级数(数学分析)

                     

贡献者: DTSIo; Giacomo

预备知识 级数(简明微积分),极限存在的判据、柯西序列

1. 基本定义回顾

   设 $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是一个复数序列,$\sum_{n=1}^\infty a_n$ 为 $a_n$ 的级数(series)。假设级数是收敛的,它满足 $$ \sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N a_n~. $$

   记级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 的部分和为 \[ S_N := \sum_{n=1}^N a_n~. \]

   根据极限运算的简单性质,容易看出部分和序列 $\{S_N\}$ 若有极限,则必定有 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, 由此即得到级数收敛的一个简单的必要条件。但它并不是充分条件。一般级数收敛性的唯一充分必要条件是

定理 1 级数收敛的柯西判据

   级数

\begin{equation} \sum_{n=1}^\infty a_n~ \end{equation}

   收敛,当且仅当任给 $\varepsilon>0$, 都存在正整数 $N_\varepsilon$, 使得当 $N'>N>N_\varepsilon$ 时有 $$ \left|\sum_{n=N}^{N'} a_n\right|<\varepsilon~, $$

   这是序列收敛的柯西判据的直接推论。

习题 1 

   利用极限的四则运算法则证明:级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛,当且仅当序列 $\{a_n\}$ 的实部和虚部组成的级数都收敛。

例 1 发散级数

   根据定义,一般项不趋于零的级数当然发散。但一般项趋于零也并不能保证收敛性。一个著名的例子是调和级数 $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}~, $$ 有许多种办法能证明它发散。例如,对于正整数 $N$, 和式 $$ \sum_{n=N}^{2N}\frac{1}{n}~ $$ 总共有 $N+1$ 项,除了最后一项之外,每一项都大于 $1/2N$, 所以 $$ \sum_{n=N}^{2N}\frac{1}{n}>\frac{N+1}{2N}>\frac{1}{2}~, $$ 按照柯西判据,这个级数是发散的。

   通过积分的办法,可以得到一些有用的渐近公式: $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\ln N+O(1)\quad (N\to\infty)~, $$ 如果 $0<\alpha<1$, 那么 $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^\alpha}=\frac{N^{1-\alpha}}{1-\alpha}+O(1)~. $$

2. 重要的收敛级数

   这里列出一些最重要的收敛级数。

   $p$-级数是指 $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}~, $$ 如果 $p>1$ 则级数收敛,$p\leq1$ 则级数发散。最方便的证明是积分判别法; 它还能给出收敛和发散的速度估计。

   $p$-对数级数是指 $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)^p}~, $$ 如果 $p>1$ 则级数收敛,$p\leq1$ 则级数发散。最方便的证明仍然积分判别法。

   几何级数是指 $$ \sum_{n=0}^\infty q^n~, $$ 当 $q=1$ 时,它的部分和 $\sum_{n=0}^N q^n=N+1$. 当 $q\neq1$ 时,按照等比数列的求和公式,可以算出它的部分和: $$ \sum_{n=0}^N q^n=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}~. $$ 由此可见,几何级数在 $|q|<1$ 时收敛,在 $|q|\geq1$ 时发散。

   还有一类例子是所谓的裂项级数,也称为望远镜级数。设 $\{b_n\}$ 是极限为 $b$ 的复数序列,则级数 $$ \sum_{n=1}^\infty(b_{n+1}-b_n)~ $$ 是收敛的。实际上,它的部分和是 $$ \sum_{n=1}^N(b_{n+1}-b_n)=b_{N+1}-b_1~, $$ 当 $N\to\infty$ 时它的极限等于 $b-b_1$.

3. 定义辨析

   对于收敛的级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$, 有时也可以用这个形式表达式来代表它的和。但是需要注意,形式等式 $\sum_{n=1}^\infty a_n=S$ 的真正含义是 $\lim_{N\to\infty}S_N=S$, 必须要在这个意义下来理解它。由此,级数的和与有限个实数的和有所不同。

   根据极限的四则运算法则,两个收敛级数的和与差都仍然是收敛级数。但对于改变收敛级数的求和顺序,以及两个收敛级数的乘积,则需要多加留意。后续文章绝对收敛与条件收敛将详细解释这里可能出现的问题。

   如果对级数进行四则运算时涉及到不收敛的级数,则需要更加留意。来看一个著名的例子。

例 2 

   考虑序列 $a_n=(-1)^n$ 组成的几何级数。这个序列的部分和在 $-1$ 和 $0$ 之间来回跳跃:当 $N$ 为奇数时 $S_N=-1$, 当 $N$ 为偶数时 $S_N=0$. 因此级数 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n$ 是发散的。

   如果强行定义 $S=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n$, 并对这个 $S$ 像有限和那样进行四则运算,那么立刻就能导出矛盾。例如,将级数的和铺开并进行错位相加: $$ \begin{aligned} 1 & \quad-1 & 1 & \quad-1 & 1 &...\\ & \quad\quad1 & -1 & \quad\quad1 & -1 &... \end{aligned}~ $$ 除了最开头的一项之外,其余项都消去了。由此将得到"等式"$2S=1$, 或者 $S=1/2$. 但如果换一种错位相加的方式,例如错两位进行相加,那么得到的又将是"等式"$S=0$. 造成这种矛盾的唯一原因在于 $S$ 实际上不能代表任何实数,因此实数的四则运算法则对于它不适用。

   然而,以上的形式操作尽管导出逻辑矛盾,却并非没有意义。由此引发出的概念叫做"发散级数的广义求和"(generalized summation of divergent series). 顾名思义,这种操作方式与通常意义下的求和 -- 取部分和的极限 -- 是不同的。它在 20 世纪的分析数学中占据着重要的地位。


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