超线性空间

贡献者： JierPeter

预备知识　矢量空间，环的理想和商环

未完成：基本内容已完成，拓展内容待补充。

　　超线性空间是一种在现代理论物理中应用的代数结构，用于描述超对称性的各种代数性质。它是普通线性空间的一个简单推广，附加了对其中元素奇偶性的判断。

1. 基本概念

定义 1　超线性空间

　　域 $F$ 上的超线性空间（super vector space） $V$ 是一个分次（graded）线性空间，它是两个齐次子空间 $V_{0}$ 和 $V_{1}$ 的直和： $V = V_{0} \oplus V_{1}$ ，其中 $0, 1 \in Z_{2}$ 。

　　 $V_{i}$ 中的元素称为齐次的（homogeneous）。 $V_{i}$ 的子空间被称为 $V$ 的齐次子空间（homogeneous subspace），比如 $V_{i}$ 本身。

　　齐次元素的奇偶性（parity）由所属子空间决定：对于 $v \in V_{i}$ ，定义 $| v | = i \in Z_{2}$ ，其中 $| v | = 0$ 时称 $v$ 是偶（even）的，否则是奇（odd）的。在理论物理中，偶元素也被称为玻色元素（Bose element），奇元素则被称为费米元素（Fermi element）。

　　由于超线性空间是两个齐次空间的直和，因此超线性空间中也存在非齐次的元素。

定义 2　维度

　　令 $V = V_{0} \oplus V_{1}$ 是超线性空间， $V_{i}$ 是它的齐次子空间。如果 $\dim V_{0} = n$ ， $\dim V_{1} = m$ ，那么称 $V$ 的维度是 $n | m$ 。 $V$ 的坐标空间是 $F^{n + m}$ 上赋予分次结构的结果，记为 $F^{n | m}$ 。

　　约定 $F^{n + m}$ 的前 $n$ 个坐标表示 $V_{0}$ 中的坐标，后 $m$ 个表示 $V_{1}$ 中的。

定义 3　反演算子

　　对于上述超线性空间 $V$ ，我们定义 $Π V = (Π V)_{0} \oplus (Π V)_{1}$ 为另一个超线性空间，其中 $(Π V)_{0} = V_{1}$ ， $(Π V)_{1} = V_{0}$ 。

2. 线性变换

　　超线性空间空间之间的同态（homomorphism）¹，定义为一个保次线性映射，即如果有两个超线性空间 $V = V_{0} \oplus V_{1}$ 和 $W = W_{0} \oplus W_{1}$ ，那么一个线性映射 $f : V \to W$ 是保次的，当且仅当 $f (V_{i}) \subseteq W_{i}, i = 0, 1$ 。

定义 4　

　　超线性空间 $V$ 到 $W$ 的同态构成的集合，记为 $Hom (V, W)$ 。

　　换句话说，超线性空间同态不改变元素的奇偶性。

　　反过来，如果 $f (V_{i}) \subseteq W_{1 - i}$ ，那么我们说 $f$ 是奇偶反演（parity reversing）的。

定理 1　

　　对于超线性空间之间的任何线性映射 $f : V \to W$ ，必然存在一个同态 $g : V \to W$ 和一个奇偶反演的线性映射 $h : V \to W$ ，使得 $f = g + h$ 。

　　取 $V$ 的一组基，其中每个基向量都是齐次元素，就可以证明定理 1 。

　　如果我们把保次的线性映射称为偶的，奇偶反演的称为奇的，那么全体 $V \to W$ 的线性变换就构成了一个超线性空间，记为 $Hom (V, W)$ 。容易证明

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} Hom (V, W) = \\ Hom (V, W) \oplus Hom (V, Π W) \oplus Hom (Π V, W) \oplus Hom (Π V, Π W) . \end{aligned} \end{matrix}

定义 5　对偶超空间

　　令 $V$ 是超线性空间， $V^{*}$ 是其对偶空间， ${v_{i}}$ 是 $V$ 的一组齐次基向量，而 ${f^{i}}$ 是其对偶基。定义 $f^{i}$ 是 $V^{*}$ 的齐次元素，其奇偶性和 $v_{i}$ 一致。

　　由定义易得，如果 $\dim V = n | m$ ，那么也有 $\dim V^{*} = n | m$ ，从而在超线性空间意义上，对偶空间也和原空间同构。

3. 直和与张量积

　　对于两个超线性空间 $V = V_{0} \oplus V_{1}$ 和 $W = W_{0} \oplus W_{1}$ ，它们的直和 $V \oplus W$ 还是超线性空间，其中 $(V \oplus W)_{i} = V_{i} \oplus W_{i}$ 。

　　它们的张量积 $V \otimes W$ 也可以构成超线性空间，其中 $(V \otimes W)_{i} = (V_{i} \otimes W_{0}) \oplus (V_{0} \otimes W_{i})$ 。用抽象指标来描述的话，如果 $v^{a}$ 和 $w^{b}$ 分别是 $V$ 和 $W$ 的齐次元素，那么 $v^{a} w^{b}$ 是 $V \otimes W$ 的齐次元素，次数为 $a + b$ 。

1. ^ 这种同态是超线性空间集合上的一种射（morphism），从而构成了超线性空间范畴。范畴的概念请参见范畴论。

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超线性空间

1. 基本概念

定义 1 超线性空间

定义 2 维度

定义 3 反演算子

2. 线性变换

定义 4

定理 1

定义 5 对偶超空间

3. 直和与张量积

定义 1　超线性空间

定义 2　维度

定义 3　反演算子

定义 4　

定理 1　

定义 5　对偶超空间