级数（数学分析）

贡献者： DTSIo; Giacomo

1. 基本定义回顾

　　 设 $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是一个复数序列，$\sum_{n=1}^\infty a_n$ 为 $a_n$ 的级数（series）。假设级数是收敛的，它满足 $$ \sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N a_n $$

　　 记级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 的部分和为 \[ S_N := \sum_{n=1}^N a_n \]

　　 根据极限运算的简单性质，容易看出部分和序列 $\{S_N\}$ 若有极限，则必定有 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, 由此即得到级数收敛的一个简单的必要条件。但它并不是充分条件。一般级数收敛性的唯一充分必要条件是

　　 这是序列收敛的柯西判据的直接推论。

2. 重要的收敛级数

　　 这里列出一些最重要的收敛级数。

　　 $p$-级数是指 $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}. $$ 如果 $p > 1$ 则级数收敛，$p\leq1$ 则级数发散。最方便的证明是积分判别法; 它还能给出收敛和发散的速度估计。

　　 $p$-对数级数是指 $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)^p}. $$ 如果 $p > 1$ 则级数收敛，$p\leq1$ 则级数发散。最方便的证明仍然积分判别法。

　　 几何级数是指 $$ \sum_{n=0}^\infty q^n. $$ 当 $q=1$ 时，它的部分和 $\sum_{n=0}^N q^n=N+1$. 当 $q\neq1$ 时，按照等比数列的求和公式，可以算出它的部分和： $$ \sum_{n=0}^N q^n=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}. $$ 由此可见，几何级数在 $|q| < 1$ 时收敛，在 $|q|\geq1$ 时发散。

　　 还有一类例子是所谓的裂项级数，也称为望远镜级数。设 $\{b_n\}$ 是极限为 $b$ 的复数序列，则级数 $$ \sum_{n=1}^\infty(b_{n+1}-b_n) $$ 是收敛的。实际上，它的部分和是 $$ \sum_{n=1}^N(b_{n+1}-b_n)=b_{N+1}-b_1, $$ 当 $N\to\infty$ 时它的极限等于 $b-b_1$.

3. 定义辨析

　　 对于收敛的级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$, 有时也可以用这个形式表达式来代表它的和。但是需要注意，形式等式 $\sum_{n=1}^\infty a_n=S$ 的真正含义是 $\lim_{N\to\infty}S_N=S$, 必须要在这个意义下来理解它。由此，级数的和与有限个实数的和有所不同。

　　 根据极限的四则运算法则，两个收敛级数的和与差都仍然是收敛级数。但对于改变收敛级数的求和顺序，以及两个收敛级数的乘积，则需要多加留意。后续词条绝对收敛与条件收敛 将详细解释这里可能出现的问题。

　　 如果对级数进行四则运算时涉及到不收敛的级数，则需要更加留意。来看一个著名的例子。