数项级数

                     

贡献者: DTSIo

预备知识 极限存在的判据、柯西序列

1. 基本定义

   设 $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是一个复数序列.形式表达式 \[ \sum_{n=1}^\infty a_n \] 称为以 $a_n$ 为一般项的级数(series). 有限和 \[ S_N:=\sum_{n=1}^N a_n \] 是良好定义的,它称为级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 的部分和(partial sum). 如果部分和序列 $\{S_N\}_{N\in\mathbb{N}}$ 有极限,也就是说存在实数 $S$ 使得 \[ \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n=S, \] 则称级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛到 $S$(converges to $S$), 这 $S$ 称为它的和(sum). 如果部分和序列不存在极限,则称级数发散(divergent).

   根据极限运算的简单性质,容易看出部分和序列 $\{S_N\}$ 若有极限,则必定有 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, 由此即得到级数收敛的一个简单的必要条件.但它并不是充分条件.一般级数收敛性的唯一充分必要条件是

定理 1 级数收敛的柯西判据

   级数 \[ \sum_{n=1}^\infty a_n \] 收敛,当且仅当任给 $\varepsilon > 0$, 都存在正整数 $N_\varepsilon$, 使得当 $N' > N > N_\varepsilon$ 时有 $$ \left|\sum_{n=N}^{N'} a_n\right| < \varepsilon. $$

   这是序列收敛的柯西判据的直接推论.

习题 1 

   利用极限的四则运算法则证明:级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛,当且仅当序列 $\{a_n\}$ 的实部和虚部组成的级数都收敛.

例 1 发散级数

   根据定义,一般项不趋于零的级数当然发散.但一般项趋于零也并不能保证收敛性.一个著名的例子是调和级数 $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}. $$ 有许多种办法能证明它发散.例如,对于正整数 $N$, 和式 $$ \sum_{n=N}^{2N}\frac{1}{n} $$ 总共有 $N+1$ 项,除了最后一项之外,每一项都大于 $1/2N$, 所以 $$ \sum_{n=N}^{2N}\frac{1}{n} > \frac{N+1}{2N} > \frac{1}{2}. $$ 按照柯西判据,这个级数是发散的.

   通过积分的办法,可以得到一些有用的渐近公式: $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\ln N+O(1),\quad N\to\infty; $$ 如果 $0 < \alpha < 1$, 那么 $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^\alpha}=\frac{N^{1-\alpha}}{1-\alpha}+O(1). $$

2. 重要的收敛级数

   这里列出一些最重要的收敛级数.

   $p$-级数是指 $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}. $$ 如果 $p > 1$ 则级数收敛,$p\leq1$ 则级数发散.最方便的证明是积分判别法; 它还能给出收敛和发散的速度估计.

   $p$-对数级数是指 $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)^p}. $$ 如果 $p > 1$ 则级数收敛,$p\leq1$ 则级数发散.最方便的证明仍然积分判别法.

   几何级数是指 $$ \sum_{n=0}^\infty q^n. $$ 当 $q=1$ 时,它的部分和 $\sum_{n=0}^N q^n=N+1$. 当 $q\neq1$ 时,按照等比数列的求和公式,可以算出它的部分和: $$ \sum_{n=0}^N q^n=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}. $$ 由此可见,几何级数在 $|q| < 1$ 时收敛,在 $|q|\geq1$ 时发散.

   还有一类例子是所谓的裂项级数,也称为望远镜级数.设 $\{b_n\}$ 是极限为 $b$ 的复数序列,则级数 $$ \sum_{n=1}^\infty(b_{n+1}-b_n) $$ 是收敛的.实际上,它的部分和是 $$ \sum_{n=1}^N(b_{n+1}-b_n)=b_{N+1}-b_1, $$ 当 $N\to\infty$ 时它的极限等于 $b-b_1$.

3. 定义辨析

   对于收敛的级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$, 有时也可以用这个形式表达式来代表它的和.但是需要注意,形式等式 $\sum_{n=1}^\infty a_n=S$ 的真正含义是 $\lim_{N\to\infty}S_N=S$, 必须要在这个意义下来理解它.由此,级数的和与有限个实数的和有所不同.

   根据极限的四则运算法则,两个收敛级数的和与差都仍然是收敛级数.但对于改变收敛级数的求和顺序,以及两个收敛级数的乘积,则需要多加留意.后续词条绝对收敛与条件收敛 将详细解释这里可能出现的问题.

   如果对级数进行四则运算时涉及到不收敛的级数,则需要更加留意.来看一个著名的例子.

例 2 

   考虑序列 $a_n=(-1)^n$ 组成的几何级数.这个序列的部分和在 $-1$ 和 $0$ 之间来回跳跃:当 $N$ 为奇数时 $S_N=-1$, 当 $N$ 为偶数时 $S_N=0$. 因此级数 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n$ 是发散的.

   如果强行定义 $S=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n$, 并对这个 $S$ 像有限和那样进行四则运算,那么立刻就能导出矛盾.例如,将级数的和铺开并进行错位相加: $$ \begin{aligned} 1 & \quad-1 & 1 & \quad-1 & 1 &...\\ & \quad\quad1 & -1 & \quad\quad1 & -1 &... \end{aligned} $$ 除了最开头的一项之外,其余项都消去了.由此将得到"等式"$2S=1$, 或者 $S=1/2$. 但如果换一种错位相加的方式,例如错两位进行相加,那么得到的又将是"等式"$S=0$. 造成这种矛盾的唯一原因在于 $S$ 实际上不能代表任何实数,因此实数的四则运算法则对于它不适用.

   然而,以上的形式操作尽管导出逻辑矛盾,却并非没有意义.由此引发出的概念叫做"发散级数的广义求和"(generalized summation of divergent series). 顾名思义,这种操作方式与通常意义下的求和 -- 取部分和的极限 -- 是不同的.它在 20 世纪的分析数学中占据着重要的地位.


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