)=12(|+±|),|Sy;±=12(1±i)=12(|+±i|) .


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