超线性空间

             

预备知识 矢量空间,环的理想和商环

  

未完成:基本内容已完成,拓展内容待补充.

   超线性空间是一种在现代理论物理中应用的代数结构,用于描述超对称性的各种代数性质.它是普通线性空间的一个简单推广,附加了对其中元素奇偶性的判断.

1. 基本概念

定义 1 超线性空间

   域 $\mathbb{F}$ 上的超线性空间(super vector space)$V$ 是一个分次(graded)线性空间,它是两个齐次子空间 $V_0$ 和 $V_1$ 的直和:$V=V_0\oplus V_1$,其中 $0, 1\in \mathbb{Z}_2$.

   $V_i$ 中的元素称为齐次的(homogeneous).$V_i$ 的子空间被称为 $V$ 的齐次子空间(homogeneous subspace),比如 $V_i$ 本身.

   齐次元素的奇偶性(parity)由所属子空间决定:对于 $v\in V_i$,定义 $ \left\lvert v \right\rvert =i\in\mathbb{Z}_2$,其中 $ \left\lvert v \right\rvert =0$ 时称 $v$ 是偶(even)的,否则是奇(odd)的.在理论物理中,偶元素也被称为玻色元素(Bose element),奇元素则被称为费米元素(Fermi element)

   由于超线性空间是两个齐次空间的直和,因此超线性空间中也存在非齐次的元素.

定义 2 维度

   令 $V=V_0\oplus V_1$ 是超线性空间,$V_i$ 是它的齐次子空间.如果 $ \operatorname {dim}V_0=n$,$ \operatorname {dim}V_1=m$,那么称 $V$ 的维度是 $n|m$.$V$ 的坐标空间是 $\mathbb{F}^{n+m}$ 上赋予分次结构的结果,记为 $\mathbb{F}^{n|m}$.

   约定 $\mathbb{F}^{n+m}$ 的前 $n$ 个坐标表示 $V_0$ 中的坐标,后 $m$ 个表示 $V_1$ 中的.

定义 3 反演算子

   对于上述超线性空间 $V$,我们定义 $\Pi V=(\Pi V)_0\oplus(\Pi V)_1$ 为另一个超线性空间,其中 $(\Pi V)_0=V_1$,$(\Pi V)_1=V_0$.

2. 线性变换

   超线性空间空间之间的同态(homomorphism)1,定义为一个保次线性映射,即如果有两个超线性空间 $V=V_0\oplus V_1$ 和 $W=W_0\oplus W_1$,那么一个线性映射 $f:V\to W$ 是保次的,当且仅当 $f(V_i)\subseteq W_i, i=0, 1$.

定义 4 

   超线性空间 $V$ 到 $W$ 的同态构成的集合,记为 $ \operatorname {Hom}(V, W)$.

   换句话说,超线性空间同态不改变元素的奇偶性.

   反过来,如果 $f(V_i)\subseteq W_{1-i}$,那么我们说 $f$ 是奇偶反演(parity reversing)的.

定理 1 

   对于超线性空间之间的任何线性映射 $f:V\to W$,必然存在一个同态$g:V\to W$ 和一个奇偶反演的线性映射 $h:V\to W$,使得 $f=g+h$.

   取 $V$ 的一组基,其中每个基向量都是齐次元素,就可以证明定理 1

   如果我们把保次的线性映射称为的,奇偶反演的称为的,那么全体 $V\to W$ 的线性变换就构成了一个超线性空间,记为 $\mathbf{Hom}(V, W)$.容易证明

\begin{equation} \begin{aligned} &\mathbf{Hom}(V, W)=\\& \operatorname {Hom}(V, W)\oplus \operatorname {Hom}(V, \Pi W)\oplus \operatorname {Hom}(\Pi V, W)\oplus \operatorname {Hom}(\Pi V, \Pi W) \end{aligned} \end{equation}

定义 5 对偶超空间

   令 $V$ 是超线性空间,$V^*$ 是其对偶空间,$\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}$ 是 $V$ 的一组齐次基向量,而 $\{f^i\}$ 是其对偶基.定义 $f^i$ 是 $V^*$ 的齐次元素,其奇偶性和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 一致.

   由定义易得,如果 $ \operatorname {dim}V=n|m$,那么也有 $ \operatorname {dim}V^*=n|m$,从而在超线性空间意义上,对偶空间也和原空间同构.

3. 直和与张量积

   对于两个超线性空间 $V=V_0\oplus V_1$ 和 $W=W_0\oplus W_1$,它们的直和 $V\oplus W$ 还是超线性空间,其中 $(V\oplus W)_i=V_i\oplus W_i$.

   它们的张量积 $V\otimes W$ 也可以构成超线性空间,其中 $(V\otimes W)_i=(V_i\otimes W_0)\oplus(V_0\otimes W_i)$.用抽象指标来描述的话,如果 $v^a$ 和 $w^b$ 分别是 $V$ 和 $W$ 的齐次元素,那么 $v^aw^b$ 是 $V\otimes W$ 的齐次元素,次数为 $a+b$.


1. ^ 这种同态是超线性空间集合上的一种射(morphism),从而构成了超线性空间范畴.范畴的概念请参见范畴论

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